
高等代数笔记——矩阵的广义逆
大家知道, 逆矩阵只对方阵有定义, 而且即便是方阵, 也不是每个方阵都可逆. 本节的目的是推广逆矩阵概念为广义逆, 使得每个矩阵都有广义逆.
设给定 A∈Fm×n, 未知矩阵 X=(xij)∈Fn×m, 其中 xij,1≤i≤n,≤j≤m 是未知的. 考虑矩阵方程
AXA=A
的解.
定理 1 矩阵方程 (1) 恒有解. 具体地说, 设
rankA=r,
而且
A=P(I(r)OOO)m×nQ,
其中 P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵, 并且是取定的. 则矩阵方程 (1) 的通解为
X=Q−1(I(r)BCD)n×mP−1,
其中 B∈Fr×(m−r),C∈F(n−r)×r 和 D∈F(n−r)×(m−r) 是任意的.
应当指出, 当 A 为可逆方阵时, 矩阵方程 (1) 的解显然是 X=A−1. 于是引出如下的定义.
定义1 矩阵方程 AXA=A 的解 X 称为矩阵 A 的广义逆, 记为 A−.
矩阵的广义逆不只是上面所说的一种类型, 还有许多其它类型的广义逆. 除上面的 A− 外, 复矩阵的 Moore-Penrose 广义逆也是经常遇到的.
考虑复数域上的矩阵方程组
(I){AXA=A,(P1)XAX=X,(P2)(AX)∗=AX,(P3)(XA)∗=XA, (P4)
其中 m×n 矩阵 A 是给定的, n×m 矩阵 X 是未知的. 方程组 (I) 称为 Penrose 方程组.
定理2 对任意给定的 m×n 矩阵 A, Penrose 方程组 (I) 总有解, 而且它的解唯一. 具体地说, 设矩阵 A=BC, 其中 B 和 C 分别是列满秩和行满秩矩阵, 则 Penrose 方程组 (I) 的唯一解为
X=C∗(CC∗)−1(B∗B)−1B∗.
证明 把式 (4) 代入 Penrose 方程组 (I) 的每个方程, 可验证 X 为其解. 下面证明解的唯一性.
设矩阵 X1 和 X2 都是 Penrose 方程组 (I) 的解.
由方程 (P2), X1=X1AX1.
由方程 (P1), X1=X1AX2AX1.
由方程 (P3), X1=X1(AX2)∗(AX1)∗=X1(AX1AX2)∗.
由方程 (P1), X1=X1(AX2)∗.
由方程 (P3), X1=X1AX2.
由方程 (P1), X1=X1AX2AX2.
由方程 (P4), X1=(X1A)∗(X2A)∗X2=(X2AX1A)∗X2.
由方程 (P1), X1=(X2A)∗X2.
由方程 (P4), X1=X2AX2.
由方程 (P2), X1=X2.
X1(P2)=X1AX1(P1)=X1AX2AX1(P3)=X1(AX2)∗(AX1)∗=X1(AX1AX2)∗(P1)=X1(AX2)∗(P3)=X1AX2(P1)=X1AX2AX2(P4)=(X1A)∗(X2A)∗X2=(X2AX1A)∗X2(P1)=(X2A)∗X2(P4)=X2AX2(P2)=X2.
这就证明了 Penrose 方程组 (I) 解的唯一性. 定理证毕.
定义2 对于 m×n 矩阵 A, Penrose 方程组 (I) 的解 X 称为矩阵 A 的 Moore-Penrose 广义逆, 记为 A+.
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快教我高代。