微积分笔记（56）——含参变量积分（1）

微积分笔记（56）——含参变量积分（1）

含参变量积分

含参变量积分

含参变量积分定义

设 $f \in C([a, b] \times [\alpha, \beta])$，则固定 $y \in [\alpha, \beta], f(x, y) \in C[a, b]$，定义 $\displaystyle \varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 称为含参变量积分（积分时 $y$ 是参数）。

含参变量反常积分

设 $f \in C([a, b] \times [\alpha, \beta])$，$f$ 在 $x = b$ 附近无界或者 $b = +\infty$，如果对每个 $y \in [\alpha, \beta]$，反常积分 $\displaystyle \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 收敛，定义 $\displaystyle \varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 称为含参变量反常积分。

推广：含多参变量积分

设 $f \in C(\Omega \times D), \Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为区域，$D \subseteq \mathbb{R}^n$，固定每个 $y \in D$，如果积分/反常积分：

$$\int_\Omega f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
收敛，则可以定义含 $n$ 个参变量积分：
$$\varphi(y) = \int_\Omega f(x, y) \, \mathrm{d} x$$

实例

Gamma 函数：

$$\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} x$$
$t > 0$ 时积分收敛。

Beta 函数：

$$B(u, v) = \int_0^1 (1 – x)^{u – 1} x^{v – 1} \, \mathrm{d} x$$
$u > 0, v > 0$ 时积分收敛。

含参变量积分的性质

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是区域，定义：

$$\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
得到函数 $\varphi : D \to \mathbb{R}$。

问题：含参积分 $\varphi$ 的分析性质如何：连续性？可微性？

连续性分析

$\forall y, y + \Delta y \in D$，考虑：

$$\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y) = \int_a^b [f(x, y + \Delta y) – f(x, y)] \, \mathrm{d} x$$
已知 $f \in C(\tilde{D})$，则连续关于 $x \in [a, b]$ 是一致的。

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得 $\forall |\Delta y| < \delta$：

$$|f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \frac{\varepsilon}{b - a}, \forall x \in [a, b]$$ 因此： $$|\varphi(y + \Delta y) - \varphi(y)| \le \int_a^b |f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| \, \mathrm{d} x \\ < \frac{\varepsilon}{b - a} \int_a^b \, \mathrm{d} x = \varepsilon$$

含参变量积分的连续性

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times D$：

$$\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
则 $\varphi \in C(D)$ 即 $\forall y_0 \in D$：
$$\lim_{y \to y_0} \varphi(y) = \varphi(y_0)$$
注：上式可写成：
$$\lim_{y \to y_0} \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^b f(x, y_0) \, \mathrm{d} x = \int_a^b \lim_{y \to y_0} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
——极限与积分换序，也就积分号下求极限。

回忆：函数级数有类似问题和结论：

$$\lim_{x \to x_0} \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \lim_{x \to x_0} u_n(x)$$
（一致连续）

可微性分析

为研究可微性，不妨令 $n = 1$，$y, y + \Delta y \in D, \Delta y \not = 0$，考虑：

$$\frac{\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y)}{\Delta y} = \int_a^b \left[\frac{f(x, y + \Delta y) – f(x, y)}{\Delta y} \right] \, \mathrm{d} x$$
由中值定理 $\exists \theta \in (0, 1), f(x, y + \Delta y) – f(x, y) = D_y f(x, y + \theta \Delta y) \Delta y$。
$$\therefore \frac{\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y)}{\Delta y} = \int_a^b D_y f(x, y + \theta \Delta y) \, \mathrm{d} x$$
令 $D_y f \in C(\tilde{D})$，应用前面含参积分连续性结论便有：
$$\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\varphi(y + \Delta y) – \varphi(y)}{\Delta y} = \int_a^b D_y f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
这说明：
$$D_y \varphi(y) = \int_a^b D_y f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
且在 $D$ 中处处连续。

含参变量积分的可微性

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times D$：

$$\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
如果 $D_{y_i} f \in C(D)$，则 $D_{y_i} \varphi \in C(D)$：
$$D_{y_i} \varphi(y) = \int_a^b D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
注：上式也即：
$$D_{y_i} \left[\int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x \right] = \int_a^b D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
——求导与积分换序，也称积分号下求导。

回忆：函数级数有类似问题和结论：

$$\left[\sum_{n = 1}^\infty u_n(x)\right]^\prime = \sum_{n = 1}^\infty u_n^\prime(x)$$
（一致连续）

含参变量积分的积分（Fubini 定理）

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b] \times [\alpha \times \beta]$，则：

$$\int_\alpha^\beta \, \mathrm{d} y \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_\alpha^\beta f(x, y) \, \mathrm{d} y$$
证明：另给一个基于上面含参积分可微性的论证。

定义：

$$F(u, y) = \int_a^u f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
则 $F, D_u F = f \in C(\tilde{D})$，所以：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} u} \int_\alpha^\beta F(u, y) \, \mathrm{d} y = \int_\alpha^\beta D_u F(u, y) \, \mathrm{d} y = \int_\alpha^\beta f(u, y) \, \mathrm{d} y$$
两端关于 $u$ 积分，并应用 Newton-Leibniz 公式：
$$\int_\alpha^\beta F(b, y) \, \mathrm{d} y – \int_\alpha^\beta F(a, y) \, \mathrm{d} y = \int_a^b \, \mathrm{d} u \int_\alpha^\beta f(u, y) \, \mathrm{d} y$$
将 $F(u)$ 的定义代入即得所需结论。$\square$

含参变量无穷积分的性质

含参变量无穷积分

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是区域，假设对于 $y \in D$，无穷积分：

$$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
收敛，定义：
$$\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x, y \in D$$
得到含参变量无穷积分定义的函数 $\varphi : D \to \mathbb{R}$。

问题：含参无穷积分 $\varphi$ 的分析性质：连续性？可微性？需要特别注意无穷积分产生的新困难。

连续性初步分析

$\forall y_0, y_0 + \Delta y \in D$，仿照普通含参变量积分处理：

$$\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0) = \int_a^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x$$
注意积分区间可任意大，被积函数再小也无法使得积分小为克服积分区间大的问题，应该利用无穷积分的收敛性：
$$\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0) = \int_a^A [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x + \int_A^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x$$

策略 1：取 $A$ 充分大使得尾项积分充分小。

策略 2：固定 $A$，取 $\Delta y$ 充分小使得有限区间积分充分小。

困难：观察尾项：

$$\int_A^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x$$
其中的 $\Delta y$ 不固定，$A$ 的选取与之相关？

含参变量无穷积分的一致收敛

类比函数级数一致收敛概念：

$\forall \varepsilon > 0, \exists A > a$，使得 $\forall A^\prime, A^{\prime \prime} \ge A, \forall y \in D$：

$$\left| \int_{A^\prime}^{A^{\prime\prime}} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| < \varepsilon$$ 这时称无穷积分： $$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$ 关于 $y \in D$ 一致收敛。

注：等价于对于 $\forall y \in D$：

$$\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \varepsilon$$
因此：
$$\sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \varepsilon \Rightarrow \lim_{A \to +\infty} \sup_{y \in D} \int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x = 0$$
反例（不一致收敛）：
$$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^y}$$
当 $y > 1$ 时收敛，但关于 $y > 1$ 不一致收敛，注意 $y \to 1^+$ 时：
$$\int_A^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^y} = \frac{1}{(y – 1) A^{y – 1}} \to + \infty$$
$y$ 接近 $1$，收敛变慢。

一致收敛判别法（Weierstrass）

类比函数级数的 Weierstrass 判别法：

如果 $\exists F \in C[a, +\infty)$：

$$\int_a^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x$$
收敛，且：
$$\sup_{y \in D} |f(x, y)| \le F(x)$$
则：
$$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛。

证明：对于 $A > a$，应用积分保序性质 $\forall y \in D$：

$$\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le \int_A^{+\infty} |f(x, y)| \, \mathrm{d} x \le \int_a^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x \\ \therefore \sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \int_A^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x$$
由：
$$\int_a^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x$$
收敛，导出：
$$\lim_{A \to +\infty} \int_A^{+\infty} F(x) \, \mathrm{d} x = 0$$
代入上式即得。$\square$

注：根据上面收敛过程，除了一般收敛之外还导出了：

$$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
绝对收敛——Weierstrass 判别法无法处理条件收敛情况。

连续性分析

假设：

$$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛，$\forall y_0, y_0 + \Delta y \in D, \forall \varepsilon > 0$，继续考虑：
$$\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0) = \int_a^A [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x + \int_A^{+\infty} [f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)] \, \mathrm{d} x$$
策略 1：取 $A$ 充分大使得 $\forall y \in D$：
$$\left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \le \frac{\varepsilon}{4}$$
策略 2：固定 $A$ 之后，取 $\delta > 0$，使得 $\forall |\Delta y| < \delta, \forall x \in [a, b]$： $$|f(x, y_0 + \Delta y) - f(x, y_0)| < \frac{\varepsilon}{4(A - a)}$$ 因此： $$|\varphi(y_0 + \Delta y) - \varphi(y_0)| \le \int_a^A |f(x, y_0 + \Delta y) - f(x, y_0)| \, \mathrm{d} x + \left|\int_A^{+\infty} f(x, y_0 + \Delta y) \, \mathrm{d} x\right| + \left|\int_A^{+\infty} f(x, y_0) \, \mathrm{d} x\right| \\ \le \frac{\varepsilon}{4(A - a)} \int_a^A \, \mathrm{d} x + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} = \frac{3 \varepsilon}{4} < \varepsilon$$ 注意策略 $1$ 中选取 $A$ 时，只须在 $y_0$ 附近一致收敛。

含参变量无穷积分的连续性

设 $y \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D$，如果：

$$\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛，则 $\varphi \in C(D)$。

注：

1. 上面结论实际表示 $\forall y_0 \in D$：
   $$\lim_{y \to y_0} \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^{+\infty} \lim_{y \to y_0} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
   由证明过程可见，无穷积分不必在整个 $D$ 上一致收敛——只须要求在 $y_0$ 附近无穷积分一致收敛，即可导出上式。

2. 一致收敛函数级数也有类似的极限求和换序结论：
   

   $$\lim_{x \to x_0} \sum_{n = 1}^\infty u_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \lim_{x \to x_0} u_n(x)$$

可微性分析

为研究可微性，不妨令 $n = 1$，$y_0, y_0 + \Delta y \in D, \Delta y \not = 0$。

考虑：

$$\frac{\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0)}{\Delta y} = \int_a^{+\infty} \left[\frac{f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0)}{\Delta y} \right] \, \mathrm{d} x$$
中值定理 $\exists \theta \in (0, 1), f(x, y_0 + \Delta y) – f(x, y_0) = D_y f(x, y_0 + \theta \Delta y) \Delta y$：
$$\therefore \frac{\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0)}{\Delta y} = \int_a^{+\infty} D_y f(x, y_0 + \theta \Delta y) \, \mathrm{d} x$$
令 $D_y f \in C(\tilde{D})$，且：
$$\int_a^{+\infty} D_y f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛，则可以应用前面连续性结论，得到：
$$D_y \varphi(y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\varphi(y_0 + \Delta y) – \varphi(y_0)}{\Delta y} = \int_a^{+\infty} D_y f(x, y_0) \, \mathrm{d} x$$
此式还说明 $D_y \varphi \in C(D)$。

含参变量无穷积分的可微性

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D$，且满足以下条件：

1. $\displaystyle \varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 对于每个 $y \in D$ 收敛。
2. $D_{y_i} f \in C(\tilde{D}), \displaystyle \int_a^{+\infty} D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$ 关于 $y \in D$ 一致收敛。

则 $D_{y_i} \varphi \in C(D)$ 且：

$$D_{y_i} \varphi(y) = \int_a^{+\infty} D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
对某个/所有 $i = 1, \cdots, n$。

注：回忆函数级数有类似结论：

$$\left[\sum_{n = 1}^\infty u_n(x) \right]^\prime = \sum_{n = 1}^\infty u^\prime_n(x)$$
要求：
$$\sum_{n = 1}^\infty u_n(x)$$
收敛，且：
$$\sum_{n = 1}^\infty u_n^\prime(x)$$
一致收敛。

含参变量无穷积分的换序（Fubini 定理）

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是有界闭区域，且：

$$\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛，则：
$$\int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_a^{+\infty} \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y$$
也即：
$$\int_D \, \mathrm{d} y \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^{+\infty} \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y$$
证明：类似连续性证明，采用尾项截断分析方法。

任取 $A > a$：

$$\int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_D \, \mathrm{d} y \int_a^A f(x, y) \, \mathrm{d} x + \int_D \, \mathrm{d} y \int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \\ = \int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D x f(x, y) \, \mathrm{d} y + \int_D \, \mathrm{d} y \int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$

因此：

$$\left|\int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D x f(x, y) \, \mathrm{d} y – \int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y \right| \le \int_D \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x\right| \, \mathrm{d} y$$
已知：
$$\varphi(y) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛，所以 $\varphi \in C(D)$。

此外 $\forall \varepsilon > 0, \exists A > a$ 使得：

$$\sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| < \frac{\varepsilon}{\mu(D)}$$ 代入前面的估计： $$\left|\int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D x f(x, y) \, \mathrm{d} y - \int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y \right| \le \frac{\varepsilon}{\mu(D)} \int_D \, \mathrm{d} y = \varepsilon$$ 此即： $$\lim_{A \to +\infty} \int_a^A \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y = \int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_D \, \mathrm{d} y \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \ \ \ \square$$ 注：积分换序要求在 $D$ 整体一致连续。

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