微积分笔记(48)——多重积分(4)

微积分笔记(48)——多重积分(4)

Contents

多重积分

三重积分的计算

Fubini 定理推论

设 $f \in C(\Omega)$,$\Omega$ 同定理,记 $D = [a, b] \times [c, d]$,则:
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z = \int_g^h \, \mathrm{d} z \iint_D f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
其中:
$$
\iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z = \iint_D \left [\int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z \right] \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
\int_g^h \, \mathrm{d} z \iint_D f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \int_g^h \left [\iint_D f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \right] \, \mathrm{d} z
$$
定理:设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 有界且 $\partial \Omega$ 是零体积集,则 $C(\Omega) \subseteq R(\Omega)$。

一般区域上的三重积分计算

  1. 柱形区域 $f \in C(\Omega)$:
    $$
    \Omega = \{(x, y, z) | z_1(x, y) \le z \le z_2(x, y), (x, y) \in D\}
    $$
    其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上有界区域,$z_1, z_2 \in C(D)$,且 $z_1 \le z_2$,则:
    $$
    \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \iint_{D_M} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_{-M}^M f_\Omega(x, y, z) \, \mathrm{d} z \\
    = \iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \, \mathrm{d} z \\
    $$
    :先做一重积分,后做二重积分。

  2. 薄层堆叠区域 $f \in C(\Omega)$:
    $$
    \Omega = \{(x, y, z) | (x, y) \in D(z), a \le z \le b\}
    $$
    其中 $D(z)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中有界区域(与 $z$ 相关),则:
    $$
    \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_{-M}^M \, \mathrm{d} z \iint_{D_M} f_\Omega(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
    = \int_a^b \, \mathrm{d} z \iint_{D(z)} f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
    $$
    :先做二重积分,后做一重积分。

    也称切片法。

三重积分换元公式

设 $T : \tilde{\Omega} \to \Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上有界区域的 $1-1$ 对应,且 $T \in C^1(\tilde{\Omega}, \mathbb{R}^3)$ 满足 $\det(JT) \not = 0$,令 $f \in C(\Omega)$,则:
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_0^\Omega f \circ T |\det(JT)| \, \mathrm{d} \, \tilde{\mu}
$$
记 $T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), (u, v, w) \in \tilde{\Omega}$,引入记号:
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} := \det [JT(u, v, w)]
$$
则换元公式可以写成:
$$
\iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z = \iiint_\Omega f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \right| \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \, \mathrm{d} w
$$

特例 1——柱坐标换元法

$$
x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, z = z
$$

主要适用于圆柱或相关/类似区域内的三重积分,这时体积伸缩比/雅克比行列式:
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
\begin{vmatrix}
D_r x & D_r y & D_r z \\
D_\theta x & D_\theta y & D_\theta z \\
D_z x & D_z y & D_z z
\end{vmatrix}
= r
$$
也即体积微元有关系式:
$$
\mathrm{d} \mu = \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z = r \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} z
$$
如果 $(r, \theta, z) \to (x, y, z)$ 是 $\tilde{\Omega} \to \Omega$ 上的 $1-1$ 对应,则:
$$
\iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu = \iiint_{\tilde{\Omega}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} z
$$

特例 2——球坐标换元法

$$
x = r \sin \theta \cos \varphi, y = r \sin \theta \sin \varphi, z = r \cos \theta
$$

主要适用于球形或相关/类似区域内的三重积分,这时伸缩比/雅克比行列式为:
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
\begin{vmatrix}
D_r x & D_r y & D_r z \\
D_\theta x & D_\theta y & D_\theta z \\
D_\varphi x & D_\varphi y & D_\varphi z
\end{vmatrix}
= r^2 \sin \theta
$$
体积微元关系式为:
$$
\mathrm{d} \mu = \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z = r^2 \sin \theta \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \varphi
$$
如果 $(r, \theta, \varphi) \to (x, y, z)$ 是 $\tilde{\Omega} \to \Omega$ 上的 $1-1$ 对应,则:
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \iiint_\Omega f(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \varphi
$$

重积分的物理应用

回忆:重积分应用原理

  1. 计算可以叠加的量(几何/物理量);
  2. 分割之后便于计算(逼近),求和得到近似值;
  3. 分割加细,误差范围更小,取极限得到准确值。

微元叠加法(计算区域 $V$ 中某物理量 $Q$)

  1. 任取区域 $V$ 中某点 $P$ 处的体积微元,根据物理定律,得到 $Q$ 在 $\mathrm{d} V$ 的微分值 $\mathrm{d} Q = f(P) \, \mathrm{d} \mu$。

  2. 将 $\mathrm{d} Q$ 叠加求和($P$ 取遍 $V$ 中)得到积分式:
    $$
    Q = \int_V f(P) \, \mathrm{d} V
    $$

物体质量-静力矩-重心-惯性矩

设 $\rho : \Omega \to \mathbb{R}_+$ 为物体密度函数,取 $(x, y, z) \in \Omega$ 处体积微元 $\mathrm{d} \mu$,则该点处物体质量微元 $\mathrm{d} M = \rho(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu$,相应静力矩:
$$
\mathrm{d} M_{yz} = x \, \mathrm{d} M = x \rho(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu
$$
关于 $x = 0$ 平面。

关于 $y = 0, z = 0$ 平面也类似。

求和得到总质量:
$$
M = \int_\Omega \rho \, \mathrm{d} \mu
$$
以及静力矩:
$$
M_{yz} = \int_\Omega x \rho \, \mathrm{d} \mu
$$
关于另外两个平面也类似。

由此得到物体重心坐标:
$$
\left(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}\right) = \left(\frac{M_{yz}}{M}, \frac{M_{zx}}{M}, \frac{M_{xy}}{M}\right)
$$
类似可得惯性矩:
$$
I_x = \int_\Omega (y^2 + z^2) \rho \, \mathrm{d} \mu
$$
另外两维也类似。

万有引力(电场力)

设 $\rho : \Omega \to \mathbb{R}_+$ 为物体密度函数,取 $P \in \Omega$ 处体积微元 $\mathrm{d} \mu$,按照万有引力定律,到某点 $P_0$ 的引力(略去引力常数)大小:
$$
\| \mathrm{d} \pmb{F} \| = \frac{\rho(P) \, \mathrm{d} \mu}{\| P – P_0 \|^2}
$$
方向:
$$
\mathbf{n} = \frac{P – P_0}{\| P – P_0 \|}
$$
所以 $P$ 点物体微元在 $P_0$ 点的引力向量:
$$
\mathrm{d} \pmb{F} = \frac{(P – P_0)\rho(P) \, \mathrm{d} \mu}{\| P – P_0 \|^3}
$$
求和得到:
$$
\pmb{F} = \int_\Omega \frac{(P – P_0)\rho(P) \, \mathrm{d} \mu}{\| P – P_0 \|^3}
$$
也即:
$$
\pmb{F} = (F_x, F_y, F_z) = \iiint_\Omega \frac{(x – x_0, y – y_0, z – z_0) \rho(x, y, z)}{[(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 + (z – z_0)^2]^{\frac{3}{2}}} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z
$$

$n$ 重积分

$n$ 维长方体(类比 $3$ 维长方体)

$\Omega = I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n$,其中每个 $I_i = [a_i, b_i]$ 为实数闭区间,其 $n$ 维体积定义为:
$$
\mu(\Omega) := (b_1 – a_1) (b_2 – a_2) \cdots (b_n – a_n)
$$

$n$ 重积分概念

$$
f : \Omega \to \mathbb{R}
$$

  1. 将 $n$ 维长方体做有限规则分割:
    $$
    T : \Omega = \bigcup_{i = 1}^k \Omega_i
    $$
    分割得到有限($k$)个 $n$ 维子长方体,分割的直径记为 $\| T \|$。

  2. 构造 Riemann 和式:
    $$
    \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \mu(\Omega_i)
    $$
    其中 $\mu(\Omega_i)$ 为长方体 $\Omega$ 的 $n$ 维体积,$\xi \in \Omega_i$ 任取,$i = 1, 2, \cdots, k$。

  3. 定义 $f$ 的 $n$ 重积分:
    $$
    \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \mu(\Omega_i)
    $$
    如果极限存在,称函数 Riemann 可积,记为 $f \in R(\Omega)$,上面的极限称为积分值,也记为:
    $$
    \idotsint_{\Omega} f(x_1, x_2, \cdots, x_n) \, \mathrm{d} x_1 \, \mathrm{d} x_2 \cdots \mathrm{d} x_n = \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu
    $$

Lebesgue 定理

设 $\Omega$ 同上,$f : \Omega \to \mathbb{R}$ 有界,则 $f \in R(\Omega)$ 的充分必要条件是 $f$ 的间断点集是 $n$ 维零测集。

$n$ 维零测集与 $n$ 维零体积集参照 $1 \sim 3$ 维情况的定义。

Fubini 定理

设 $f \in C(\Omega)$ ,$\Omega$ 同上为 $n$ 维长方体,则由 $n!$ 种累次积分次序计算 $f$ 的积分值。

$n$ 维有界区域上的 $n$ 重积分

设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为有界区域,$f : \Omega \to \mathbb{R}$,引入延拓:
$$
f_\Omega(\mathbf{x}) :=
\begin{cases}
f(\mathbf{x}) & \mathbf{x} \in \Omega \\
0 & \mathbf{x} \not \in \Omega
\end{cases}
$$
以及:
$$
\Omega_M = \prod_{i = 1}^n [-M, M] \supseteq \Omega
$$
如果 $f_\Omega \in R(\Omega_M)$,则称 $f \in R(\Omega)$,并定义:
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu := \int_{\Omega_M} f_\Omega \, \mathrm{d} \mu
$$

$n$ 重积分的性质

线性性,保序性,有界性,区域可加性……

一般区域上 $n$ 重积分的计算

  1. 柱形区域:记 $\mathbf{x}’ = (x_1, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^{n – 1}$:
    $$
    \Omega = \{\mathbf{x} = (\mathbf{x}’, x_n) \in \mathbb{R}^n | \varphi_1(\mathbf{x}’) \le x_n \le \varphi_2(\mathbf{x}’), \mathbf{x}’ \in D\}
    $$
    其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^{n – 1}$ 中有界区域,$\varphi_1, \varphi_2 \in C(D)$,且 $\varphi_1 \le \varphi_2$,令 $f \in C(\Omega)$,则:
    $$
    \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_D \, \mathrm{d} \mathbf{x}’ \int_{\varphi_1(\mathbf{x}’)}^{\varphi_2(\mathbf{x}’)} f(\mathbf{x}’, x_n) \, \mathrm{d} x_n \\
    = \idotsint_D \, \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n – 1} \int_{\varphi_1(x_1, \cdots, x_{n – 1})}^{\varphi_2(x_1, \cdots, x_{n – 1})} f(x_1, \cdots, x_{n – 1}, x_n) \, \mathrm{d} x_n
    $$
    先做一重积分,后做 $(n – 1)$ 重积分。

  2. 薄层堆叠区域
    $$
    \Omega = \{\mathbf{x} = (\mathbf{x}’, x_n) \in \mathbb{R}^n | \mathbf{x}’ \in D(x_n), a \le x_n \le b\}
    $$
    其中 $D(x_n)$ 为 $\mathbb{R}^{n – 1}$ 中有界区域(与 $x_n$ 有关),对于 $f \in C(\Omega)$:
    $$
    \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_a^b \, \mathrm{d} x_n \int_{D(x_n)} f(\mathbf{x}’, x_n) \, \mathrm{d} \mathbf{x}’ \\
    = \int_a^b \, \mathrm{d} x_n \idotsint_{D(x_n)} f(x_1, \cdots, x_{n – 1}, x_n) \, \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n – 1}
    $$
    先做 $(n – 1)$ 重积分,后做一重积分,可称为区域切片法。

  3. 同样还有其他积分顺序。

$n$ 重积分换元公式

设 $T : \tilde{\Omega} \to \Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上有界区域的 $1-1$ 对应,且 $T \in C^1(\tilde{\Omega}, \mathbb{R}^n)$ 满足 $\det(JT) \not = 0$,令 $f \in C(\Omega)$,则:
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_{\tilde{\Omega}} f \circ T | \det (JT)| \, \mathrm{d} \mu
$$
记 $T : x_i = x_i(u1, \cdots, u_n), (u_1, \cdots, u_n) \in \tilde{\Omega}, i = 1, 2, \cdots, n$。

引入记号:
$$
\frac{\partial(x_1, \cdots, x_n)}{\partial(u_1, \cdots, u_n)} := \det [JT(u_1, \cdots, u_n)]
$$
则换元公式可写成:
$$
\idotsint_\Omega f(x_1, \cdots, x_n) \, \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n \\
= \idotsint_\Omega f(x_1(u_1, \cdots, u_n), \cdots, x_n(u_1, \cdots, u_n)) \left|\frac{\partial(x_1, \cdots, x_n)}{\partial(u_1, \cdots, u_n)}\right| \, \mathrm{d} \mu_1 \cdots \mathrm{d} \mu_n
$$

 

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