微积分笔记（49）——曲线积分（1）

wzf2000
2020年5月4日

微积分笔记（49）——曲线积分（1）

曲线积分

第一型曲线积分

复习：曲线弧长

1. 有限分割曲线，用折线逼近曲线。
2. 用折线长度近似代替曲线弧长。
3. 分割加细，折线逼近更准确，折线长度极限 $=$ 曲线弧长。

曲线弧长计算

1. 利用光滑曲线参数表示 $r = r(t)$，计算弧长微元 $\mathrm{d} s = \| r^\prime(t) \|\, \mathrm{d} t$。
2. 利用弧长微元将弧长计算转化为定积分（一重积分）。
3. 分段光滑曲线弧长 $=$ 每段光滑曲线弧长相加。

第一型曲线积分

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$，$f : \Omega \to \mathbb{R}$，$L \subseteq \Omega$ 为一曲线。

1. 做 $L$ 的有限分割 $T$：令 $A, B$ 为 $L$ 的断点，依次取 $L$ 上的点：
   $$
   T : A = P_0, P_1, \cdots, P_n = B
   $$
   $L$ 被分割成 $n$ 个弧段，记 $\Delta s_i$ 为 $P_{i - 1}$ 到 $P_i$ 点的弧长，$i = 1, 2, \cdots, n$。

2. 构造 Riemann 和式：
   $$
   \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta s_i, \xi_i \in \overset{\Huge{\frown}}{P_{i - 1} P_i} \text{ 任取}, i = 1, 2, \cdots n
   $$

3. 定义 $f$ 沿曲线 $L$ 的第一型曲面积分：
   $$
   \int_L f(x, y, z) \, \mathrm{d} s := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta s_i
   $$
   其中 $\| T \| = \max\limits_{i = 1, \cdots, n} \Delta s_i$——称为分割 $T$ 的直径。

几何意义

1. 取 $f = 1$，即为曲线 $L$ 的弧长。

2. 如果 $L$ 在 $xy$ 平面上，则在 $L$ 上 $f = f(x, y, 0)$，又设 $f(x, y, 0) > 0$，则即为 $L$ 上方柱面 $S$ 的面积。

   柱面 $S$ 下方边界 $z = 0$，上方边界 $z = f(x, y, 0)$。

物理意义

令 $f > 0$，表示曲线 $L$ 的线密度质量分布，则 $\mathrm{d} M = f(x, y, z) \, \mathrm{d} s$ 为 $L$ 上 $(x, y, z)$ 处弧长微元 $\mathrm{d} s$ 的质量，积分值即为曲线 $L$ 的总质量。

弧长微元 $\mathrm{d} s$ 关于 $xy$ 平面的静力矩为 $\mathrm{d} M_{xy} = z f(x, y, z) \, \mathrm{d} s$，则积分值即为 $L$ 关于 $xy$ 平面的静力矩，进而可得到曲线 $L$ 的中心坐标。

此外：
$$
I_z = \int_L (x^2 + y^2)f(x, y, z) \, \mathrm{d} s
$$
即为 $L$ 关于 $z$ 轴的惯性矩。

曲线积分的计算

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为一区域，曲线 $L \subseteq \Omega$ 有 $C^1$ 参数表示 $\pmb{r} = \pmb{r}(t)$ 或写成：
$$
x = x(t), y = y(t), z = z(t), a \le t \le b
$$
又设 $f \in C(\Omega)$，则：
$$
\int_L f(x, y, z) \, \mathrm{d} s = \int_a^b f \circ \pmb{r}(t) \| \pmb{r}^\prime(t) \| \, \mathrm{d} t \\
= \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{[x^\prime(t)]^2 + [y^\prime(t)]^2 + [z^\prime(t)]^2} \, \mathrm{d} t
$$
推导略（类比曲线弧长计算方法）。

注：

1. 公式中只有参数的起点、终点，没有曲线的起点、终点。
2. 对于分段光滑曲线，分段利用上面计算方法。

特例

1. 设 $L$ 为 $xy$ 平面上的曲线，表示为 $y = y(x), a \le x \le b$，则曲线弧长微元 $\mathrm{d} s = \sqrt{1 + [y^\prime(x)]^2} \, \mathrm{d} x$：
   $$
   \int_L f(x, y) \, \mathrm{d} s = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + [y^\prime(x)]^2} \, \mathrm{d} x
   $$

2. 设 $L$ 为平面直线，有极坐标表示 $r = r(\theta), \alpha \le \theta \le \beta$，则其参数表示为：
   $$
   x = r(\theta) \cos \theta, y = r(\theta) \sin \theta, \alpha \le \theta \le \beta
   $$
   这导出：
   $$
   (x^\prime)^2 + (y^\prime)^2 = \cdots = r^2 + (r^\prime)^2, \mathrm{d} s = \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r^\prime(\theta)]^2} \, \mathrm{d} \theta
   $$
   所以：
   $$
   \int_L f(x, y) \, \mathrm{d} s = \int_\alpha^\beta f(r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \sin \theta) \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r^\prime(\theta)]^2} \, \mathrm{d} \theta
   $$

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