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高等代数笔记——矩阵的广义逆

高等代数笔记——矩阵的广义逆

大家知道, 逆矩阵只对方阵有定义, 而且即便是方阵, 也不是每个方阵都可逆. 本节的目的是推广逆矩阵概念为广义逆, 使得每个矩阵都有广义逆.

设给定 AFm×n, 未知矩阵 X=(xij)Fn×m, 其中 xij,1in,jm 是未知的. 考虑矩阵方程
AXA=A


的解.

定理 1 矩阵方程 (1) 恒有解. 具体地说, 设
rankA=r,


而且
A=P(I(r)OOO)m×nQ,

其中 PQ 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵, 并且是取定的. 则矩阵方程 (1) 的通解为
X=Q1(I(r)BCD)n×mP1,

其中 BFr×(mr),CF(nr)×rDF(nr)×(mr) 是任意的.

应当指出, 当 A 为可逆方阵时, 矩阵方程 (1) 的解显然是 X=A1. 于是引出如下的定义.

定义1 矩阵方程 AXA=A 的解 X 称为矩阵 A广义逆, 记为 A.

矩阵的广义逆不只是上面所说的一种类型, 还有许多其它类型的广义逆. 除上面的 A 外, 复矩阵的 Moore-Penrose 广义逆也是经常遇到的.

考虑复数域上的矩阵方程组
(I){AXA=A,(P1)XAX=X,(P2)(AX)=AX,(P3)(XA)=XA,     (P4)

其中 m×n 矩阵 A 是给定的, n×m 矩阵 X 是未知的. 方程组 (I) 称为 Penrose 方程组.

定理2 对任意给定的 m×n 矩阵 A, Penrose 方程组 (I) 总有解, 而且它的解唯一. 具体地说, 设矩阵 A=BC, 其中 BC 分别是列满秩和行满秩矩阵, 则 Penrose 方程组 (I) 的唯一解为
X=C(CC)1(BB)1B.


证明 把式 (4) 代入 Penrose 方程组 (I) 的每个方程, 可验证 X 为其解. 下面证明解的唯一性.
设矩阵 X1X2 都是 Penrose 方程组 (I) 的解.
由方程 (P2), X1=X1AX1.
由方程 (P1), X1=X1AX2AX1.
由方程 (P3), X1=X1(AX2)(AX1)=X1(AX1AX2).
由方程 (P1), X1=X1(AX2).
由方程 (P3), X1=X1AX2.
由方程 (P1), X1=X1AX2AX2.
由方程 (P4), X1=(X1A)(X2A)X2=(X2AX1A)X2.
由方程 (P1), X1=(X2A)X2.
由方程 (P4), X1=X2AX2.
由方程 (P2), X1=X2.
X1(P2)=X1AX1(P1)=X1AX2AX1(P3)=X1(AX2)(AX1)=X1(AX1AX2)(P1)=X1(AX2)(P3)=X1AX2(P1)=X1AX2AX2(P4)=(X1A)(X2A)X2=(X2AX1A)X2(P1)=(X2A)X2(P4)=X2AX2(P2)=X2.

这就证明了 Penrose 方程组 (I) 解的唯一性. 定理证毕.

定义2 对于 m×n 矩阵 A, Penrose 方程组 (I) 的解 X 称为矩阵 AMoore-Penrose 广义逆, 记为 A+.

 

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Comments: 1

  1. wzf2000说道:

    快教我高代。

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