微积分笔记(29)——数项级数(1)

微积分笔记(29)——数项级数(1)

Contents

数项级数

无穷级数概念及其基本性质

无穷级数概念

无穷级数:$a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$(形式和)

部分和数列 $\{S_n\}$:$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

  • 数列收敛:级数和 $=$ 数列极限 $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = S, \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = S$。

  • 数列发散:级数发散。

无穷级数实例

例 1:$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + \cdots$(算术级数,等差级数)级数发散。

例 2:$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a^{n - 1} = 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n - 1} + \cdots$(几何级数,等比级数)仅当 $|a| < 1$ 时,级数收敛于 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a^{n - 1} = \dfrac{1}{1 - a}$。例 3:$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \ \ (0 < p < 1)$ 发散。

无穷级数的性质

通项性质(级数收敛的必要条件):若 $\sum a_n$ 收敛,则 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$。(证明略)

注意,逆命题不一定成立,可以考虑上面例 3。

线性性质:设 $\sum a_n, \sum b_n$ 都收敛,则 $\sum (\alpha a_n + \beta b_n)$ 收敛于 $\alpha \sum a_n + \beta \sum b_n$。(极限的性质)

若两个级数一个收敛,一个发散,则其和发散。

结合律:在收敛级数中任意加括号得到新级数仍收敛,且和不变。

证明:已知 $\sum a_n$ 收敛于 $S$,即 $S_n \to S$。
$$
\sum a_n: a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots \\
\sum b_n: (a_1 + \cdots + a_{k_1}) + (a_{k_1 + 1} + \cdots + a_{k_2}) + \cdots + (a_{k_{n - 1} + 1} + \cdots + a_{k_n}) + \cdots \\
T_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n = S_{k_n} (k_n \ge n)
$$
故 $\{T_n\}$ 是 $\{S_n\}$ 的一个子列,而 $S_n \to S$,故 $T_n \to S$。$\square$

截尾性质:级数 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$ 的敛散性由它任意 $k$ 项后的余项级数 $\sum\limits_{n = k + 1}^\infty a_n$ 决定。(证明略)

推论:改变级数的有限项不影响原级数的敛散性。

正项级数及其敛散判别法

正项级数:$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$(非负级数)

$a_n > 0, n = 1, 2, \cdots (a_n \ge 0)$

推论:正项级数的部分和数列是(严格)单调增的。

敛散性判别准则:正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界。

积分判别法(Cauchy):若函数 $f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}$ 非负单调减,$a_n = f(n)$,则级数 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$ 与无穷积分 $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 同时收敛或发散。

引理:令级数如上,则:
$$
\sum_{n = 2}^N a_n \le \int_1^N f(x) \, \mathrm{d} x \le \sum_{n = 1}^{N - 1} a_n, N = 2, 3, 4, \cdots
$$

证明:$k \le x \le k + 1$ 时,$a_{k + 1} = f(k + 1) \le f(x) \le f(k) = a_k$

关于 $x$ 在 $[k, k + 1]$ 上积分:
$$
a_{k + 1} \le \int_{k}^{k + 1} f(x) \, \mathrm{d} x \le a_k
$$
关于 $k$ 从 $1$ 到 $N - 1$ 求和即得引理。$\square$

:也可从几何图像上说明。

通过此判别法可知例 3 中 $p = 1$ 时(调和级数),级数发散;$p > 1$ 时,级数收敛。

此 $p-$ 级数被称为广义调和级数,仅在 $p > 1$ 时收敛。

例 4:推广:$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p (\ln n)^\alpha}$。

类似可得到结论,级数仅在 $p > 1$ 或者 $p = 1$ 且 $\alpha > 1$ 时收敛。

比较判别法:设 $n$ 充分大之后有 $0 \le a_n \le b_n$:

  1. 若 $\sum b_n$ 收敛,则 $\sum a_n$ 也收敛;
  2. 若 $\sum a_n$ 发散,则 $\sum b_n$ 也发散。

比较判别法的极限形式:设 $n$ 充分大之后 $a_n, b_n > 0$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = c, 0 < c < +\infty$,则级数 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 有同样的敛散性。

:若上面的 $c = 0$ 则 $\sum b_n$ 收敛可导出 $\sum a_n$ 收敛;
若上面的 $c = +\infty$ 则 $\sum b_n$ 发散可导出 $\sum a_n$ 发散。

比阶法(比较判别法极限形式的特例):设 $n$ 充分大之后 $a_n > 0$,且 $\lim\limits_{n \to \infty} n^p a_n = c, 0 < c < +\infty$:

  1. 若 $p > 1$ 则级数 $\sum a_n$ 收敛;
  2. 若 $p \le 1$ 则级数 $\sum a_n$ 发散。

Cauchy 根式判别法

  1. 若存在 $0 < q < 1$,使得 $n$ 充分大以后 $a_n \ge 0$,$\sqrt[n]{a_n} \le q$,则级数 $\sum a_n$ 收敛;
  2. 若有无穷多个 $n$ 使得 $\sqrt[n]{a_n} \ge 1$,则级数 $\sum a_n$ 发散。

Cauchy 根式判别法的极限形式:设 $n$ 充分大后 $a_n \ge 0$ 且 $\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n} = q$,则级数 $\sum a_n$ 当 $q < 1$ 时收敛,当 $q > 1$ 时发散。

上极限是收敛子列的极限值的上确界值,下极限同理。

D'Alembert 比值判别法

  1. 若存在 $0 < q < 1$,使得 $n$ 充分大以后 $a_n > 0, \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \le q$,则级数 $\sum a_n$ 收敛;
  2. 若 $n$ 充分大以后 $a_n > 0, \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \ge 1$,则级数 $\sum a_n$ 发散。

D'Alembert 判别法的极限形式:设 $n$ 充分大后 $a_n > 0$:

  1. 若 $\limsup\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$,则级数 $\sum a_n$ 收敛;
  2. 若 $\liminf\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} > 1$,则级数 $\sum a_n$ 发散。

:此处跟上面的上下极限均可换为普通极限。

 

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