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微积分笔记(47)——多重积分(3)

微积分笔记(47)——多重积分(3)

多重积分

二重积分的换元公式

复习:一元函数积分换元公式

x:[α,β][a,b]11 对应,且 x(t)C1[α,β],x(t)0,令 fC[a,b],则:
βαf(x(t))x(t)dt=x(β)x(α)f(x)dx
根据 x(α)x(β) 大小关系,积分上下限相应交换。

综上:
βαf(x(t))|x(t)|dt=baf(x)dx
其中 dx=|x(t)|dt 来源于和式中 Δxi=x(ti)x(ti1)=|x(τi)|Δti

可见 |x(t)| 是变换 x=x(t)t 点的长度伸缩比。

类比-猜想:二重积分换元公式

T:˜DDR2 上有界区域之间的 11 对应,满足一定的光滑性条件,令 fC(D),则:
Dfdσ=˜D(fT)(AT)d˜σ
其中 AT 为变换 T 的面积伸缩比:dσ=ATd˜σ

更明确一些,令 T:x=x(u,v),y=y(u,v),(u,v)˜D,记 xy 平面上面积微元 dσ=dxdyuv 平面上面积微分 d˜σ=dudv,则换元公式可写成:
Df(x,y)dxdy=˜Df(x(u,v),y(u,v))AT(u,v)dudv

二重积分换元分析

首先是区域分割。

不失一般性,令 ˜D=[a,b]×[c,d],取:
Δu=ban,ui=a+iΔu,i=0,1,2,,nΔv=dcm,vj=c+jΔv,j=0,1,2,,m
得到:
˜Dij=[ui1,ui]×[vj1,vj],i=1,2,,n,j=1,2,,n
利用 T:˜DD,上面分割产生了 D 上的 v 曲线族:
T=T(ui,v),cvd,i=0,1,,n
以及 u 曲线族:
T=T(u,vj),aub,j=0,1,,m
m 相应分割成 n,m 个曲边平行四边形:
Dij,i=1,2,,n,j=1,2,,m
再分析面积。

取上述 ˜D 分割中某子矩形记为 Δ˜D=˜Dij,则 σ(Δ˜D)=ΔuΔv,记 D 相应分割中的曲边平行四边形为 ΔD(=Dij)

Δ˜D 的四个顶点为:
P0=(u,v),P1=(u+Δu,v)P2=(u,v+Δv),P3=(u+Δu,v+Δv)
相应 ΔD 的四个顶点为:
M0=T(P0)=T(u,v)M1=T(P1)=T(u+Δu,v)M2=T(P2)=T(u,v+Δv)M3=T(P3)=T(u+Δu,v+Δv)
为计算 ΔD 的面积,首先需要平面向量:
M1M0=T(u+Δu,v)T(u,v)=DuT(u,v)Δu+o(Δu)M2M0=T(u,v+Δv)T(u,v)=DvT(u,v)Δv+o(Δv)
进而利用向量积公式得到 ΔD 面积的近似:
σ(ΔD)(M1M0)×(M2M0)=DuT(u,v)×DvT(u,v)ΔuΔv+o(ΔuΔv)
注意到:
DuT(u,v)=(Dux,Duy,0)DvT(u,v)=(Dvx,Dvy,0)
因此:
DuT(u,v)DvT(u,v)=|det(DuxDuyDvxDvy)|=|detJT(u,v)|
再回到 Riemann 和及其极限。

回到 D 上最初的 u 曲线族,v 曲线族分割,利用面积分析,构造下面的 Riemann 和式:
i,jf(Mi,j)σ(Di,j)i,jf(T(Pij))|JT(Pij)|σ(˜Dij)
当分割无限加细时(n,m 趋向于无穷),只要 T 满足适当条件就可以证明上述和式的误差将会消失,这就导出:
Dfdσ=˜DfT|det(JT)|d˜σ
这说明 |det[JT(u,v)]| 就是变换 T(u,v) 点的面积伸缩比。

总结归纳上面的分析就导出了二重积分换元公式。

二重积分换元公式

T:˜DDR2 上有界区域的 11 对应,且 TC1(˜D,R2),满足 det[JT(u,v)]0,令 fC(D),则:
Dfdσ=˜DfT|det(JT)|d˜σ
更具体地,记 T:x=x(u,v),y=y(u,v),(u,v)˜D

引入记号:
(x,y)(u,v):=|DuxDuyDvxDvy|=det[JT(u,v)]
则换元公式可写成:
Df(x,y)dxdy=˜Df(x(u,v),y(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv

应用

设有界区域 D 可分解为 D=D+D,其中 D+={(x,y)D|x0},D={(x,y)D|x0}D± 关于 y 轴对称:(x,y)D+(x,y)D,令 fC(D),求证:
Dfdσ=D[f(x,y)+f(x,y)]dσ
证明只须利用换元公式 x=x,y=y 即可。

推论:设 Df 同上,且 f 是关于 x 的奇函数,则:
Dfdσ=0

特例——极坐标换元法

x=rcosθ,y=rsinθ

主要适用于圆盘或相关/类似区域内的二重积分,这是面积伸缩比/雅克比行列式为:
(x,y)(u,v)=|DrxDryDθxDθy|=|cosθsinθrsinθrcosθ|=r
也即面积微分有关系式:
dxdy=rdrdθ
如果 (r,θ)(x,y)˜DD 上的 11 对应,则:
Df(x,y)dσ=˜Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

Piosson 积分

求概率积分:
I=+ex2dx
记:
IR=RRex2dxV(R)=x2+y2R2e(x2+y2)dxdy=2π0dθR0er2rdr=π(1eR2)
而考虑到:
V(R)I2RV(2R)
因此:
I2=limR+I2R=limR+V(R)=πI=π

三重积分的概念与性质

三重积分概念(类比二重积分)

Ω=[a,b]×[c,d]×[g,h]3 维长方体),f:ΩR

  1. 将长方体做有限规则分割:T=πx×πy×πz
    πx:a=x0<x1<<xn=bπy:c=y0<y1<<ym=dπz:g=z0<z1<<zk=h 将长方体分割为 nmk 个小长方体,任意编号得 Ω=nmki=1Ωi

  2. 构造 Riemann 和式:
    nmki=1f(ξi)μ(Ωi)
    其中 μ(Ωi) 表示长方体 Ωi 的体积,ξiΩi 任取,i=1,2,,nmk

  3. 定义 f 的三重积分:
    Ωf(x,y,z)dμ:=limT0nmki=1f(ξi)μ(Di)
    如果极限存在。

    其中 T=πx+πy+πz 称为分割 T 的直径。

    如果上述极限存在,称函数 Riemann 可积,记为 fR(Ω)
    Ωf(x,y,z)dμ=A
    也记为:
    Ωfdμ=A
    称为积分值。

Lebesgue 定理

Ω 同上,f:ΩR 有界,则 fR(Ω) 的充分必要条件是 f 的间断点集是 3 维零测集。

3 维零测集

ER3 满足以下条件:ε>0,存在一列闭长方体 {Ωi}i=1,使得 Ei=1Ωi 并且 i=1μ(Ωi)<ε

零体积集

ER3 满足以下条件:ε>0,存在有限个长方体 {Ωi}mi=1,使得 Emi=1Ωi 并且 mi=1μ(Ωi)<ε推论

  1. 空间中任意有界平面(块)是零体积集;
  2. 空间中任意有限块平面块是零体积集;
  3. 空间中任意有限面积的光滑曲面是零体积集。

Fubini 定理

fC(Ω),Ω=[a,b]×[c,d]×[g,h],则:
Ωfdμ=badxdcdyhgf(x,y,z)dz
同理另外五种顺序也相等(如果积分存在)。

一般有界区域上三重积分

ΩR3 为有界区域,f:ΩR,引入延拓函数:
fΩ(x,y,z):={f(x,y,z)(x,y,z)Ω0(x,y,z)Ω
以及 ΩM=[M,M]×[M,M]×[M,M]Ω

如果 fΩR(ΩM),则称 fR(Ω),定义 f 的积分值为:
Ωfdμ:=ΩMfΩdμ

三重积分的性质

线性性,保序性,有界性,区域可加性……

 

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