微积分笔记(56)——含参变量积分(1)

微积分笔记(56)——含参变量积分(1)

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含参变量积分

含参变量积分

含参变量积分定义

设 $f \in C([a, b] \times [\alpha, \beta])$,则固定 $y \in [\alpha, \beta], f(x, y) \in C[a, b]$,定义 $\displaystyle \varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 称为含参变量积分(积分时 $y$ 是参数)。

含参变量反常积分

设 $f \in C([a, b] \times [\alpha, \beta])$,$f$ 在 $x = b$ 附近无界或者 $b = +\infty$,如果对每个 $y \in [\alpha, \beta]$,反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 收敛,定义 $\displaystyle \varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 称为含参变量反常积分。

推广:含多参变量积分

设 $f \in C(\Omega \times D), \Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为区域,$D \subseteq \mathbb{R}^n$,固定每个 $y \in D$,如果积分/反常积分:
$$
\int_\Omega f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
收敛,则可以定义含 $n$ 个参变量积分:
$$
\varphi(y) = \int_\Omega f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$

实例

Gamma 函数:
$$
\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} x
$$
$t > 0$ 时积分收敛。

Beta 函数:
$$
B(u, v) = \int_0^1 (1 – x)^{u – 1} x^{v – 1} \, \mathrm{d} x
$$
$u > 0, v > 0$ 时积分收敛。

含参变量积分的性质

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是区域,定义:
$$
\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
得到函数 $\varphi : D \to \mathbb{R}$。

问题:含参积分 $\varphi$ 的分析性质如何:连续性?可微性?

连续性分析

$\forall y, y + \Delta y \in D$,考虑:
$$
\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y) = \int_a^b [f(x, y + \Delta y) – f(x, y)] \, \mathrm{d} x
$$
已知 $f \in C(\tilde{D})$,则连续关于 $x \in [a, b]$ 是一致的。

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$,使得 $\forall |\Delta y| < \delta$: $$ |f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \frac{\varepsilon}{b - a}, \forall x \in [a, b] $$ 因此: $$ |\varphi(y + \Delta y) - \varphi(y)| \le \int_a^b |f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| \, \mathrm{d} x \\ < \frac{\varepsilon}{b - a} \int_a^b \, \mathrm{d} x = \varepsilon $$

含参变量积分的连续性

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times D$:
$$
\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
则 $\varphi \in C(D)$ 即 $\forall y_0 \in D$:
$$
\lim_{y \to y_0} \varphi(y) = \varphi(y_0)
$$
:上式可写成:
$$
\lim_{y \to y_0} \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^b f(x, y_0) \, \mathrm{d} x = \int_a^b \lim_{y \to y_0} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
——极限与积分换序,也就积分号下求极限。

回忆:函数级数有类似问题和结论:
$$
\lim_{x \to x_0} \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \lim_{x \to x_0} u_n(x)
$$
(一致连续)

可微性分析

为研究可微性,不妨令 $n = 1$,$y, y + \Delta y \in D, \Delta y \not = 0$,考虑:
$$
\frac{\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y)}{\Delta y} = \int_a^b \left[\frac{f(x, y + \Delta y) – f(x, y)}{\Delta y} \right] \, \mathrm{d} x
$$
由中值定理 $\exists \theta \in (0, 1), f(x, y + \Delta y) – f(x, y) = D_y f(x, y + \theta \Delta y) \Delta y$。
$$
\therefore \frac{\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y)}{\Delta y} = \int_a^b D_y f(x, y + \theta \Delta y) \, \mathrm{d} x
$$
令 $D_y f \in C(\tilde{D})$,应用前面含参积分连续性结论便有:
$$
\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y)}{\Delta y} = \int_a^b D_y f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
这说明:
$$
D_y \varphi(y) = \int_a^b D_y f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
且在 $D$ 中处处连续。

含参变量积分的可微性

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times D$:
$$
\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
如果 $D_{y_i} f \in C(D)$,则 $D_{y_i} \varphi \in C(D)$:
$$
D_{y_i} \varphi(y) = \int_a^b D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
:上式也即:
$$
D_{y_i} \left[\int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x \right] = \int_a^b D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
——求导与积分换序,也称积分号下求导。

回忆:函数级数有类似问题和结论:
$$
\left[\sum_{n = 1}^\infty u_n(x)\right]^\prime = \sum_{n = 1}^\infty u_n^\prime(x)
$$
(一致连续)

含参变量积分的积分(Fubini 定理)

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times [\alpha \times \beta]$,则:
$$
\int_\alpha^\beta \, \mathrm{d} y \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_\alpha^\beta f(x, y) \, \mathrm{d} y
$$
证明:另给一个基于上面含参积分可微性的论证。

定义:
$$
F(u, y) = \int_a^u f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
则 $F, D_u F = f \in C(\tilde{D})$,所以:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} u} \int_\alpha^\beta F(u, y) \, \mathrm{d} y = \int_\alpha^\beta D_u F(u, y) \, \mathrm{d} y = \int_\alpha^\beta f(u, y) \, \mathrm{d} y
$$
两端关于 $u$ 积分,并应用 Newton-Leibniz 公式:
$$
\int_\alpha^\beta F(b, y) \, \mathrm{d} y – \int_\alpha^\beta F(a, y) \, \mathrm{d} y = \int_a^b \, \mathrm{d} u \int_\alpha^\beta f(u, y) \, \mathrm{d} y
$$
将 $F(u)$ 的定义代入即得所需结论。$\square$

含参变量无穷积分的性质

含参变量无穷积分

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是区域,假设对于 $y \in D$,无穷积分:
$$
\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
收敛,定义:
$$
\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x, y \in D
$$
得到含参变量无穷积分定义的函数 $\varphi : D \to \mathbb{R}$。

问题:含参无穷积分 $\varphi$ 的分析性质:连续性?可微性?需要特别注意无穷积分产生的新困难。

连续性初步分析

$\forall y_0, y_0 + \Delta y \in D$,仿照普通含参变量积分处理:
$$
\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0) = \int_a^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x
$$
注意积分区间可任意大,被积函数再小也无法使得积分小为克服积分区间大的问题,应该利用无穷积分的收敛性:
$$
\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0) = \int_a^A [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x + \int_A^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x
$$

策略 1:取 $A$ 充分大使得尾项积分充分小。

策略 2:固定 $A$,取 $\Delta y$ 充分小使得有限区间积分充分小。

困难:观察尾项:
$$
\int_A^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x
$$
其中的 $\Delta y$ 不固定,$A$ 的选取与之相关?

含参变量无穷积分的一致收敛

类比函数级数一致收敛概念:

$\forall \varepsilon > 0, \exists A > a$,使得 $\forall A^\prime, A^{\prime \prime} \ge A, \forall y \in D$:
$$
\left| \int_{A^\prime}^{A^{\prime\prime}} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| < \varepsilon $$ 这时称无穷积分: $$ \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x $$ 关于 $y \in D$ 一致收敛。

:等价于对于 $\forall y \in D$:
$$
\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \varepsilon
$$
因此:
$$
\sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \varepsilon \Rightarrow \lim_{A \to +\infty} \sup_{y \in D} \int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x = 0
$$
反例(不一致收敛):
$$
\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^y}
$$
当 $y > 1$ 时收敛,但关于 $y > 1$ 不一致收敛,注意 $y \to 1^+$ 时:
$$
\int_A^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^y} = \frac{1}{(y – 1) A^{y – 1}} \to + \infty
$$
$y$ 接近 $1$,收敛变慢。

一致收敛判别法(Weierstrass)

类比函数级数的 Weierstrass 判别法:

如果 $\exists F \in C[a, +\infty)$:
$$
\int_a^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x
$$
收敛,且:
$$
\sup_{y \in D} |f(x, y)| \le F(x)
$$
则:
$$
\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $y \in D$ 一致收敛。

证明:对于 $A > a$,应用积分保序性质 $\forall y \in D$:
$$
\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le \int_A^{+\infty} |f(x, y)| \, \mathrm{d} x \le \int_a^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x \\
\therefore \sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \int_A^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x
$$
由:
$$
\int_a^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x
$$
收敛,导出:
$$
\lim_{A \to +\infty} \int_A^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x = 0
$$
代入上式即得。$\square$

:根据上面收敛过程,除了一般收敛之外还导出了:
$$
\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
绝对收敛——Weierstrass 判别法无法处理条件收敛情况。

连续性分析

假设:
$$
\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $y \in D$ 一致收敛,$\forall y_0, y_0 + \Delta y \in D, \forall \varepsilon > 0$,继续考虑:
$$
\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0) = \int_a^A [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x + \int_A^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x
$$
策略 1:取 $A$ 充分大使得 $\forall y \in D$:
$$
\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \frac{\varepsilon}{4}
$$
策略 2:固定 $A$ 之后,取 $\delta > 0$,使得 $\forall |\Delta y| < \delta, \forall x \in [a, b]$: $$ |f(x, y_0 + \Delta y) - f(x, y_0)| < \frac{\varepsilon}{4(A - a)} $$ 因此: $$ |\varphi(y_0 + \Delta y) - \varphi(y_0)| \le \int_a^A |f(x, y_0 + \Delta y) - f(x, y_0)| \, \mathrm{d} x + \left|\int_A^{+\infty} f(x, y_0 + \Delta y) \, \mathrm{d} x\right| + \left|\int_A^{+\infty} f(x, y_0) \, \mathrm{d} x\right| \\ \le \frac{\varepsilon}{4(A - a)} \int_a^A \, \mathrm{d} x + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} = \frac{3 \varepsilon}{4} < \varepsilon $$ 注意策略 $1$ 中选取 $A$ 时,只须在 $y_0$ 附近一致收敛。

含参变量无穷积分的连续性

设 $y \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D$,如果:
$$
\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $y \in D$ 一致收敛,则 $\varphi \in C(D)$。

  1. 上面结论实际表示 $\forall y_0 \in D$:
    $$
    \lim_{y \to y_0} \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^{+\infty} \lim_{y \to y_0} f(x, y) \, \mathrm{d} x
    $$
    由证明过程可见,无穷积分不必在整个 $D$ 上一致收敛——只须要求在 $y_0$ 附近无穷积分一致收敛,即可导出上式。

  2. 一致收敛函数级数也有类似的极限求和换序结论:
    $$
    \lim_{x \to x_0} \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \lim_{x \to x_0} u_n(x)
    $$

可微性分析

为研究可微性,不妨令 $n = 1$,$y_0, y_0 + \Delta y \in D, \Delta y \not = 0$。

考虑:
$$
\frac{\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0)}{\Delta y} = \int_a^{+\infty} \left[\frac{f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)}{\Delta y} \right] \, \mathrm{d} x
$$
中值定理 $\exists \theta \in (0, 1), f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0) = D_y f(x, y_0 + \theta \Delta y) \Delta y$:
$$
\therefore \frac{\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0)}{\Delta y} = \int_a^{+\infty} D_y f(x, y_0 + \theta \Delta y) \, \mathrm{d} x
$$
令 $D_y f \in C(\tilde{D})$,且:
$$
\int_a^{+\infty} D_y f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $y \in D$ 一致收敛,则可以应用前面连续性结论,得到:
$$
D_y \varphi(y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0)}{\Delta y} = \int_a^{+\infty} D_y f(x, y_0) \, \mathrm{d} x
$$
此式还说明 $D_y \varphi \in C(D)$。

含参变量无穷积分的可微性

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D$,且满足以下条件:

  1. $\displaystyle \varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 对于每个 $y \in D$ 收敛。
  2. $D_{y_i} f \in C(\tilde{D}), \displaystyle \int_a^{+\infty} D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 关于 $y \in D$ 一致收敛。

则 $D_{y_i} \varphi \in C(D)$ 且:
$$
D_{y_i} \varphi(y) = \int_a^{+\infty} D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
对某个/所有 $i = 1, \cdots, n$。

:回忆函数级数有类似结论:
$$
\left[\sum_{n = 1}^\infty u_n(x) \right]^\prime = \sum_{n = 1}^\infty u^\prime_n(x)
$$
要求:
$$
\sum_{n = 1}^\infty u_n(x)
$$
收敛,且:
$$
\sum_{n = 1}^\infty u_n^\prime(x)
$$
一致收敛。

含参变量无穷积分的换序(Fubini 定理)

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是有界闭区域,且:
$$
\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $y \in D$ 一致收敛,则:
$$
\int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_a^{+\infty} \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y
$$
也即:
$$
\int_D \, \mathrm{d} y \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^{+\infty} \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y
$$
证明:类似连续性证明,采用尾项截断分析方法。

任取 $A > a$:
$$
\int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_D \, \mathrm{d} y \int_a^A f(x, y) \, \mathrm{d} x + \int_D \, \mathrm{d} y \int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \\
= \int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D x f(x, y) \, \mathrm{d} y + \int_D \, \mathrm{d} y \int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$

因此:
$$
\left|\int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D x f(x, y) \, \mathrm{d} y – \int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y \right| \le \int_D \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \, \mathrm{d} y
$$
已知:
$$
\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $y \in D$ 一致收敛,所以 $\varphi \in C(D)$。

此外 $\forall \varepsilon > 0, \exists A > a$ 使得:
$$
\sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| < \frac{\varepsilon}{\mu(D)} $$ 代入前面的估计: $$ \left|\int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D x f(x, y) \, \mathrm{d} y - \int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y \right| \le \frac{\varepsilon}{\mu(D)} \int_D \, \mathrm{d} y = \varepsilon $$ 此即: $$ \lim_{A \to +\infty} \int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y = \int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_D \, \mathrm{d} y \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \ \ \ \square $$ :积分换序要求在 $D$ 整体一致连续。

 

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