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微积分笔记(48)——多重积分(4)

微积分笔记(48)——多重积分(4)

多重积分

三重积分的计算

Fubini 定理推论

fC(Ω)Ω 同定理,记 D=[a,b]×[c,d],则:
Ωfdμ=Ddxdyhgf(x,y,z)dz=hgdzDf(x,y,z)dxdy


其中:
Ddxdyhgf(x,y,z)dz=D[hgf(x,y,z)dz]dxdyhgdzDf(x,y,z)dxdy=hg[Df(x,y,z)dxdy]dz

定理:设 ΩR3 有界且 Ω 是零体积集,则 C(Ω)R(Ω)

一般区域上的三重积分计算

  1. 柱形区域 fC(Ω)
    Ω={(x,y,z)|z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D}

    其中 DR2 上有界区域,z1,z2C(D),且 z1z2,则:
    Ωfdμ=DMdxdyMMfΩ(x,y,z)dz=Ddxdyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

    :先做一重积分,后做二重积分。

  2. 薄层堆叠区域 fC(Ω)
    Ω={(x,y,z)|(x,y)D(z),azb}


    其中 D(z)R2 中有界区域(与 z 相关),则:
    Ωfdμ=MMdzDMfΩ(x,y,z)dxdy=badzD(z)f(x,y,z)dxdy

    :先做二重积分,后做一重积分。

    也称切片法。

三重积分换元公式

T:˜ΩΩR3 上有界区域的 11 对应,且 TC1(˜Ω,R3) 满足 det(JT)0,令 fC(Ω),则:
Ωfdμ=Ω0fT|det(JT)|d˜μ


T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),(u,v,w)˜Ω,引入记号:
(x,y,z)(u,v,w):=det[JT(u,v,w)]

则换元公式可以写成:
Ωf(x,y,z)dxdydz=Ωf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|(x,y,z)(u,v,w)|dudvdw

特例 1——柱坐标换元法

x=rcosθ,y=rsinθ,z=z

主要适用于圆柱或相关/类似区域内的三重积分,这时体积伸缩比/雅克比行列式:
(x,y,z)(u,v,w)=|DrxDryDrzDθxDθyDθzDzxDzyDzz|=r


也即体积微元有关系式:
dμ=dxdydz=rdrdθdz

如果 (r,θ,z)(x,y,z)˜ΩΩ 上的 11 对应,则:
Ωf(x,y,z)dμ=˜Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz

特例 2——球坐标换元法

x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ

主要适用于球形或相关/类似区域内的三重积分,这时伸缩比/雅克比行列式为:
(x,y,z)(u,v,w)=|DrxDryDrzDθxDθyDθzDφxDφyDφz|=r2sinθ


体积微元关系式为:
dμ=dxdydz=r2sinθdrdθdφ

如果 (r,θ,φ)(x,y,z)˜ΩΩ 上的 11 对应,则:
Ωfdμ=Ωf(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)r2sinθdrdθdφ

重积分的物理应用

回忆:重积分应用原理

  1. 计算可以叠加的量(几何/物理量);
  2. 分割之后便于计算(逼近),求和得到近似值;
  3. 分割加细,误差范围更小,取极限得到准确值。

微元叠加法(计算区域 V 中某物理量 Q

  1. 任取区域 V 中某点 P 处的体积微元,根据物理定律,得到 QdV 的微分值 dQ=f(P)dμ

  2. dQ 叠加求和(P 取遍 V 中)得到积分式:
    Q=Vf(P)dV

物体质量-静力矩-重心-惯性矩

ρ:ΩR+ 为物体密度函数,取 (x,y,z)Ω 处体积微元 dμ,则该点处物体质量微元 dM=ρ(x,y,z)dμ,相应静力矩:
dMyz=xdM=xρ(x,y,z)dμ


关于 x=0 平面。

关于 y=0,z=0 平面也类似。

求和得到总质量:
M=Ωρdμ


以及静力矩:
Myz=Ωxρdμ

关于另外两个平面也类似。

由此得到物体重心坐标:
(¯x,¯y,¯z)=(MyzM,MzxM,MxyM)


类似可得惯性矩:
Ix=Ω(y2+z2)ρdμ

另外两维也类似。

万有引力(电场力)

ρ:ΩR+ 为物体密度函数,取 PΩ 处体积微元 dμ,按照万有引力定律,到某点 P0 的引力(略去引力常数)大小:
dFF=ρ(P)dμPP02


方向:
n=PP0PP0

所以 P 点物体微元在 P0 点的引力向量:
dFF=(PP0)ρ(P)dμPP03

求和得到:
FF=Ω(PP0)ρ(P)dμPP03

也即:
FF=(Fx,Fy,Fz)=Ω(xx0,yy0,zz0)ρ(x,y,z)[(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2]32dxdydz

n 重积分

n 维长方体(类比 3 维长方体)

Ω=I1×I2××In,其中每个 Ii=[ai,bi] 为实数闭区间,其 n 维体积定义为:
μ(Ω):=(b1a1)(b2a2)(bnan)

n 重积分概念

f:ΩR

  1. n 维长方体做有限规则分割:
    T:Ω=ki=1Ωi

    分割得到有限(k)个 n 维子长方体,分割的直径记为 T

  2. 构造 Riemann 和式:
    ki=1f(ξi)μ(Ωi)


    其中 μ(Ωi) 为长方体 Ωn 维体积,ξΩi 任取,i=1,2,,k

  3. 定义 fn 重积分:
    Ωfdμ:=limT0ki=1f(ξi)μ(Ωi)


    如果极限存在,称函数 Riemann 可积,记为 fR(Ω),上面的极限称为积分值,也记为:
    Ωf(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn=Ωfdμ

Lebesgue 定理

Ω 同上,f:ΩR 有界,则 fR(Ω) 的充分必要条件是 f 的间断点集是 n 维零测集。

n 维零测集与 n 维零体积集参照 13 维情况的定义。

Fubini 定理

fC(Ω)Ω 同上为 n 维长方体,则由 n! 种累次积分次序计算 f 的积分值。

n 维有界区域上的 n 重积分

ΩRn 为有界区域,f:ΩR,引入延拓:
fΩ(x):={f(x)xΩ0xΩ


以及:
ΩM=ni=1[M,M]Ω

如果 fΩR(ΩM),则称 fR(Ω),并定义:
Ωfdμ:=ΩMfΩdμ

n 重积分的性质

线性性,保序性,有界性,区域可加性……

一般区域上 n 重积分的计算

  1. 柱形区域:记 x=(x1,,xn)Rn1
    Ω={x=(x,xn)Rn|φ1(x)xnφ2(x),xD}

    其中 DRn1 中有界区域,φ1,φ2C(D),且 φ1φ2,令 fC(Ω),则:
    Ωfdμ=Ddxφ2(x)φ1(x)f(x,xn)dxn=Ddx1dxn1φ2(x1,,xn1)φ1(x1,,xn1)f(x1,,xn1,xn)dxn

    先做一重积分,后做 (n1) 重积分。

  2. 薄层堆叠区域
    Ω={x=(x,xn)Rn|xD(xn),axnb}


    其中 D(xn)Rn1 中有界区域(与 xn 有关),对于 fC(Ω)
    Ωfdμ=badxnD(xn)f(x,xn)dx=badxnD(xn)f(x1,,xn1,xn)dx1dxn1

    先做 (n1) 重积分,后做一重积分,可称为区域切片法。

  3. 同样还有其他积分顺序。

n 重积分换元公式

T:˜ΩΩRn 上有界区域的 11 对应,且 TC1(˜Ω,Rn) 满足 det(JT)0,令 fC(Ω),则:
Ωfdμ=˜ΩfT|det(JT)|dμ


T:xi=xi(u1,,un),(u1,,un)˜Ω,i=1,2,,n

引入记号:
(x1,,xn)(u1,,un):=det[JT(u1,,un)]


则换元公式可写成:
Ωf(x1,,xn)dx1dxn=Ωf(x1(u1,,un),,xn(u1,,un))|(x1,,xn)(u1,,un)|dμ1dμn

 

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