Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

微积分笔记(55)——场的数学

微积分笔记(55)——场的数学

场的数学

场的数学概念

ΩR3 为区域:

  1. f:ΩR 称为 Ω 上的数量场。
  2. FF=(P,Q,R):ΩR3 称为 Ω 上的向量场。

场的实例

  1. 传热过程中的温度场,扩散过程中的浓度场。
  2. 万有引力场,重力场,流体速度场,静止电荷产生的静电场,运动电荷产生的磁场。

梯度

数量场的梯度

ΩR3 为区域,f:ΩR 可微:
gradf:=(Dxf,Dyf,Dzf)
称为 f 的梯度,注意 gradf:ΩR3Ω 上的向量场(称为 f 的梯度场)。

梯度场几何意义

  1. 任取单位向量 llR3,Dllf=gradfll

  2. |Dllf|gradf=Dll0f,ll0=gradfgradf

    也即梯度方向是函数增加最快的方向,梯度大小是函数在增加最快的方向的增加率。

:上述性质还说明,梯度实际上与坐标系的选取无关。

——nabla 微分算子(形式向量)

引入运算符号:
:=(Dx,Dy,Dz)=(x,y,z)
规定:
f=(x,y,z)f=(fx,fy,fz)=gradf

运算性质 A

f,g:ΩR 可微:

  1. 线性:(αf+βg)=αf+βg,α,βR
  2. 乘积:(fg)=fg+gf
  3. 复合:φ(f)=φ(f)f——链式法则。

其中 φ 为单变量可微函数。

散度

向量场的散度

FF=(P,Q,R):ΩR3 为可微向量场,定义:
divFF:=Px+Qy+Rz
称为 FF 的散度。

注意 divFF:ΩR3Ω 上数量场(FF 的散度场)。

回忆 Gauss 公式

可以改写成:
ΩdivFFdμ=ΩFFnndσ
——向量场形式。

散度的物理意义

在 Gauss 公式中,取 Ω=Bε(x0),利用积分中值定理 ξBε(x0),使得:
divFF(ξ)Bε(x0)dμ=Bε(x0)divFFdμ=Bε(x0)FFnndσ
等式两端除以区域体积,令 ε0,得到:
divFF(x0)=limε01μ(Bε)Bε(x0)FFnndσ
这是向量场 FFx0 点单位体积内的发散量——发散强度。

:上述分析也说明,散度实际上也与坐标系选取无关。

——算子表示(形式向量内积)

FF=(P,Q,R):ΩR3,规定:
FF=(x,y,z)(P,Q,R)=(Px,Qy,Rz)=divFF

运算性质 B

FF,GG:ΩR3 可微:

  1. 线性:(αFF+βGG)=αFF+βGG,α,βR
  2. 乘积:(fFF)=fFF+fFF,f:ΩR 可微。

:梯度和散度概念容易推广到 Rn 中,包括 Δ 算子表示。

旋度

向量场的旋度

FF=(P,Q,R):ΩR4 为可微向量场,定义 FF 的旋度为:
rotFF:=(RyQz,PzRx,QxPy)=curlFF
注意 rotFF:ΩR3Ω 上的向量场(FF 的旋度场)

回忆 Stokes 公式(旋度定理)

可以改写成:
SrotFFnndσ=SFFττds
——向量场形式。

旋度的物理意义

在 Stokes 公式中,任取单位向量 nn,取 S=Sε(x0) 如下:

Sε(x0):以 x0 为心,ε>0 为半径,nn 为正法向的平面圆盘。

代入 Stokes 公式,两端除以圆盘面积,令 ε0,得:
rotFF(x0)nn=limε01σ(Sε)Sε(x0)FFττds
这是 FFx0 点绕方向 nn 的单位面积的环绕量——旋转强度。

结论FFrotFF 方向的旋转最强,最强旋转强度为 rotFF——类似于数量场的梯度关于数量场增长方向的性质。

——算子表示(形式向量积)

规定:
×FF=(Dx,Dy,Dz)×(P,Q,R)=|ee1ee2ee3DxDyDzPQR|=(RyQz,PzRx,QxPy)=rotFF

——算子符号小结

f:ΩR 是可微数量场,FF:ΩR3 是可微向量场:
f=gradf,FF=divFF,×FF=rotFF
——使用效率高。

运算性质 C

FF,GG:ΩR3 可微:

  1. 线性:×(αFF+βGG)=α×FF+β×GG,α,βR
  2. 乘积:×(fFF)=f×FF+f×FF,f:ΩR 可微。
  3. 混合积:(FF×GG)=(×FF)GGFF×GG

3 验证:

FF=(P,Q,R),GG=(X,Y,Z),根据混合积的行列式计算规则,结合乘积函数求导法则以及行列式行交换规则:
(FF×GG)=|DxDyDzPQRXYZ|=|XYZDxDyDzPQR||PQRDxDyDzXYZ|=(×FF)GGFF×GG

Green-Gauss-Stokes 公式再认识

ΩFFdμ=ΩFFnndσS×FFnndσ=SFFττdsDFFdσ=DFFnndsD×FFnndσ=DFFττds

——算子的推广

Rn 中定义 nabla 算子(形式 n 维向量):
:=(Dx1,,Dxn)=(x1,,xn)
ΩRn,f:ΩR 可微,FF=(F1,,Fn):ΩRn 可微,则可以定义相应的梯度和散度:
f=(fx1,,fxn),FF=F1x1++Fnxn
:可惜无法定义有意义的旋度(n3)。

保守场

回忆:曲线积分的 Newton-Leibniz 公式

ΩR3 为区域,A,BΩ,fC1(Ω),则:
Lfxdx+fydy+fzdz=BAdf=f(B)f(A)
其中 LΩ 中以 A 为起点、B 为终点的任意定向曲线。

推论:对于向量场 (P,Q,R)=gradf,其中 fC1(Ω),曲线积分 LPdx+Qdy+Rdz 只依赖于定向曲线的起点终点而与具体路径 L 无关。

保守场

ΩR3 为区域,FF=(P,Q,R)Ω 上向量场,如果 LPdx+Qdy+Rdz 只依赖于定向曲线 L 的起点和终点而与具体路径无关,则称 FFΩ 上的保守场。

保守场的判定

考虑以下命题:

  1. FFΩ 上保守场。
  2. 对于 Ω 中任意定向闭曲线 LPdx+Qdy+Rdz=0
  3. FFΩ 中梯度场,即 fC1(Ω),f=FF=(P,Q,R)
  4. 如果 FFC1 向量场,则在 Ω 中无旋,即 ×FF=0

成立以下关系:
1234
证明12 显然,为证明 21,任取 L1L2 有相同的起点 A 和终点 B,则 L1L2 为定向曲线,由 2 得:
L1L2Pdx+Qdy+Rdz=0,
3 \Rightarrow 1 由 Newton-Leibniz 公式得到。

梯度场无旋,则 3 \Rightarrow 4

最后验证 1 \Rightarrow 3:令 \pmb{F}\Omega 上的保守场,需要找势函数。

固定 (x_0, y_0, z_0) \in \Omega,定义函数:
f(x, y, z) = \int_{(x_0, y_0, z_0)}^{(x, y, z)} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z
以下验证 \nabla f = \pmb{F} = (P, Q, R)

为此考虑 \Delta x \not = 0,不妨令 \Delta x > 0
f(x + \Delta x, y, z) – f(x, y, z) = \int_{(x, y, z)}^{(x + \Delta x, y, z)} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \int_{x}^{x + \Delta x} P(t, y, z) \, \mathrm{d} t
因此:
\frac{f(x + \Delta x, y, z) – f(x, y, z)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \int_x^{x + \Delta x} P(t, y, z) \, \mathrm{d} t = P(x, y, z)
这说明:
\frac{\partial f}{\partial x} = P
同理可得:
\frac{\partial f}{\partial y} = Q, \frac{\partial f}{\partial z} = R \ \ \square
:对于 C^1 向量场,无旋是保守场的必要条件,但不是充分的。

比如 \pmb{F} = (P, Q, R), P = \dfrac{-y}{x^2 + y^2}, Q = \dfrac{x}{x^2 + y^2}, R = 0,易得其无旋,但任意沿逆时针绕 z 轴一圈的定向闭曲线的积分值都为 2 \pi

单连通区域(线单连通)

如果对于 \Omega 中任意定向封闭曲线 L,存在 \Omega 中定向曲面 S 使得 \partial S = L,则称 \Omega 为单连通区域(更精确地称为线单连通区域)。

保守场的判别(补充)

\Omega 为线单连通区域,\pmb{F}\OmegaC^1 向量场,则 \pmb{F} 是保守场当且仅当 \pmb{F} 是无旋场。

证明:只需证明 4 \Rightarrow 2:令 \pmb{F} = (P, Q, R) 无旋,\nabla \times \pmb{F} = 0

任取 \Omega 中定向曲线 L,取 \Omega 中定向曲面 S 使得 \partial S = L,应用 Stokes 公式:
\oint_L P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \int_{\partial S} \pmb{F} \cdot \tau \, \mathrm{d} s = \int_S \nabla \times \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma = 0

单连通区域实例

  1. \Omega = \mathbb{R}^3 是单连通区域,\Omega = \mathbb{R}^3 \backslash \{O\} 也是单连通区域。
  2. \Omega = \mathbb{R}^2 是平面单连通区域,\Omega = \mathbb{R}^2 \backslash \{O\} 不是单连通区域。
  3. \Omega = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \not = 0\}(去掉 z 轴)不是单连通区域。

L 为环绕 z 轴一周的光滑闭曲线,则以 L 为边界的定向曲面必与 z 轴相交,因而在 \Omega 中不存在以 L 为边界的定向曲面。

向量场与微分形式

向量场

\pmb{F} = (P, Q, R) 对应一个 1 次微分形式:
\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z

保守场/梯度场

\nabla u = (P, Q, R) 对应一个 0 次形式的微分:
\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \mathrm{d} u
这时称 \omega 为一个恰当形式/恰当微分(全微分)。

无旋场

\nabla \times \pmb{F} = 0 对应微分形式 \omega 满足:
\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} P \land \mathrm{d} x + \mathrm{d} Q \land \mathrm{d} y + \mathrm{d} R \land \mathrm{d} z = \cdots = 0
这时称 \omega 为一个闭形式,在单连通区域中 \omega 是恰当形式。

保守场的判别(利用微分形式)

\pmb{F} = (P, Q, R), \omega= P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z

  1. \pmb{F} 是保守场当且仅当 \omega 为恰当形式:存在 u 使得 \mathrm{d} u = \omega

  2. \pmb{F} 是单连通区域上的 C^1 向量场,则 \pmb{F} 是保守场当且仅当 \omega 是闭形式:\mathrm{d} \omega = 0,这时成立:
    \int_A^B \pmb{F} \cdot \mathrm{d} r = \int_A^B \omega = \int_A^B \, \mathrm{d} u = u(B) – u(A)

这也就是保守场的判别方式。

平面向量场与恰当微分方程

平面向量场\pmb{F} = (P, Q) 对应微分形式 \omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y

平面保守场/梯度场\nabla u = (P, Q) 对应二元函数的微分:
\mathrm{d} u = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y = \omega
也即 \omega 是一个恰当形式/恰当微分/全微分。

恰当微分方程/全微分方程

P(x, y) \, \mathrm{d} x + Q(x, y) \, \mathrm{d} y = 0

这里 \omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y 是一个恰当形式,则 \exists u \in C^1, \mathrm{d} u = \omega,这时可以直接验证 u(x, y) = C 是原方程的通解。

 

点赞 0

No Comments

Add your comment

公民们,庇护所即将关闭,感谢所有人,再见。