电子电路与系统基础笔记（4）——信号分析

wzf2000
2020年3月22日

电子电路与系统基础笔记（4）——信号分析

信号分析

电路的基本问题就是信号与系统问题，就是电信号通过电路系统后有怎样的变化（电路分析），如何设计电路使得信号通过它后有期望的变化（电路设计），因此同学应对电路分析和设计中出现的常见信号有一个基本的认识。

复数回顾

课程中使用：
$$
\mathrm{j} = \sqrt{-1}
$$
复数运算与相关知识等略。

正弦波信号

电路问题是信号与系统问题，而电路系统分析中，很多情况都是以正弦波为激励信号来考察电路系统功能的。

电路系统处理的信号均可分解为单频正弦波的叠加（或积分）形式，单频正弦波是这些信号的基信号。

线性系统对单频信号的响应如果清楚了，根据线性系统的叠加性，系统对实际信号的响应就是这些单频信号的系统响应之和。

非线性系统也多采用正弦信号作为激励研究其非线性特性。

旋转矢量

一个矢量做匀速旋转运动，假设旋转一周需要的时间为 $T(s)$，则 $1s$ 时间内可旋转 $1/T$ 周，称之为频率 $f$，$T$ 称为周期（period）。

角度增加的速度为 $\frac{2\pi}{T} = 2 \pi f$，定义其为角速度（angular speed），或者称之为角频率 $\omega(rad/s)$。
$$
f = \frac{1}{T} \\
\omega = 2 \pi f \\
\varphi = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t
$$

正弦波信号的复数表述

旋转矢量 $x$ 轴上的投影为余弦信号，在 $y$ 轴投影为正弦信号。
$$
s(t) = x(t) + \mathrm{j} y(t) \\
= A_m \cos \omega t + \mathrm{j} A_m \sin \omega t \\
= A_m e^{\mathrm{j} \omega t}
$$

正频率与负频率

逆时针旋转矢量可视为正频率矢量，顺时针旋转矢量可视为负频率矢量。

则正弦信号可分解为正频率分量和负频率分量：
$$
\cos \omega t = \frac{1}{2} (e^{\mathrm{j} \omega t} + e^{-\mathrm{j} \omega t}) \\
\sin \omega t = \frac{1}{2 \mathrm{j}} (e^{\mathrm{j} \omega t} - e^{-\mathrm{j} \omega t})
$$

初始相位

$$
\varphi(t) = \omega t + \varphi_0 \\
s(t) = x(t) + \mathrm{j} y(t) \\
= A_m e^{\mathrm{j} \varphi(t)} = A_m e^{\mathrm{j} (\omega t + \varphi_0)} \\
= (A_m e^{\mathrm{j} \varphi_0}) e^{\mathrm{j} \omega t}
$$

描述正弦信号的三要素：幅度 $A_m$，频率 $\omega$，初始相位 $\varphi_0$。
$$
x(t) = A_m \cos (\omega t + \varphi_0)
$$

角度和角速度

角度是角速度的积分，角速度是角度对时间的微分。
$$
\varphi(t) = \int_0^t \omega(\tau) \cdot \mathrm{d} \tau + \varphi_0 \\
\omega(t) = \frac{\mathrm{d} \varphi(t)}{\mathrm{d} t}
$$

信号分类

包括确定性信号与随机信号及其他分类。

周期信号和非周期信号。

周期信号：

• $f(t) = f(t + nT), n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$
  • 满足上式的最小 $T$，称为周期。

非周期信号：即不存在 $T$ 满足上述条件。

模拟信号与数字信号

模拟信号：

• 时间连续，幅度连续。
• $f(t) = \sin (2\pi t)$。

抽样信号：

• 时间离散，幅度连续。
• $f(n \cdot 0.05) = \sin (2 \pi n \cdot 0.05)$

数字信号：

• 时间离散，幅度离散。
• $f(0) = 0.000, f(1) = 0.309_{01699 \cdots}, f(2) = 0.587_{78525 \cdots}$

所谓离散，就是可数。

电路中的数字信号指二进制 $01$ 表述的有限位数的信号。

信号的时域与频域表述

傅里叶变换可以将时域信号变换到频域中处理。

傅里叶逆变换可将频域信号变换到时域。

傅里叶变换关系下，时域和频域等同：包含的信息等同。
$$
f(t) \stackrel{傅里叶变换}{\Longrightarrow} F(\mathrm{j} \omega) \\
f(t) \stackrel{傅里叶逆变换}{\Longleftarrow} F(\mathrm{j} \omega) \\
$$

傅里叶变换的物理意义

$F(\mathrm{j} \omega)$ 是信号的频域表述，频谱结构，$f(t)$ 则是信号的时域表述，时域波形。
$$
F(\mathrm{j} \omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{j} \omega} \mathrm{d} t \\
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\mathrm{j} \omega) e^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega \\
f(t) = f(t + nT) \\
f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} F_n e^{\mathrm{j} n \omega_0 t} \\
= \sum_{n = 0}^{+\infty} c_n \cos (n \omega_0 t + \varphi_n) \\
w_0 = 2\pi \frac{1}{T}
$$
$F$ 单位为 $V/Hz$，是电压密度，$f$ 单位是信号单位 $V$。

$F_n$ 是傅里叶信号。

结论：

时域信号可以表述为单频正弦信号的叠加（积分）。
周期信号可以分解为正弦信号的叠加。

余弦函数的频谱结构

$$
f(t) = A_p \cos \omega_0 t = 0.5 A_p(e^{-\mathrm{j} \omega_0 t} + e^{\mathrm{j} \omega t}) \\
= F_{-1} \cdot e^{-\mathrm{j} \omega_0 t} + F_{+1} \cdot e^{\mathrm{j} \omega_0 t} \\
\mathcal{F}(f(t)) = F(\mathrm{j} \omega) = F(\omega) e^{\mathrm{j} \phi F(\omega)}
$$

正弦函数的频谱结构

$$
f(t) = A_p \sin \omega_0 t \\
= 0.5 A_p e^{\mathrm{j} \frac{\pi}{2}} e^{-\mathrm{j} \omega_0 t} + 0.5 A_p e^{-\mathrm{j} \frac{\pi}{2}} e^{\mathrm{j} \omega_0 t} \\
= F_{-1} \cdot e^{-\mathrm{j} \omega_0 t} + F_{+1} \cdot e^{\mathrm{j} \omega_0 t}
$$

常见信号的频谱结构

正弦信号

正弦函数表述的信号和余弦函数表述的信号在相位上仅差90相移，被统称为正弦信号，并且多以余弦函数表述为准。
$$
f(t) = A_p \cos (\omega_0 t + \varphi_0) \\
= 0.5 A_p e^{\mathrm{j} t} e^{-\mathrm{j} \omega_0 t} + 0.5 A_p e^{-\mathrm{j} t} e^{\mathrm{j} \omega_0 t} \\
= F_{-1} \cdot e^{-\mathrm{j} \omega_0 t} + F_{+1} \cdot e^{\mathrm{j} \omega_0 t}
$$

有效值

rms：root mean square，均方根值。

由功率折算的有效幅度值。

相同幅度的直流具有相同功率。
$$
\overline{f^2(t)} = \frac{A_p^2}{2} \\
\sqrt{\overline{f^2(t)}} = \frac{A_p}{\sqrt{2}} = A_{rms} = 0.707 A_p
$$

直流信号

如果信号幅度和时间无关，是一个常量，则为直流信号。

直流信号可视为正弦信号频率趋于零的极限情况，直流信号的频谱在零频上。
$$
f(t) = A_0 = A_0 e^{\mathrm{j} \cdot 0 \cdot t}
$$

交流信号

平均值为零的信号，称为交流信号。

任何一个信号均可分为直流分量与交流分量之和。
$$
f(t) = f_{DC} + f_{AC}(t) \\
f_{DC} = \overline{f(t)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{d} t \\
f_{AC}(t) = f(t) - \overline{f(t)} \\
\overline{f_{AC}(t)} = \overline{\overline{f(t)}} = \overline{f(t)} - \overline{f(t)} = 0
$$

方波信号：开关信号

$$
S_1(t) =
\begin{cases}
1 & t \in \left[kT - \frac{T}{4}, kT + \frac{T}{4} \right] \\
0 & t \in \left[kT + \frac{T}{4}, kT + \frac{3T}{4} \right]
\end{cases} k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots
$$

傅里叶级数展开：
$$
S_1(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \cos \omega_0 t - \frac{2}{3\pi} \cos 3 \omega_0 t + \frac{2}{5\pi} \cos 5 \omega_0 t - \cdots
$$
$0/1$ 方波信号中包含直流分量，基波分量（第二项），奇次谐波分量。

频谱结构：

单位阶跃信号与单位冲激信号

$$
\Delta (\mathrm{j} \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t \\
= \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) e^{-\mathrm{j} \omega \cdot 0} \mathrm{d} t = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \mathrm{d} t = 1
$$

单位冲激信号中包含了所有的频率分量。

电磁场可抽象为电路

冲激信号产生意味着电磁辐射发生

只有满足准静态条件 $d_{AB} << \lambda$，电磁场问题方可抽象为电路问题。对于冲激信号，其频谱覆盖全频带且所有频率分量幅值相同，因而电路中不可能存在这种信号。当数学上抽象出冲激信号时，在电路中则表现为电磁辐射，原因是此时电路尺寸大于或可比拟高频信号的波长，此时电路已经无法将电磁波束缚在电路导体、介质周围空间，电路变成开放结构，以电磁辐射形式将能量释放到周围空间。

有初始电压的电容短路

$$
\Delta E = -\frac{1}{2} C V_0^2
$$
$Q = CV_0$ 的电荷被瞬间释放。

电容储能 $\frac{1}{2} C V_0^2$ 以电磁辐射形式被瞬间释放，冲激信号的产生意味着电磁辐射的发生。

直流恒压源对接电容

$$
\Delta E = \frac{1}{2} C(V_{S0} - V_0)^2
$$
丢失的能量以电磁辐射形式耗散到周围空间去了。

等效电路角度看能量丢失

从虚线端口（开关对接端口）看，是一个具有 $V_0 - V_{S0}$ 初始电压容值为 $C$ 的电容被开关短路，显然该等效电路将在开关闭合瞬间释放了 $C(V_0 - V_{S0})$ 的电荷，因而产生 $i(t) = C(V_0 - V_{S0}) \delta(t)$ 的冲激电流，以电磁辐射形式将等效电容的储能 $\frac{1}{2} C(V_{S0} - V_0)^2$ 全部释放出去。

两个具有初始电压的电容对接

同样可以用等效电路解读，是一个具有 $V_0 = V_{02} - V_{01}$ 初始电压，容值为 $C = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}$ 的电容被开关短路，显然该等效电路将在开关瞬间释放 $CV_0 = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} (V_{02} - V_{01})$ 的电荷，因而产生 $i(t) = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_{02} - V_{01}) \delta (t)$ 的冲激电流，以电磁辐射形式将等效电容的储能 $\frac{1}{2} \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} (V_{02} - V_{01})^2$ 全部释放出去。

噪声信号

电阻热噪声属于白噪声，其功率谱为常数：
$$
\overline{v_n^2(t)} = 4kTR\Delta f \\
k = 1.38 \times 10^{-23} J/K \\
T = 273 + t(^\circ C)
$$

语音信号

对于确定性信号，由于可以预测其大小，因而可以认为它不含有新的信息。

实际含有信息想信号往往都是随机的，如语音信号。

电路中的信号简化

实际包含信息的信号是随机信号，其功率谱基本上都是连续谱。

为了分析简单，我们往往取连续谱中的一个或两个谱线作为研究对象，用确定性的正弦信号替代非确定的随机信号，分析其被电路系统处理后的信号变化情况，然后将对正弦信号的分析结果推广到随机信号上去。

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