
微积分笔记(47)——多重积分(3)
多重积分
二重积分的换元公式
复习:一元函数积分换元公式
设 x:[α,β]→[a,b] 是 1−1 对应,且 x(t)∈C1[α,β],x′(t)≠0,令 f∈C[a,b],则:
∫βαf(x(t))x′(t)dt=∫x(β)x(α)f(x)dx
根据 x(α) 与 x(β) 大小关系,积分上下限相应交换。
综上:
∫βαf(x(t))|x′(t)|dt=∫baf(x)dx
其中 dx=|x′(t)|dt 来源于和式中 Δxi=x(ti)–x(ti–1)=|x′(τi)|Δti。
可见 |x′(t)| 是变换 x=x(t) 在 t 点的长度伸缩比。
类比-猜想:二重积分换元公式
设 T:˜D→D 是 R2 上有界区域之间的 1−1 对应,满足一定的光滑性条件,令 f∈C(D),则:
∫Dfdσ=∫˜D(f∘T)(AT)d˜σ
其中 AT 为变换 T 的面积伸缩比:dσ=ATd˜σ。
更明确一些,令 T:x=x(u,v),y=y(u,v),(u,v)∈˜D,记 xy 平面上面积微元 dσ=dxdy,uv 平面上面积微分 d˜σ=dudv,则换元公式可写成:
∬Df(x,y)dxdy=∬˜Df(x(u,v),y(u,v))AT(u,v)dudv
二重积分换元分析
首先是区域分割。
不失一般性,令 ˜D=[a,b]×[c,d],取:
Δu=b–an,ui=a+iΔu,i=0,1,2,⋯,nΔv=d–cm,vj=c+jΔv,j=0,1,2,⋯,m
得到:
˜Dij=[ui–1,ui]×[vj–1,vj],i=1,2,⋯,n,j=1,2,⋯,n
利用 T:˜D→D,上面分割产生了 D 上的 v− 曲线族:
T=T(ui,v),c≤v≤d,i=0,1,⋯,n
以及 u− 曲线族:
T=T(u,vj),a≤u≤b,j=0,1,⋯,m
将 m 相应分割成 n,m 个曲边平行四边形:
Dij,i=1,2,⋯,n,j=1,2,⋯,m
再分析面积。
取上述 ˜D 分割中某子矩形记为 Δ˜D=˜Dij,则 σ(Δ˜D)=ΔuΔv,记 D 相应分割中的曲边平行四边形为 ΔD(=Dij)。
记 Δ˜D 的四个顶点为:
P0=(u,v),P1=(u+Δu,v)P2=(u,v+Δv),P3=(u+Δu,v+Δv)
相应 ΔD 的四个顶点为:
M0=T(P0)=T(u,v)M1=T(P1)=T(u+Δu,v)M2=T(P2)=T(u,v+Δv)M3=T(P3)=T(u+Δu,v+Δv)
为计算 ΔD 的面积,首先需要平面向量:
M1–M0=T(u+Δu,v)–T(u,v)=DuT(u,v)Δu+o(Δu)M2–M0=T(u,v+Δv)–T(u,v)=DvT(u,v)Δv+o(Δv)
进而利用向量积公式得到 ΔD 面积的近似:
σ(ΔD)≈‖(M1–M0)×(M2–M0)‖=‖DuT(u,v)×DvT(u,v)‖ΔuΔv+o(ΔuΔv)
注意到:
DuT(u,v)=(Dux,Duy,0)DvT(u,v)=(Dvx,Dvy,0)
因此:
‖DuT(u,v)DvT(u,v)‖=|det(DuxDuyDvxDvy)|=|detJT(u,v)|
再回到 Riemann 和及其极限。
回到 D 上最初的 u− 曲线族,v− 曲线族分割,利用面积分析,构造下面的 Riemann 和式:
∑i,jf(Mi,j)σ(Di,j)≈∑i,jf(T(Pij))|JT(Pij)|σ(˜Dij)
当分割无限加细时(n,m 趋向于无穷),只要 T 满足适当条件就可以证明上述和式的误差将会消失,这就导出:
∫Dfdσ=∫˜Df∘T|det(JT)|d˜σ
这说明 |det[JT(u,v)]| 就是变换 T 在 (u,v) 点的面积伸缩比。
总结归纳上面的分析就导出了二重积分换元公式。
二重积分换元公式
设 T:˜D→D 是 R2 上有界区域的 1−1 对应,且 T∈C1(˜D,R2),满足 det[JT(u,v)]≠0,令 f∈C(D),则:
∫Dfdσ=∫˜Df∘T|det(JT)|d˜σ
更具体地,记 T:x=x(u,v),y=y(u,v),(u,v)∈˜D。
引入记号:
∂(x,y)∂(u,v):=|DuxDuyDvxDvy|=det[JT(u,v)]
则换元公式可写成:
∬Df(x,y)dxdy=∬˜Df(x(u,v),y(u,v))|∂(x,y)∂(u,v)|dudv
应用
设有界区域 D 可分解为 D=D+∪D−,其中 D+={(x,y)∈D|x≥0},D−={(x,y)∈D|x≤0} 且 D± 关于 y 轴对称:(x,y)∈D+⇔(−x,y)∈D−,令 f∈C(D),求证:
∫Dfdσ=∫D−[f(x,y)+f(−x,y)]dσ
证明只须利用换元公式 x′=−x,y′=y 即可。
推论:设 D 与 f 同上,且 f 是关于 x 的奇函数,则:
∫Dfdσ=0
特例——极坐标换元法
x=rcosθ,y=rsinθ
主要适用于圆盘或相关/类似区域内的二重积分,这是面积伸缩比/雅克比行列式为:
∂(x,y)∂(u,v)=|DrxDryDθxDθy|=|cosθsinθ−rsinθrcosθ|=r
也即面积微分有关系式:
dxdy=rdrdθ
如果 (r,θ)→(x,y) 是 ˜D→D 上的 1−1 对应,则:
∬Df(x,y)dσ=∬˜Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
Piosson 积分
求概率积分:
I=∫+∞−∞e−x2dx
记:
IR=∫R−Re−x2dxV(R)=∬x2+y2≤R2e−(x2+y2)dxdy=∫2π0dθ∫R0e−r2rdr=π(1–e−R2)
而考虑到:
V(R)≤I2R≤V(√2R)
因此:
I2=limR→+∞I2R=limR→+∞V(R)=π⇒I=√π
三重积分的概念与性质
三重积分概念(类比二重积分)
令 Ω=[a,b]×[c,d]×[g,h](3 维长方体),f:Ω→R:
- 将长方体做有限规则分割:T=πx×πy×πz
πx:a=x0<x1<⋯<xn=bπy:c=y0<y1<⋯<ym=dπz:g=z0<z1<⋯<zk=h 将长方体分割为 nmk 个小长方体,任意编号得 Ω=nmk⋃i=1Ωi。 构造 Riemann 和式:
nmk∑i=1f(ξi)μ(Ωi)
其中 μ(Ωi) 表示长方体 Ωi 的体积,ξi∈Ωi 任取,i=1,2,⋯,nmk。定义 f 的三重积分:
∭Ωf(x,y,z)dμ:=lim‖T‖→0nmk∑i=1f(ξi)μ(Di)
如果极限存在。其中 ‖T‖=‖πx‖+‖πy‖+‖πz‖ 称为分割 T 的直径。
如果上述极限存在,称函数 Riemann 可积,记为 f∈R(Ω)。
∭Ωf(x,y,z)dμ=A
也记为:
∫Ωfdμ=A
称为积分值。
Lebesgue 定理
设 Ω 同上,f:Ω→R 有界,则 f∈R(Ω) 的充分必要条件是 f 的间断点集是 3 维零测集。
3 维零测集
E⊆R3 满足以下条件:∀ε>0,存在一列闭长方体 {Ωi}∞i=1,使得 E⊆∞⋃i=1Ωi 并且 ∞∑i=1μ(Ωi)<ε。
零体积集
E⊆R3 满足以下条件:∀ε>0,存在有限个长方体 {Ωi}mi=1,使得 E⊆m⋃i=1Ωi 并且 m∑i=1μ(Ωi)<ε。推论:
- 空间中任意有界平面(块)是零体积集;
- 空间中任意有限块平面块是零体积集;
- 空间中任意有限面积的光滑曲面是零体积集。
Fubini 定理
设 f∈C(Ω),Ω=[a,b]×[c,d]×[g,h],则:
∫Ωfdμ=∫badx∫dcdy∫hgf(x,y,z)dz
同理另外五种顺序也相等(如果积分存在)。
一般有界区域上三重积分
设 Ω⊆R3 为有界区域,f:Ω→R,引入延拓函数:
fΩ(x,y,z):={f(x,y,z)(x,y,z)∈Ω0(x,y,z)∉Ω
以及 ΩM=[−M,M]×[−M,M]×[−M,M]⊇Ω,
如果 fΩ∈R(ΩM),则称 f∈R(Ω),定义 f 的积分值为:
∫Ωfdμ:=∫ΩMfΩdμ
三重积分的性质
线性性,保序性,有界性,区域可加性……
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