微积分笔记（31）——函数列与函数项级数（1）

wzf2000
2020年3月22日

微积分笔记（31）——函数列与函数项级数（1）

函数列与函数项级数

函数项级数及其主要问题

函数项级数定义

级数中每项都是函数。
$$
\sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + u_3(x) + u_4(x) + \cdots
$$
其中所有函数都在某公共区间 $[a, b]$ 上有定义。

收敛点集

使得函数项级数收敛的点的集合。
$$
D = \left\{x_0 \in [a, b] | \sum_{n = 1}^\infty u_n(x_0) \text{ 收敛}\right\}
$$

和函数

定义在收敛点集上的函数项级数的和。
$$
S : D \to \mathbb{R}, S(x) = \sum_{n = 1}^\infty u_n(x)
$$

函数项级数的问题

令函数项级数及其和函数如上，无穷项和函数的性质是否与有限项和函数的性质相同？

不妨令 $D = I$ 为一个区间（开，闭，有界，无界）。

包括连续性、可积性，可微性等。

可以考虑实例：
$$
\sum_{n = 1}^\infty (x^{n - 1} - x^n)
$$
在 $x = 1$ 不连续，极限与求和交换次序后结果也不同。

又比如：
$$
\sum_{n = 1}^\infty \frac{\sin nx}{n^2}
$$
在 $x = 2k \pi$ 时，不能在这些点逐项求导。

一致收敛概念的引入

连续性分析

令函数项级数及其和函数如前，任取 $x, x_0 \in I$，考察：
$$
\begin{align*}
S(x) - S(x_0) & = \sum_{n = 1}^\infty [u_n(x) - u_n(x_0)] \\
& = \sum_{n = 1}^N [u_n(x) - u_n(x_0)] + \sum_{n = N + 1}^\infty [u_n(x) - u_n(x_0)]
\end{align*}
$$
为证连续性，需说明 $|x - x_0|$ 充分小时 $|S(x) - S(x_0)|$ 充分小。

1. 取 $|x - x_0|$ 充分小，可使得前一项充分小。
2. 取 $N$ 充分大，可使得后一项充分小。

面临的困难

$$
S(x) - S(x_0) = \sum_{n = 1}^N [u_n(x) - u_n(x_0)] + \sum_{n = N + 1}^\infty u_n(x) - \sum_{n = N + 1}^\infty u_n(x_0)
$$

取 $|x - x_0|$ 多小？与 $N$ 有关（需要 $N$ 固定）：

取 $N$ 多大？与 $x$ 有关（但 $x$ 难以固定）！

可选择的办法：假设 $N$ 与 $x$ 无关（“收敛速度”与 $x$ 无关）。

一致收敛概念

级数 $\sum u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛，如果：
$$
\forall \varepsilon > 0,\exists n_0 \in \mathbb{N},\forall n > n_0, m = 1, 2, 3, \cdots \\
\left|\sum_{k = 1}^m u_{n + k} (x)\right| < \varepsilon, \forall x \in I $$等价定义：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \sup_{x \in I} |\sum_{k = 1}^\infty u_{n + k} (x)| < \varepsilon $$ 注：
1. 定义相当于 $\lim\limits_{n \to \infty} \left[\sup\limits_{x \in I} \left|\sum\limits_{k = 1}^\infty u_{n + k}(x)\right|\right] = 0$。
2. $\sum\limits_{k = 1}^\infty u_{n + k}(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty u_k(x) - \sum\limits_{k = 1}^n u_k(x) = S(x) - S_n(x)$。

回忆连续性分析

任取 $x, x_0 \in I$，有：
$$
|S(x) - S(x_0)| \le \sum_{n = 1}^N |u_n(x) - u_(x_0)| + \left|\sum_{n = N + 1}^\infty u_n(x)\right| + \left|\sum_{n = N + 1}^\infty u_n(x_0)\right|
$$
设函数级数一致收敛，则 $\forall \varepsilon > 0,\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \sup\limits_{x \in I} \left|\sum\limits_{k = 1}^\infty u_{n + k} (x)\right| < \dfrac{\varepsilon}{4}$。取定 $N = n_0$，令每个 $u_n \in C(I)$，则 $\exists \delta > 0$，使得：
$$
\forall |x - x_0| < \delta, |u_n(x) - u_n(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2N}, n = 1, 2, \cdots, N $$ 代入上式便得，$\forall |x - x_0| < \delta$： $$ |S(x) - S(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2N} \cdot N + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon $$ 即 $S(x)$ 在 $x_0$ 点连续。

和函数连续性

假设：

1. $u_n \in C(I), n = 1, 2, \cdots$；
2. $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛。

则和函数 $S(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x) \in C(I)$。

因而极限与求和可以换序：
$$
\lim_{x \to x_0} \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \lim_{x \to x_0} u_n(x), \forall x_0 \in I
$$

一致收敛的判别方法

Weierstrass 判别法（强级数判别法）

若 $\sup\limits_{x \in I} |u_n(x)| \le a_n, n = 1, 2, \cdots$，且级数 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛。

注：
1. 上面 $\sum a_n$ 称为 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x)$ 的强级数（优级数/控制级数）。
2. W-判别法是充分条件（得到绝对一致收敛），但不是必要的。
3. 为证明连续性，可利用一致收敛区间的任意性，得到连续区间的任意性，进而证明连续性。

Dirichlet-Abel 判别法

设下面条件满足，则级数 $\sum a_n(x) b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛：

1. $\sum a_n(x)$ 的部分和函数列 $\{S_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上一致有界；
2. 函数列 $\{b_n(x)\}$ 单调且在 $I$ 上一致趋于 $0$；

或者：

1. $\sum a_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛；
2. 函数列 $\{b_n(x)\}$ 单调且在 $I$ 上一致有界。

证明略。

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