# 大学物理（零）——量纲分析

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## 零·量纲分析

### (2) 量纲

$$[Q]=L^\alpha M^\beta T^\gamma,$$

\begin{align} &[v]=[s]/[t]=LT^{-1};\\ &[a]=[v]/[t]=LT^{-2};\\ &[p]=[m][v]=LMT^{-1};\\ &[f]=[p]/[t]=LMT^{-2};\\ &[I]=[f][t]=[p]=LMT^{-1};\\ &[A]=[f][s]=L^2MT^{-2}. \end{align}

### (3) 量纲分析

$$[P]=X_1^{a_1}X_2^{a_2}\cdots X_m^{a_m},$$

$$\ln [P]=a_1\ln X_1+a_2\ln X_2+\cdots+a_m\ln X_m,$$

#### $\Pi$ 定理

$$f(P_1,P_2,\cdots,P_n)=0.$$

$$F(\Pi_1,\Pi_2,\cdots,\Pi_{n-m})=0.$$

### (4) 例题

#### 单摆

$$\begin{cases} \ln[t]=0\times\ln M+1\times\ln T+0\times\ln L\\ \ln[m]=1\times\ln M+0\times\ln T+0\times\ln L\\ \ln[l]=0\times\ln M+0\times\ln T+1\times\ln L\\ \ln[g]=0\times\ln M-2\times\ln T+1\times\ln L \end{cases}.$$

$$\ln[t]=x_1\ln[m]+x_2\ln[l]+x_3\ln[g]$$

$$0\times\ln M+1\times\ln T+0\times\ln L\\ =x_1[1\times\ln M+0\times\ln T+0\times\ln L]\\ +x_2[0\times\ln M+0\times\ln T+1\times\ln L]\\ +x_3[0\times\ln M-2\times\ln T+1\times\ln L]\\$$

$$\begin{cases} 1\times x_1+0\times x_2+0\times x_3=0\\ 0\times x_1+0\times x_2-2\times x_3=1\\ 0\times x_1+1\times x_2+1\times x_3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=0\\ x_2=\frac{1}{2}\\ x_3=-\frac{1}{2} \end{cases}.$$

$$[t]=\sqrt{\frac{[l]}{[g]}}.$$

$$\Pi_1=t\sqrt{\frac{g}{l}},\quad t=\Pi_1\sqrt{\frac{l}{g}}.$$