
微积分笔记(30)——数项级数(2)
数项级数
一般级数:交错级数判别法
一般级数:级数中的各项有正有负。(一般指正负各有无穷多项)
实例:∑sinnn,∑(−x)n–1 等。
一般级数收敛准则(Cauchy)
级数 ∑an 收敛也就是部分和数列收敛。
∀ε>0,∃n0∈N,∀n>n0,k=1,2,3,⋯|Sn–Sn+m|<ε⇔|m∑k=1an+k|<ε
交错级数
级数中正负项交错出现。
∞∑n=1(−1)n–1an=a1–a2+a3–a4+⋯, an>0
部分和分析(加括号):
S2n=(a1–a2)+⋯+(a2n–1–a2n)=S2n+1–a2n+1<S2n+1S2n+1=a1−(a2−a3)−⋯−(a2n−a2n+1)=S2n+a2n+1>S2n
假设 {an} 单调减。
则 {S2n} 单调增,{S2n+1} 单调减且都有界:
0≤S2n≤S2n+1,a2n+1≤S2n+1≤a1
由此导出 {S2n+1} 和 {S2n} 均收敛。
考虑到 an 趋于零,故两子列趋于同一数。
Leibniz 判别法
设 {an} 单调减且趋于零,则交错级数 ∞∑n=1(−1)n–1an 收敛。
记 {Sn} 为部分和数列,则还有:
- S2m<∞∑n=1(−1)n−1an<S2m−1,m=1,2,3,⋯
- |∞∑n=1(−1)n–1an–Sm|<am+1,m=1,2,3,⋯
乘积型级数及其判别法
乘积型级数:∑anbn(交错级数推广)
判别思路:设法利用 ∑an 的部分和以及 {bn} 单调性。
分部求和公式
记 {Sn} 是级数 ∑an 的部分和数列,则:(类比分部积分)
n∑k=1akbk=Snbn–n–1∑k=1Sk(bk+1–bk)
推论(Abel 引理):
设级数 ∑an 的部分和数列 {Sn} 有界,且 {bn} 单调,则:
|n∑k=1akbk|≤M(2|bn|+|b1|) (|Sn|≤M,n=1,2,⋯)
Dirichlet 判别法
设级数 ∑an 的部分和数列 {Sn} 有界,且 {bn} 单调趋于零,则级数 ∑anbn 收敛。(注意:不假设 ∑an 收敛)
Abel 判别法
设级数 ∑an 收敛且数列 {bn} 单调有界,则级数 ∑anbn 收敛。(考虑级数 ∑an(bn–b))
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛判别法(对于一般级数)
如果级数 ∑|an| 收敛,则级数 ∑an 必收敛。
证明:记 a+n=|an|+an2,a−n=|an|–an2,a+n≥0,a−n≥0。
|an|=a+n+a−n≥a+n,a−n≥0
已知 ∞∑n=1|an| 收敛,由比较判别法,知 ∞∑n=1a+n 和 ∞∑n=1a−n 都收敛。
注意到 an=a+n–a−n,故 ∞∑n=1an 也收敛。◻
绝对收敛
如果 ∑|an| 收敛,则称级数 ∑an 绝对收敛。
条件收敛
若 ∑an 收敛,但 ∑|an| 发散,则称 ∑an 条件收敛。
Cauchy 根式判别法
- 若存在 0<q<1,使得 n 充分大以后 n√|an|≤q,则级数 ∑an 绝对收敛。
- 若有无穷多个 n 使得 n√|an|≥1,则级数 ∑an 发散。
极限形式同理加上绝对值。
D’Alembert 判别法
- 若存在 0<q<1,使得 n 充分大以后 an>0,|an+1an|≤q,则级数 ∑an 绝对收敛;
- 若 n 充分大以后 an>0,|an+1an|≥1,则级数 ∑an 发散。
极限形式同理加上绝对值。
定理
- 若级数绝对收敛,则 ∑a+n,∑a−n 都收敛;
- 若级数条件收敛,则 ∑a+n,∑a−n 都发散到 +∞。
推论:若级数绝对收敛,则重排级数仍绝对收敛且和不变。
Riemann 重排定理
设级数 ∑an 条件收敛,则对于任意给定实数 A,存在原级数的重排级数 ∑an′,使得 ∑an′ 收敛于 A。
结论对于 A=±∞ 也成立,即可以得到重排级数 ∑an′ 发散到 +∞ 或 −∞。
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