
微积分笔记(48)——多重积分(4)
多重积分
三重积分的计算
Fubini 定理推论
设 f∈C(Ω),Ω 同定理,记 D=[a,b]×[c,d],则:
∫Ωfdμ=∬Ddxdy∫hgf(x,y,z)dz=∫hgdz∬Df(x,y,z)dxdy
其中:
∬Ddxdy∫hgf(x,y,z)dz=∬D[∫hgf(x,y,z)dz]dxdy∫hgdz∬Df(x,y,z)dxdy=∫hg[∬Df(x,y,z)dxdy]dz
定理:设 Ω⊆R3 有界且 ∂Ω 是零体积集,则 C(Ω)⊆R(Ω)。
一般区域上的三重积分计算
- 柱形区域 f∈C(Ω):
Ω={(x,y,z)|z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}
其中 D 为 R2 上有界区域,z1,z2∈C(D),且 z1≤z2,则:
∫Ωfdμ=∬DMdxdy∫M−MfΩ(x,y,z)dz=∬Ddxdy∫z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz
注:先做一重积分,后做二重积分。 薄层堆叠区域 f∈C(Ω):
Ω={(x,y,z)|(x,y)∈D(z),a≤z≤b}
其中 D(z) 为 R2 中有界区域(与 z 相关),则:
∫Ωfdμ=∫M−Mdz∬DMfΩ(x,y,z)dxdy=∫badz∬D(z)f(x,y,z)dxdy
注:先做二重积分,后做一重积分。也称切片法。
三重积分换元公式
设 T:˜Ω→Ω 是 R3 上有界区域的 1−1 对应,且 T∈C1(˜Ω,R3) 满足 det(JT)≠0,令 f∈C(Ω),则:
∫Ωfdμ=∫Ω0f∘T|det(JT)|d˜μ
记 T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),(u,v,w)∈˜Ω,引入记号:
∂(x,y,z)∂(u,v,w):=det[JT(u,v,w)]
则换元公式可以写成:
∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|∂(x,y,z)∂(u,v,w)|dudvdw
特例 1——柱坐标换元法
x=rcosθ,y=rsinθ,z=z
主要适用于圆柱或相关/类似区域内的三重积分,这时体积伸缩比/雅克比行列式:
∂(x,y,z)∂(u,v,w)=|DrxDryDrzDθxDθyDθzDzxDzyDzz|=r
也即体积微元有关系式:
dμ=dxdydz=rdrdθdz
如果 (r,θ,z)→(x,y,z) 是 ˜Ω→Ω 上的 1−1 对应,则:
∭Ωf(x,y,z)dμ=∭˜Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
特例 2——球坐标换元法
x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ
主要适用于球形或相关/类似区域内的三重积分,这时伸缩比/雅克比行列式为:
∂(x,y,z)∂(u,v,w)=|DrxDryDrzDθxDθyDθzDφxDφyDφz|=r2sinθ
体积微元关系式为:
dμ=dxdydz=r2sinθdrdθdφ
如果 (r,θ,φ)→(x,y,z) 是 ˜Ω→Ω 上的 1−1 对应,则:
∫Ωfdμ=∭Ωf(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)r2sinθdrdθdφ
重积分的物理应用
回忆:重积分应用原理
- 计算可以叠加的量(几何/物理量);
- 分割之后便于计算(逼近),求和得到近似值;
- 分割加细,误差范围更小,取极限得到准确值。
微元叠加法(计算区域 V 中某物理量 Q)
- 任取区域 V 中某点 P 处的体积微元,根据物理定律,得到 Q 在 dV 的微分值 dQ=f(P)dμ。
将 dQ 叠加求和(P 取遍 V 中)得到积分式:
Q=∫Vf(P)dV
物体质量-静力矩-重心-惯性矩
设 ρ:Ω→R+ 为物体密度函数,取 (x,y,z)∈Ω 处体积微元 dμ,则该点处物体质量微元 dM=ρ(x,y,z)dμ,相应静力矩:
dMyz=xdM=xρ(x,y,z)dμ
关于 x=0 平面。
关于 y=0,z=0 平面也类似。
求和得到总质量:
M=∫Ωρdμ
以及静力矩:
Myz=∫Ωxρdμ
关于另外两个平面也类似。
由此得到物体重心坐标:
(¯x,¯y,¯z)=(MyzM,MzxM,MxyM)
类似可得惯性矩:
Ix=∫Ω(y2+z2)ρdμ
另外两维也类似。
万有引力(电场力)
设 ρ:Ω→R+ 为物体密度函数,取 P∈Ω 处体积微元 dμ,按照万有引力定律,到某点 P0 的引力(略去引力常数)大小:
‖dFF‖=ρ(P)dμ‖P–P0‖2
方向:
n=P–P0‖P–P0‖
所以 P 点物体微元在 P0 点的引力向量:
dFF=(P–P0)ρ(P)dμ‖P–P0‖3
求和得到:
FF=∫Ω(P–P0)ρ(P)dμ‖P–P0‖3
也即:
FF=(Fx,Fy,Fz)=∭Ω(x–x0,y–y0,z–z0)ρ(x,y,z)[(x–x0)2+(y–y0)2+(z–z0)2]32dxdydz
n 重积分
n 维长方体(类比 3 维长方体)
Ω=I1×I2×⋯×In,其中每个 Ii=[ai,bi] 为实数闭区间,其 n 维体积定义为:
μ(Ω):=(b1–a1)(b2–a2)⋯(bn–an)
n 重积分概念
f:Ω→R
- 将 n 维长方体做有限规则分割:
T:Ω=k⋃i=1Ωi
分割得到有限(k)个 n 维子长方体,分割的直径记为 ‖T‖。 构造 Riemann 和式:
k∑i=1f(ξi)μ(Ωi)
其中 μ(Ωi) 为长方体 Ω 的 n 维体积,ξ∈Ωi 任取,i=1,2,⋯,k。定义 f 的 n 重积分:
∫Ωfdμ:=lim‖T‖→0k∑i=1f(ξi)μ(Ωi)
如果极限存在,称函数 Riemann 可积,记为 f∈R(Ω),上面的极限称为积分值,也记为:
∫⋯∫Ωf(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫Ωfdμ
Lebesgue 定理
设 Ω 同上,f:Ω→R 有界,则 f∈R(Ω) 的充分必要条件是 f 的间断点集是 n 维零测集。
n 维零测集与 n 维零体积集参照 1∼3 维情况的定义。
Fubini 定理
设 f∈C(Ω) ,Ω 同上为 n 维长方体,则由 n! 种累次积分次序计算 f 的积分值。
n 维有界区域上的 n 重积分
设 Ω⊆Rn 为有界区域,f:Ω→R,引入延拓:
fΩ(x):={f(x)x∈Ω0x∉Ω
以及:
ΩM=n∏i=1[−M,M]⊇Ω
如果 fΩ∈R(ΩM),则称 f∈R(Ω),并定义:
∫Ωfdμ:=∫ΩMfΩdμ
n 重积分的性质
线性性,保序性,有界性,区域可加性……
一般区域上 n 重积分的计算
- 柱形区域:记 x′=(x1,⋯,xn)∈Rn–1:
Ω={x=(x′,xn)∈Rn|φ1(x′)≤xn≤φ2(x′),x′∈D}
其中 D 为 Rn–1 中有界区域,φ1,φ2∈C(D),且 φ1≤φ2,令 f∈C(Ω),则:
∫Ωfdμ=∫Ddx′∫φ2(x′)φ1(x′)f(x′,xn)dxn=∫⋯∫Ddx1⋯dxn–1∫φ2(x1,⋯,xn–1)φ1(x1,⋯,xn–1)f(x1,⋯,xn–1,xn)dxn
先做一重积分,后做 (n–1) 重积分。 薄层堆叠区域
Ω={x=(x′,xn)∈Rn|x′∈D(xn),a≤xn≤b}
其中 D(xn) 为 Rn–1 中有界区域(与 xn 有关),对于 f∈C(Ω):
∫Ωfdμ=∫badxn∫D(xn)f(x′,xn)dx′=∫badxn∫⋯∫D(xn)f(x1,⋯,xn–1,xn)dx1⋯dxn–1
先做 (n–1) 重积分,后做一重积分,可称为区域切片法。同样还有其他积分顺序。
n 重积分换元公式
设 T:˜Ω→Ω 是 Rn 上有界区域的 1−1 对应,且 T∈C1(˜Ω,Rn) 满足 det(JT)≠0,令 f∈C(Ω),则:
∫Ωfdμ=∫˜Ωf∘T|det(JT)|dμ
记 T:xi=xi(u1,⋯,un),(u1,⋯,un)∈˜Ω,i=1,2,⋯,n。
引入记号:
∂(x1,⋯,xn)∂(u1,⋯,un):=det[JT(u1,⋯,un)]
则换元公式可写成:
∫⋯∫Ωf(x1,⋯,xn)dx1⋯dxn=∫⋯∫Ωf(x1(u1,⋯,un),⋯,xn(u1,⋯,un))|∂(x1,⋯,xn)∂(u1,⋯,un)|dμ1⋯dμn
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