高等代数选讲笔记(6)——根子空间与幂零算子

高等代数选讲笔记(6)——根子空间与幂零算子

第六讲:根子空间与幂零算子

零空间的一些性质

性质 1

令 $U \stackrel{S}{\to} V \stackrel{T}{\to} W$,那么$\mathrm{Null}(S) \subseteq \mathrm{Null}(T \circ S)$。

证明:$\forall v \in \mathrm{Null}(S),Sv = 0,T(Sv) = 0, \therefore v \in \mathrm{Null} (T \circ S)$。

推论:$T : V \to V$,那么:
$$
\{0\} = \mathrm{Null}(T^0) \subseteq \mathrm{Null}(T^1) \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{Null}(T^k) \subseteq \mathrm{Null}(T^{k + 1}) \subseteq \cdots
$$
证明显然。

性质 2

如果 $\mathrm{Null}(T^m) = \mathrm{Null}(T^{m + 1})$,那么 $\mathrm{Null}(T^{m + 1}) = \mathrm{Null}(T^{m + 2}) = \cdots$。

证明:令 $k$ 为正整数,要证明 $\mathrm{Null}(T^{m + k}) = \mathrm{Null}(T^{m + k + 1})$。
$$
\forall v \in \mathrm{Null}(T^{m + k + 1}), T^{m + k + 1}v = 0 \\
\Rightarrow T^{m + 1}T^k v = 0 \Rightarrow T^k v \in \mathrm{Null}(T^{m + 1}) = \mathrm{Null}(T^m) \\
\therefore T^m T^k v = 0, v \in \mathrm{Null}(T^{m + k}) \\
\therefore \mathrm{Null}(T^{m + k + 1}) \subseteq \mathrm{Null})T^{m + k}
$$

性质 3

$n = \dim V$,那么:
$$
\mathrm{Null}(T^n) = \mathrm{Null}(T^{n + 1}) = \cdots
$$
证明:只需要证明 $\mathrm{Null}(T^n) = \mathrm{Null}(T^{n + 1})$。

假设不成立,那么:
$$
0 = \mathrm{Null}(T^0) \subsetneq \mathrm{Null}(T^1) \subsetneq \cdots \subsetneq \mathrm{Null}(T^{n + 1})
$$
故每一步维数至少加 $1$。

则 $\dim \mathrm{Null}(T^{n + 1}) \ge \dim \mathrm{Null}(T^0) + n + 1 = n + 1$ 矛盾,因为 $\mathrm{Null}(T^{n + 1}) \subseteq V, \dim V = n$。

推论:$T : V \to V$:
$$
0 = \mathrm{Null}(T^0) \subseteq \mathrm{Null}(T^1) \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{Null}(T^n) = \mathrm{Null}(T^{n + 1}) = \cdots
$$

直和

定义

$$
V_1, V_2, \cdots, V_k \subseteq V
$$

是 $V$ 的子空间,称:
$$
V_1 + V_2 + \cdots + V_k = \{v_1 + v_2 + \cdots + v_k | v_i \in V_i\}
$$
为一个直和,记作 $V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_k$,如果对于任意 $v_i \in V_i, v_i \not = 0$,$\{v_1, v_2, \cdots, v_k\}$ 都是线性无关的。

练习:$V_1 + V_2 + \cdots + V_k$ 是一个直和
$$
\Leftrightarrow V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_k \to V_1 + V_2 + \cdots + V_k \\
(v_1, v_2, \cdots, v_k) \mapsto v_1 + v_2 + \cdots + v_k
$$
是一个同构。

推论 1

$$
\dim(V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_k) = \dim(V_1) + \dim(V_2) + \cdots + \dim(V_k)
$$

特殊情况:$k = 2$

如果 $V$ 是一个内积空间,$U \subseteq V$ 是 $V$ 子空间,则 $V = U \oplus U^\perp$。

推论 2

$T : V \to V$ 是自伴算子,那么:
$$
\mathrm{Null}(T)^\perp = \mathrm{Range}(T^*) = \mathrm{Range}(T) \\
\Rightarrow V = \mathrm{Null}(T) \oplus \mathrm{Range}(T)
$$
对于一般的 $T$ 不成立。

性质 4(补充)

对于一般 $T : V \to V$,$V = \mathrm{Null}(T^n) \oplus \mathrm{Range}(T^n)$,其中 $n = \dim V$。

证明:先证明:$\mathrm{Null}(T^n) \cap \mathrm{Range}(T^n) = \{0\}$。
$$
v \in \mathrm{Null}(T^n) \cap \mathrm{Range}(T^n), T^n v = 0
$$
且存在 $u$ 使得 $T^nu = v$。
$$
0 = T^n v = T^n T^n u = T^{2n} u
$$
故 $u \in \mathrm{Null}(T^{2n}) = \mathrm{Null}(T^n)$。

则 $v = T^n u = 0$,因此两空间满足直和条件。
$$
\dim(\mathrm{Null}(T^n) \oplus \mathrm{Range}(T^n)) = \dim(\mathrm{Null}(T^n)) + \dim(\mathrm{Range}(T^n)) = n
$$
因此 $V = \mathrm{Null}(T^n) \oplus \mathrm{Range}(T^n)$。

根子空间(广义特征子空间)

$\lambda$ 是特征向量,$v \not = 0$,$(T – \lambda I) v = 0$。

$\lambda$ 的特征空间是 $\mathrm{Null}(T – \lambda I) = E(\lambda, T)$。

如果 $T$ 可以对角化($T$ 自伴, $T$ 酉),那么 $V = E(\lambda_1, T) \oplus E(\lambda_2, T) \oplus \cdots \oplus E(\lambda_m, T)$。

其中 $\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m\}$ 为不同的特征值。

$E(\lambda_i, T)$ 是 $T$ 不变子空间,$T |_{E(\lambda_i, T)} = \lambda_i I$。

定义

对于一般 $T : V \to V$:

  1. 根向量(广义特征向量)是一非零向量 $v$,使得 $(T – \lambda I)^k v = 0$,对于某些 $k > 0$。
  2. $\lambda$ 根空间指 $G(\lambda, T) = \bigcup\limits_{k = 1}^\infty \mathrm{Null}(T – \lambda I)^k =$ 根向量的集合并上零向量。

性质 1

$$
G(\lambda, T) = \mathrm{Null}(T – \lambda I)^{\dim V}
$$

性质 2

$G(\lambda, T)$ 是 $T$ 不变子空间。

证明:令 $v \in G(\lambda, T)$,要证明 $T v \in G(\lambda, T)$。
$$
(T – \lambda I)^n v = 0, (T – \lambda I)^n T v = T (T – \lambda I)^n v = 0
$$
故 $Tv \in G(\lambda, T)$。($T$ 与 $(T – \lambda I)^n$ 每一项均可交换)

推论
$$
G(\lambda, T) = \mathrm{Null}(T – \lambda I)^{\dim G(\lambda, T)}
$$

性质 3

$\lambda_1, \cdots, \lambda_m$ 为不同特征值,$v_1, \cdots, v_m$ 对应特征向量,那么 $v_1, \cdots, v_m$ 是线性无关的。

即 $G(\lambda_1, T) \oplus G(\lambda_2, T) \oplus \cdots \oplus G(\lambda_m, T)$ 是直和。

证明
$$
a_1 v_1 + \cdots a_m v_m = 0 (*)
$$

令 $k$ 为最大的非负整数,使得 $(T – \lambda_1 I)^k v_1 \not = 0$。

记 $w = (T – \lambda_1 I)^k v_1, (T – \lambda_1 I) w = (T – \lambda_1 I)^{k + 1} v= 0$。

则 $T w = \lambda_1 w$。
$$
(T – \lambda_2 I) w = Tw – \lambda_2 w = (\lambda_1 – \lambda_2) w \\
(T – \lambda_2 I)^n w = (\lambda_1 – \lambda_2)^n w
$$
将 $(T – \lambda_1 I)^k (T – \lambda_2 I)^n \cdots (T – \lambda_m I)^n$ 作用在 $(*)$ 得(各项均可交换,考虑到展开后可交换):
$$
a_1(\lambda_1 – \lambda_2)^n (\lambda_1 – \lambda_3)^n \cdots (\lambda_1 – \lambda_m)^n w + 0 + \cdots + 0 = 0 \\
\Rightarrow a_1 = 0
$$
同理 $a_i = 0$,故 $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 线性无关。

幂零算子

定义

$$
N : V \to U
$$

是幂零算子,如果 $N^m = 0$ 对于某些 $m$。

性质 1

$N$ 是幂零算子,那么存在一组基,使得 $N$ 在这个基下的矩阵为:
$$
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & * \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
$$
(严格上三角阵)

证明:存在一组基使得 $N$ 在其下的矩阵为上三角矩阵。

则 $N^m$ 在其下的矩阵的对角线元素为 $N$ 在其下的矩阵的对角线元素对应的 $m$ 次幂,而 $N^m = 0$,故其在这组基下的矩阵为零矩阵。

所以 $N$ 在这组基下的矩阵的对角线元素均为 $0$。

性质 2

任意的严格上三角阵都是幂零矩阵。

证明考虑每乘一次,斜线上均为 $0$ 的增多一条,因此 $N^n = 0$。

推论:$N$ 幂零 $\Leftrightarrow$ 所以 $N$ 的特征值均为 $0$。

 

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