微积分笔记（30）——数项级数（2）

wzf2000
2020年3月22日

微积分笔记（30）——数项级数（2）

数项级数

一般级数：交错级数判别法

一般级数：级数中的各项有正有负。（一般指正负各有无穷多项）

实例：$\sum \frac{\sin n}{n}, \sum (-x)^{n - 1}$ 等。

一般级数收敛准则（Cauchy）

级数 $\sum a_n$ 收敛也就是部分和数列收敛。
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, k = 1, 2, 3, \cdots \\
|S_n - S_{n + m}| < \varepsilon \Leftrightarrow \left|\sum_{k = 1}^{m} a_{n + k}\right| < \varepsilon $$

交错级数

级数中正负项交错出现。
$$
\sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n - 1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots, \ \ a_n >0
$$
部分和分析（加括号）：
$$
S_{2n} = (a_1 - a_2) + \cdots + (a_{2n - 1} - a_{2n}) = S_{2n + 1} - a_{2n + 1} < S_{2n + 1} \\ S_{2n + 1} = a_1 - (a_2 - a_3) -\cdots - (a_{2n} - a_{2n + 1}) = S_{2n} + a_{2n + 1} > S_{2n}
$$
假设 $\{a_n\}$ 单调减。

则 $\{S_{2n}\}$ 单调增，$\{S_{2n + 1}\}$ 单调减且都有界：
$$
0 \le S_{2n} \le S_{2n + 1}, a_{2n + 1} \le S_{2n + 1} \le a_1
$$
由此导出 $\{S_{2n +1}\}$ 和 $\{S_{2n}\}$ 均收敛。

考虑到 $a_n$ 趋于零，故两子列趋于同一数。

Leibniz 判别法

设 $\{a_n\}$ 单调减且趋于零，则交错级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^{n - 1} a_n$ 收敛。

记 $\{S_n\}$ 为部分和数列，则还有：

1. $S_{2m} < \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} a_n < S_{2m - 1}, m = 1, 2, 3, \cdots$
2. $\left|\sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^{n - 1}a_n - S_m\right| < a_{m + 1}, m = 1, 2, 3, \cdots$

乘积型级数及其判别法

乘积型级数：$\sum a_n b_n$（交错级数推广）

判别思路：设法利用 $\sum a_n$ 的部分和以及 $\{b_n\}$ 单调性。

分部求和公式

记 $\{S_n\}$ 是级数 $\sum a_n$ 的部分和数列，则：（类比分部积分）
$$
\sum_{k = 1}^n a_k b_k = S_n b_n - \sum_{k = 1}^{n - 1} S_k(b_{k + 1} - b_k)
$$

推论（Abel 引理）：
设级数 $\sum a_n$ 的部分和数列 $\{S_n\}$ 有界，且 $\{b_n\}$ 单调，则：
$$
\left|\sum_{k = 1}^n a_k b_k\right| \le M (2|b_n| + |b_1|) \ \ \ \ (|S_n| \le M, n = 1, 2, \cdots)
$$

Dirichlet 判别法

设级数 $\sum a_n$ 的部分和数列 $\{S_n\}$ 有界，且 $\{b_n\}$ 单调趋于零，则级数 $\sum a_n b_n$ 收敛。（注意：不假设 $\sum a_n$ 收敛）

Abel 判别法

设级数 $\sum a_n$ 收敛且数列 $\{b_n\}$ 单调有界，则级数 $\sum a_n b_n$ 收敛。（考虑级数 $\sum a_n (b_n - b)$）

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛判别法（对于一般级数）

如果级数 $\sum |a_n|$ 收敛，则级数 $\sum a_n$ 必收敛。

证明：记 $a_n^+ = \dfrac{|a_n| + a_n}{2}, a_n^- = \dfrac{|a_n| - a_n}{2}, a_n^+ \ge 0, a_n^- \ge 0$。
$$
|a_n| = a_n^+ + a_n^- \ge a_n^+, a_n^- \ge 0
$$
已知 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |a_n|$ 收敛，由比较判别法，知 $\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n^+$ 和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n^-$ 都收敛。

注意到 $a_n = a_n^+ - a_n^-$，故 $\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n$ 也收敛。$\square$

绝对收敛

如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称级数 $\sum a_n$ 绝对收敛。

条件收敛

若 $\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ 条件收敛。

Cauchy 根式判别法

1. 若存在 $0 < q < 1$，使得 $n$ 充分大以后 $\sqrt[n]{|a_n|} \le q$，则级数 $\sum a_n$ 绝对收敛。
2. 若有无穷多个 $n$ 使得 $\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1$，则级数 $\sum a_n$ 发散。

极限形式同理加上绝对值。

D'Alembert 判别法

1. 若存在 $0 < q < 1$，使得 $n$ 充分大以后 $a_n > 0, \left|\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}\right| \le q$，则级数 $\sum a_n$ 绝对收敛；
2. 若 $n$ 充分大以后 $a_n > 0, \left|\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}\right| \ge 1$，则级数 $\sum a_n$ 发散。

极限形式同理加上绝对值。

定理

1. 若级数绝对收敛，则 $\sum a_n^+, \sum a_n^-$ 都收敛；
2. 若级数条件收敛，则 $\sum a_n^+, \sum a_n^-$ 都发散到 $+ \infty$。

推论：若级数绝对收敛，则重排级数仍绝对收敛且和不变。

Riemann 重排定理

设级数 $\sum a_n$ 条件收敛，则对于任意给定实数 $A$，存在原级数的重排级数 $\sum a_{n'}$，使得 $\sum a_{n'}$ 收敛于 $A$。

结论对于 $A = \pm \infty$ 也成立，即可以得到重排级数 $\sum a_{n'}$ 发散到 $+\infty$ 或 $-\infty$。

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