微积分笔记（40）——多变量函数的微分学（3）

wzf2000
2020年3月30日

微积分笔记（40）——多变量函数的微分学（3）

多变量函数的微分学

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复合函数的微分

$$\mathrm{d} \pmb{u} = J \pmb{g}(\mathbf{y}) J \pmb{f}(\mathbf{x}) \mathrm{d} x$$

形式上前两个微分导出第三个微分——微分形式不变。

微分的运算性质

四则运算，复合运算，具体见一元函数微分。

反函数/逆映射定理

反函数/逆映射问题

给定 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^n, D \subseteq \mathbb{R}^n$，考察 $\pmb{f}$ 的反函数及其性质——$\mathbf{y} = \pmb{f}^{-1}(\mathbf{x}) \Leftrightarrow \mathbf{x} = \pmb{f}(\mathbf{y})$。

分析

考虑应用隐函数定理，为此定义 $\pmb{F} : \widetilde{D} \to \mathbb{R}^n$：
$$\pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x} – \pmb{f}(\mathbf{y}), \widetilde{D} = \mathbb{R}^n \times D \subseteq \mathbb{R}^{n + n}$$
再取 $\mathbf{y}_0 \in D^\circ, \mathbf{x_0} = \pmb{f} (\mathbf{y}_0)$，则 $(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) \in \widetilde{D}^\circ, \pmb{F}(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) = \mathbf{0}$。

进一步：
$$J_\mathbf{y} \pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = -J \pmb{f}(\mathbf{y}) \\ J_\mathbf{x} \pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = J \mathbf{x} = I_n$$
$I_n$ 即 $n$ 阶单位矩阵。

回忆隐函数定理，即可导出反函数定理。

反函数/逆映射定理（局部）

设 $\pmb{f} \in C^1(D, \mathbb{R}^n), D \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{y}_0 \in D^\circ$ 满足条件：
$$\det [J \pmb{f}(\mathbf{y}_0)] \not = 0$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $\pmb{g} : B_\delta(\mathbf{x}_0) \to B_\eta(\mathbf{y}_0)$，其中 $\mathbf{y}_0 = \mathbf{x}_0$：

1. $\pmb{f}(\pmb{g}(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \forall \| \mathbf{x} – \mathbf{x}_0 \| < \delta, \pmb{g}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{y}_0$；
2. $\pmb{g} \in C^1(B_\delta(\mathbf{x}_0), \mathbb{R}^n)$；
3. $J \pmb{g}(\mathbf{x}) = [J \pmb{f}(\mathbf{y})]^{-1}, \mathbf{y} = \pmb{g}(\mathbf{x})$。

注：
1. 函数 $\pmb{g}$ 就是 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{y}_0$ 点附近的反函数；
2. 定理只保证在 $\mathbf{y}_0$ 点局部存在反函数。

反函数定理（整体）

设 $\pmb{f} \in C^(D, \mathbb{R}^n), D \subseteq \mathbb{R}^n$ 为开集，且：

1. $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^n$ 为单射；
2. $\forall \mathbf{y} \in D, \det [J \pmb{f}(\mathbf{y})] \not = 0$。

则记 $\Omega = \pmb{f}(D)$，存在 $\pmb{f}$ 的反函数 $\pmb{f}^{-1} \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n)$：
$$J \pmb{f}^{-1}(\mathbf{x}) = [J \pmb{f}(\mathbf{y})]^{-1}, \mathbf{y} = \pmb{f}^{-1}(\mathbf{x}), \forall \mathbf{x} \in \Omega$$
证明：由 1 即得反函数存在。

为证明光滑性，注意到：
$$\mathbf{x} = \pmb{f}(\pmb{f}^{-1}(\mathbf{x})), \forall \mathbf{x} \in \Omega$$
应用链式法则：
$$J \mathbf{x} = I_n = J \pmb{f}(\mathbf{y}) J \pmb{f}^{-1}(\mathbf{x}), \mathbf{y} = \pmb{f}^{-1}(\mathbf{x})$$
所以得证。$\square$

高阶偏导数

本节仅考虑数值函数。

设 $f : D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 为开集：

$1$ 阶偏导数：$D_i f(\mathbf{x}) = \dfrac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x})$ 称为 $1$ 阶偏导数。

$2$ 阶偏导数：如果 $f$ 在 $D$ 内每一点都有 $1$ 阶偏导数，则 $D_i f : D \to \mathbb{R}$ 可以继续考虑偏导数，得到 $2$ 阶偏导数，记为：
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} : = \frac{\partial}{\partial x_i} \left ( \dfrac{\partial f}{\partial x_j} \right ), \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} := \frac{\partial}{\partial x_i} \left ( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \right )$$
$n$ 阶偏导数：
$$\frac{\partial^n f}{\underbrace{\partial x_i \partial x_j \cdots \partial_k}_{n \text{ 个}}} := \frac{\partial}{\partial x_i} \left ( \dfrac{\partial^{n – 1} f}{\underbrace{\partial x_j \cdots \partial x_k}_{n – 1 \text{ 个}}} \right )$$
——递归定义。

Clairaut 定理

设 $f : D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}^2$ 是开集，$P = (x_0, y_0 ) \in D$。

若 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ 和 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ 在 $D$ 内存在且在 $P$ 点连续，则二者在该点相等。

证明：任取 $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \in D, \Delta x, \Delta y \not = 0$。

分别记 $\varphi(\Delta x) = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) – f(x_0 + \Delta x, y_0), \Delta y$ 固定。

$\psi(\Delta y) = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) – f(x_0, y_0 + \Delta y), \Delta x$ 固定。

注意到 $\varphi(\Delta x) – \varphi(0) = \psi(\Delta y) – \psi(0)$。

下面分别研究上式两段。

首先左端应用一元函数微分中值定理 $\exists \theta_1 \in (0, 1)$：
$$\varphi(\Delta x) – \varphi(0) = \varphi^\prime(\theta_1 \Delta x) \Delta x \\ = \left [ \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 \Delta x, y_0 + \Delta y) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 \Delta x, y_0) \right ] \Delta x$$
再次应用一元函数微分中值定理 $\exists \theta_2 \in (0, 1)$：
$$\varphi(\Delta x) – \varphi(0) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x_0 + \theta_1 \Delta x, y_0 + \theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y$$
类似对于右端进行相同操作，消去 $\Delta x \Delta y$ 后取极限便可得结论。$\square$

推论：设 $f : D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是开集。

若 $f$ 在 $D$ 内所有 $k$ 阶偏导数都存在且连续，则 $k$ 阶偏导数的值与关于自变量的求导次序无关。

记号：设 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是开集：
$$C^k(D) := \{ f : D \to \mathbb{R} | f \text{ 的所有 } k \text{ 阶偏导数在 } D \text{ 中连续} \}$$
称为 $D$ 上 $k$ 阶连续可微函数空间（集合）。

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