微积分笔记（47）——多重积分（3）

wzf2000
2020年5月4日

微积分笔记（47）——多重积分（3）

多重积分

二重积分的换元公式

复习：一元函数积分换元公式

设 $x : [\alpha, \beta] \to [a, b]$ 是 $1-1$ 对应，且 $x(t) \in C^1[\alpha, \beta], x^\prime(t) \not = 0$，令 $f \in C[a, b]$，则：
$$
\int_\alpha^\beta f(x(t)) x^\prime(t) \, \mathrm{d} t = \int_{x(\alpha)}^{x(\beta)} f(x) \, \mathrm{d} x
$$
根据 $x(\alpha)$ 与 $x(\beta)$ 大小关系，积分上下限相应交换。

综上：
$$
\int_\alpha^\beta f(x(t)) |x^\prime(t)| \, \mathrm{d} t = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x
$$
其中 $\mathrm{d} x = |x^\prime(t)| \, \mathrm{d} t$ 来源于和式中 $\Delta x_i = x(t_i) - x(t_{i - 1}) = |x^\prime(\tau_i)| \Delta t_i$。

可见 $|x^\prime(t)|$ 是变换 $x = x(t)$ 在 $t$ 点的长度伸缩比。

类比-猜想：二重积分换元公式

设 $T : \tilde{D} \to D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上有界区域之间的 $1-1$ 对应，满足一定的光滑性条件，令 $f \in C(D)$，则：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\tilde{D}} (f \circ T)(AT) \, \mathrm{d} \tilde{\sigma}
$$
其中 $AT$ 为变换 $T$ 的面积伸缩比：$\mathrm{d} \sigma = AT \mathrm{d} \tilde{\sigma}$。

更明确一些，令 $T : x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) \in \tilde{D}$，记 $xy$ 平面上面积微元 $\mathrm{d} \sigma = \mathrm{d} x \mathrm{d} y$，$uv$ 平面上面积微分 $\mathrm{d} \tilde{\sigma} = \mathrm{d} u \mathrm{d} v$，则换元公式可写成：
$$
\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \iint_{\tilde{D}} f(x(u, v), y(u, v)) AT(u, v) \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v
$$

二重积分换元分析

首先是区域分割。

不失一般性，令 $\tilde{D} = [a, b] \times [c, d]$，取：
$$
\Delta u = \frac{b - a}{n}, u_i = a + i \Delta u, i = 0, 1, 2, \cdots, n \\
\Delta v = \frac{d - c}{m}, v_j = c + j \Delta v, j = 0, 1, 2, \cdots, m
$$
得到：
$$
\tilde{D}_{ij} = [u_{i - 1}, u_i] \times [v_{j - 1}, v_j], i = 1, 2, \cdots, n, j = 1, 2, \cdots, n
$$
利用 $T : \tilde{D} \to D$，上面分割产生了 $D$ 上的 $v-$ 曲线族：
$$
T = T(u_i, v), c \le v \le d, i = 0, 1, \cdots, n
$$
以及 $u-$ 曲线族：
$$
T = T(u, v_j), a \le u \le b, j = 0, 1, \cdots, m
$$
将 $m$ 相应分割成 $n, m$ 个曲边平行四边形：
$$
D_{ij}, i = 1, 2, \cdots, n, j = 1, 2, \cdots, m
$$
再分析面积。

取上述 $\tilde{D}$ 分割中某子矩形记为 $\Delta \tilde{D} = \tilde{D}_{ij}$，则 $\sigma(\Delta \tilde{D}) = \Delta u \Delta v$，记 $D$ 相应分割中的曲边平行四边形为 $\Delta D( = D_{ij})$。

记 $\Delta \tilde{D}$ 的四个顶点为：
$$
P_0 = (u, v), P_1 = (u + \Delta u, v) \\
P_2 = (u, v + \Delta v), P_3 = (u + \Delta u, v + \Delta v)
$$
相应 $\Delta D$ 的四个顶点为：
$$
M_0 = T(P_0) = T(u, v) \\
M_1 = T(P_1) = T(u + \Delta u, v) \\
M_2 = T(P_2) = T(u, v + \Delta v) \\
M_3 = T(P_3) = T(u + \Delta u, v + \Delta v)
$$
为计算 $\Delta D$ 的面积，首先需要平面向量：
$$
M_1 - M_0 = T(u + \Delta u, v) - T(u, v) = D_u T(u, v) \Delta u + o(\Delta u) \\
M_2 - M_0 = T(u, v + \Delta v) - T(u, v) = D_v T(u, v) \Delta v + o(\Delta v)
$$
进而利用向量积公式得到 $\Delta D$ 面积的近似：
$$
\sigma(\Delta D) \approx \| (M_1 - M_0) \times (M_2 - M_0) \| \\
= \| D_u T(u, v) \times D_v T(u, v) \| \Delta u \Delta v + o(\Delta u \Delta v)
$$
注意到：
$$
D_u T(u, v) = (D_u x, D_u y, 0) \\
D_v T(u, v) = (D_v x, D_v y, 0)
$$
因此：
$$
\| D_u T(u, v) D_v T(u, v) \| = \left |
\det
\begin{pmatrix}
D_u x & D_u y \\
D_v x & D_v y
\end{pmatrix}
\right|
= | \det J T(u, v) |
$$
再回到 Riemann 和及其极限。

回到 $D$ 上最初的 $u-$ 曲线族，$v-$ 曲线族分割，利用面积分析，构造下面的 Riemann 和式：
$$
\sum_{i, j} f(M_{i, j}) \sigma(D_{i, j}) \approx \sum_{i, j} f(T(P_{ij})) |J T(P_{ij})| \sigma(\tilde{D}_{ij})
$$
当分割无限加细时（$n, m$ 趋向于无穷），只要 $T$ 满足适当条件就可以证明上述和式的误差将会消失，这就导出：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\tilde{D}} f \circ T | \det(J T)| \, \mathrm{d} \tilde{\sigma}
$$
这说明 $|\det[JT(u, v)]|$ 就是变换 $T$ 在 $(u, v)$ 点的面积伸缩比。

总结归纳上面的分析就导出了二重积分换元公式。

二重积分换元公式

设 $T : \tilde{D} \to D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上有界区域的 $1-1$ 对应，且 $T \in C^1(\tilde{D}, \mathbb{R}^2)$，满足 $\det[JT(u, v)] \not = 0$，令 $f \in C(D)$，则：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\tilde{D}} f \circ T | \det(JT) | \, \mathrm{d} \tilde{\sigma}
$$
更具体地，记 $T : x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) \in \tilde{D}$。

引入记号：
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} :=
\begin{vmatrix}
D_u x & D_u y \\
D_v x & D_v y
\end{vmatrix}
= \det [JT(u, v)]
$$
则换元公式可写成：
$$
\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \iint_{\tilde{D}} f(x(u, v), y(u, v)) \left | \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right | \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v
$$

应用

设有界区域 $D$ 可分解为 $D = D_+ \cup D_-$，其中 $D_+ = \{(x, y) \in D | x \ge 0\}, D_- = \{(x, y) \in D | x \le 0\}$ 且 $D_\pm$ 关于 $y$ 轴对称：$(x, y) \in D_+ \Leftrightarrow (-x, y) \in D_-$，令 $f \in C(D)$，求证：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_-} [f(x, y) + f(-x, y)] \, \mathrm{d} \sigma
$$
证明只须利用换元公式 $x' = -x, y' = y$ 即可。

推论：设 $D$ 与 $f$ 同上，且 $f$ 是关于 $x$ 的奇函数，则：
$$
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = 0
$$

特例——极坐标换元法

$$
x = r \cos \theta, y = r \sin \theta
$$

主要适用于圆盘或相关/类似区域内的二重积分，这是面积伸缩比/雅克比行列式为：
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
\begin{vmatrix}
D_r x & D_r y \\
D_\theta x & D_\theta y
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-r \sin \theta & r \cos \theta
\end{vmatrix}
= r
$$
也即面积微分有关系式：
$$
\mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta
$$
如果 $(r, \theta) \to (x, y)$ 是 $\tilde{D} \to D$ 上的 $1-1$ 对应，则：
$$
\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} \sigma = \iint_{\tilde{D}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta
$$

Piosson 积分

求概率积分：
$$
I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d} x
$$
记：
$$
I_R = \int_{-R}^R e^{-x^2} \, \mathrm{d} x \\
V(R) = \iint_{x^2 + y^2 \le R^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
= \int_0^{2\pi} \, \mathrm{d} \theta \int_0^R e^{-r^2} r \, \mathrm{d} r = \pi\left(1 - e^{-R^2}\right)
$$
而考虑到：
$$
V(R) \le I_R^2 \le V(\sqrt{2} R)
$$
因此：
$$
I^2 = \lim_{R \to +\infty} I_R^2 = \lim_{R \to +\infty} V(R) = \pi \Rightarrow I = \sqrt{\pi}
$$

三重积分的概念与性质

三重积分概念（类比二重积分）

令 $\Omega = [a, b] \times [c, d] \times [g, h]$（$3$ 维长方体），$f : \Omega \to \mathbb{R}$：

1. 将长方体做有限规则分割：$T = \pi_x \times \pi_y \times \pi_z$
   $$
   \pi_x : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \\ \pi_y : c = y_0 < y_1 < \cdots < y_m = d \\ \pi_z : g = z_0 < z_1 < \cdots < z_k = h $$ 将长方体分割为 $nmk$ 个小长方体，任意编号得 $\Omega = \bigcup\limits_{i = 1}^{nmk} \Omega_i$。

2. 构造 Riemann 和式：
   $$
   \sum_{i = 1}^{nmk} f(\xi_i) \mu(\Omega_i)
   $$
   其中 $\mu(\Omega_i)$ 表示长方体 $\Omega_i$ 的体积，$\xi_i \in \Omega_i$ 任取，$i = 1, 2, \cdots, nmk$。

3. 定义 $f$ 的三重积分：
   $$
   \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^{nmk} f(\xi_i) \mu(D_i)
   $$
   如果极限存在。

   其中 $\| T \| = \| \pi_x \| + \| \pi_y \| + \| \pi_z \|$ 称为分割 $T$ 的直径。

   如果上述极限存在，称函数 Riemann 可积，记为 $f \in R(\Omega)$。
   $$
   \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu = A
   $$
   也记为：
   $$
   \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = A
   $$
   称为积分值。

Lebesgue 定理

设 $\Omega$ 同上，$f : \Omega \to \mathbb{R}$ 有界，则 $f \in R(\Omega)$ 的充分必要条件是 $f$ 的间断点集是 $3$ 维零测集。

$3$ 维零测集

$E \subseteq \mathbb{R}^3$ 满足以下条件：$\forall \varepsilon > 0$，存在一列闭长方体 $\{\Omega_i\}_{i = 1}^\infty$，使得 $E \subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^\infty \Omega_i$ 并且 $\sum\limits_{i = 1}^\infty \mu(\Omega_i) < \varepsilon$。

零体积集

$E \subseteq \mathbb{R}^3$ 满足以下条件：$\forall \varepsilon > 0$，存在有限个长方体 $\{\Omega_i\}_{i = 1}^m$，使得 $E \subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^m \Omega_i$ 并且 $\sum\limits_{i = 1}^m \mu(\Omega_i) < \varepsilon$。推论：

1. 空间中任意有界平面（块）是零体积集；
2. 空间中任意有限块平面块是零体积集；
3. 空间中任意有限面积的光滑曲面是零体积集。

Fubini 定理

设 $f \in C(\Omega), \Omega = [a, b] \times [c, d] \times [g, h]$，则：
$$
\int_{\Omega} f \, \mathrm{d} \mu = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_c^d \, \mathrm{d} y \int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z
$$
同理另外五种顺序也相等（如果积分存在）。

一般有界区域上三重积分

设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为有界区域，$f : \Omega \to \mathbb{R}$，引入延拓函数：
$$
f_\Omega(x, y, z) :=
\begin{cases}
f(x, y, z) & (x, y, z) \in \Omega \\
0 & (x, y, z) \not \in \Omega
\end{cases}
$$
以及 $\Omega_M = [-M, M] \times [-M, M] \times [-M, M] \supseteq \Omega$，

如果 $f_\Omega \in R(\Omega_M)$，则称 $f \in R(\Omega)$，定义 $f$ 的积分值为：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu := \int_{\Omega_M} f_\Omega \, \mathrm{d} \mu
$$

三重积分的性质

线性性，保序性，有界性，区域可加性……

 微积分 笔记