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微积分笔记(30)——数项级数(2)

微积分笔记(30)——数项级数(2)

数项级数

一般级数:交错级数判别法

一般级数:级数中的各项有正有负。(一般指正负各有无穷多项)

实例sinnn,(x)n1 等。

一般级数收敛准则(Cauchy)

级数 an 收敛也就是部分和数列收敛。
ε>0,n0N,n>n0,k=1,2,3,|SnSn+m|<ε|mk=1an+k|<ε

交错级数

级数中正负项交错出现。
n=1(1)n1an=a1a2+a3a4+,  an>0
部分和分析(加括号):
S2n=(a1a2)++(a2n1a2n)=S2n+1a2n+1<S2n+1S2n+1=a1(a2a3)(a2na2n+1)=S2n+a2n+1>S2n
假设 {an} 单调减。

{S2n} 单调增,{S2n+1} 单调减且都有界:
0S2nS2n+1,a2n+1S2n+1a1
由此导出 {S2n+1}{S2n} 均收敛。

考虑到 an 趋于零,故两子列趋于同一数。

Leibniz 判别法

{an} 单调减且趋于零,则交错级数 n=1(1)n1an 收敛。

{Sn} 为部分和数列,则还有:

  1. S2m<n=1(1)n1an<S2m1,m=1,2,3,
  2. |n=1(1)n1anSm|<am+1,m=1,2,3,

乘积型级数及其判别法

乘积型级数anbn(交错级数推广)

判别思路:设法利用 an 的部分和以及 {bn} 单调性。

分部求和公式

{Sn} 是级数 an 的部分和数列,则:(类比分部积分)
nk=1akbk=Snbnn1k=1Sk(bk+1bk)

推论(Abel 引理)
设级数 an 的部分和数列 {Sn} 有界,且 {bn} 单调,则:
|nk=1akbk|M(2|bn|+|b1|)    (|Sn|M,n=1,2,)

Dirichlet 判别法

设级数 an 的部分和数列 {Sn} 有界,且 {bn} 单调趋于零,则级数 anbn 收敛。(注意:不假设 an 收敛)

Abel 判别法

设级数 an 收敛且数列 {bn} 单调有界,则级数 anbn 收敛。(考虑级数 an(bnb)

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛判别法(对于一般级数)

如果级数 |an| 收敛,则级数 an 必收敛。

证明:记 a+n=|an|+an2,an=|an|an2,a+n0,an0
|an|=a+n+ana+n,an0
已知 n=1|an| 收敛,由比较判别法,知 n=1a+nn=1an 都收敛。

注意到 an=a+nan,故 n=1an 也收敛。

绝对收敛

如果 |an| 收敛,则称级数 an 绝对收敛。

条件收敛

an 收敛,但 |an| 发散,则称 an 条件收敛。

Cauchy 根式判别法

  1. 若存在 0<q<1,使得 n 充分大以后 n|an|q,则级数 an 绝对收敛。
  2. 若有无穷多个 n 使得 n|an|1,则级数 an 发散。

极限形式同理加上绝对值。

D’Alembert 判别法

  1. 若存在 0<q<1,使得 n 充分大以后 an>0,|an+1an|q,则级数 an 绝对收敛;
  2. n 充分大以后 an>0,|an+1an|1,则级数 an 发散。

极限形式同理加上绝对值。

定理

  1. 若级数绝对收敛,则 a+n,an 都收敛;
  2. 若级数条件收敛,则 a+n,an 都发散到 +

推论:若级数绝对收敛,则重排级数仍绝对收敛且和不变。

Riemann 重排定理

设级数 an 条件收敛,则对于任意给定实数 A,存在原级数的重排级数 an,使得 an 收敛于 A

结论对于 A=± 也成立,即可以得到重排级数 an 发散到 +

 

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