微积分笔记（57）——含参变量积分（2）

微积分笔记（57）——含参变量积分（2）

含参变量积分

含参变量奇异积分的性质

含参变量奇异积分

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b) \times D, D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是区域，假设对于每个 $y \in D$，奇异积分：

$$\int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
收敛，定义：
$$\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x, y \in D$$
得到含参变量奇异积分定义的函数 $\varphi : D \to \mathbb{R}$。

基本方法：研究 $\varphi$ 的分析性质时，奇异积分产生的困难及其处理与无穷积分的处理类似（引入相应的一致收敛）。

含参变量奇异积分的一致收敛

$\forall \varepsilon > 0, \exists b_0 \in (a, b)$ 使得：

$$\sup_{y \in D} \left|\int_{b_0}^b f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le \varepsilon$$
这时称奇异积分：
$$\int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛。

含参变量奇异积分的分析性质

设 $f \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, b) \times D$，记：

$$\varphi(y) = \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x$$

1. 如果其关于 $y \in D$ 一致收敛，则 $\varphi \in C(D)$ 且：
   $$\int_D \varphi(y) \, \mathrm{d} y = \int_D \, \mathrm{d} y \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d} x = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_D f(x, y) \, \mathrm{d} y$$

2. 又若 $D_{y_i} f \in C(\tilde{D})$ 且：
   

   $$\int_a^b D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$
   关于 $y \in D$ 一致收敛，则 $D_{y_i} \varphi \in C(D)$ 且：
   $$D_{y_i} \varphi(y) = \int_a^b D_{y_i} f(x, y) \, \mathrm{d} x$$

含参反常积分的一致收敛判别法

含参无穷积分逐点收敛

$$\forall y \in D, \lim_{A \to +\infty} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| = 0 \\ \forall \varepsilon > 0, \exists A > a, \forall A^\prime \ge A, \left|\int_{A^\prime}^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le \varepsilon$$

含参无穷积分一致收敛

$$\lim_{A \to +\infty} \sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| = 0 \\ \forall \varepsilon > 0, \exists A > a, \forall A^\prime \ge A, \sup_{y \in D} \left|\int_{A^\prime}^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le \varepsilon$$

Dirichlet-Abel 一致收敛判别法

设 $f, g \in C(\tilde{D}), \tilde{D} = [a, +\infty) \times D$，且满足一下条件之一：

$$(D) \begin{cases} \displaystyle \int_a^u f(x, y) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u \ge a \text{ 在 } D \text{ 上一致有界} \\ \displaystyle g(x, y) \text{ 关于 } x \text{ 单调}, \lim_{x \to +\infty} \sup_{y \in D} |g(x, y)| = 0 \end{cases} \\ (A) \begin{cases} \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } y \in D \text{ 一致收敛} \\ \displaystyle g(x, y) \text{ 关于 } x \text{ 单调}, \text{关于 } y \in D \text{ 一致有界} \end{cases}$$
则无穷积分：
$$\int_a^{+\infty} f(x, y) g(x, y) \, \mathrm{d} x$$
关于 $y \in D$ 一致收敛。

类似：不含参数无穷积分的同名判别法。

证明：仅证明 Dirichlet 条件下的判别结论。

先省略参数 $y$，复习无参数情况证明，记：

$$F(u) = \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x$$
先分部积分，由 $g^\prime$ 不变号，再应用积分中值定理 $\exists \xi \in (A, B)$：
$$\begin{align*} \int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x & = F(x) g(x) \Big |_A^B – \int_A^B F(x) D_x g(x) \, \mathrm{d} x \\ & = F(B)g(B) – F(A)g(A) – F(\xi) [g(B) – g(A)] \\ & = [F(B) – F(\xi)] g(B) + [F(\xi) – F(A)] g(A) \\ & = g(B) \int_\xi^B f(x) \, \mathrm{d} x + g(A) \int_A^\xi f(x) \, \mathrm{d} x \end{align*}$$
在上式中恢复参数 $y$，已知右端二积分关于 $y \in D$ 中一致有界，当 $A, B$ 增大时，$g$ 一致趋于零。

令：

$$\left|\sup_{y \in D} \int_a^u f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le L$$
则 $\forall u_1, u_2 \ge a$：
$$\left|\int_{u_1}^{u_2} f(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le 2L$$
$\forall \varepsilon > 0$，取 $M > 0$，使得 $\forall x > M, \forall y \in D, |g(x, y)| < \varepsilon / (4L)$。于是 $\forall A, B > M, \forall y \in D$：
$$\left|\int_A^B f(x, y) g(x, y) \, \mathrm{d} x \right| \le (|g(B, y)| + |g(A, y)|) 2L < \varepsilon$$ 这导出： $$\lim_{A \to +\infty} \sup_{y \in D} \left|\int_A^{+\infty} f(x, y) g(x, y) \, \mathrm{d} x \right| = 0 \ \ \ \square$$

含参反常积分：$\Gamma$ 函数、$B$ 函数

$\Gamma$ 函数

$$\Gamma(t) := \int_0^{+\infty} x^{t – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} x$$

$t > 0$ 时积分收敛。

含 $1$ 个参变量的无穷积分，也称 Euler 第二积分。

$B$ 函数

$$B(u, v) := \int_0^1 x^{u – 1} (1 – x)^{v – 1} \, \mathrm{d} x$$

$u > 0, v > 0$ 时积分收敛。

含 $2$ 个参变量的奇异积分，也称 Euler 第一积分。

可微性质

$$\Gamma^{(m)}(t) = \int_0^{+\infty} x^{t – 1} e^{-x} (\ln x)^m \, \mathrm{d} x, m = 0, 1, 2, \cdots \\ D_u^i D_v^j B(u, v) = \int_0^1 x^{u – 1} (1 – x)^{v – 1} (\ln x)^i [\ln (1 – x)]^j \, \mathrm{d} x, i, j = 0, 1, 2, \cdots$$

证明：$\forall A > \delta > 0$：

$$\int_0^{+\infty} x^{t – 1} e^{-x} (\ln x)^m \, \mathrm{d} x$$
关于 $\delta \le t \le A$ 一致收敛：

易知存在 $M > 0$ 使得：

$$\sup_{0 < x \le 1} |x^{\delta / 2} (\ln x)^m| \le M, \sup_{x \ge 1} |x^{-1} (\ln x)^m| \le M \\ \therefore \sup_{0 < x \le 1} |x^{t - 1} e^{-x} (\ln x)^m| \le M x^{\delta / 2 - 1}, \sup_{x \ge 1} |x^{t - 1} e^{-x} (\ln x)^m| \le M x^A e^{-x}$$ Weierstrass 判别导出： $$\int_0^{+\infty} x^{t - 1} e^{-x} (\ln x)^m \, \mathrm{d} x$$ 关于 $\delta \le t \le A$ 一致收敛。同理可以验证： $$\int_0^1 x^{u - 1} (1 - x)^{v - 1} (\ln x)^i [\ln (1 - x)]^j \, \mathrm{d} x$$ 关于 $u, v \ge \delta$ 一致收敛。$\square$

$\Gamma$ 函数的基本性质

$$\begin{align*} (1) \ \ & \Gamma(t) > 0, \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} e^{-x} \, \mathrm{d} x = 1 \\ (2) \ \ & \Gamma(t + 1) = \int_0^{+\infty} x^t e^{-x} \, \mathrm{d} x = – x^t e^{-x} \Big |_0^{+\infty} + t \int_0^{+\infty} x^{t – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} t = t \Gamma(t) \\ (3) \ \ & \quad \Gamma(\lambda t_1 + (1 – \lambda) t_2) \\ & = \int_0^{+\infty} x^{\lambda t_1 + (1 – \lambda) t_2 – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} x \\ & = \int_0^{+\infty} x^{\lambda(t_1 – 1) + (1 – \lambda)(t_2 – 1)} e^{-\lambda x – (1 – \lambda) x} \, \mathrm{d} x \\ & \le \left[\int_0^{+\infty} x^{t_1 – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} x \right]^\lambda \left[\int_0^{+\infty} x^{t_2 – 1} e^{-x} \, \mathrm{d} x \right]^{1 – \lambda} \\ & = [\Gamma(t_1)]^\lambda [\Gamma(t_2)]^{1 – \lambda} \end{align*}$$

可见 $\ln \Gamma(t)$ 是凸函数。

注：满足上述性质的函数必然是 $\Gamma$ 函数：这 $3$ 条可以导出：

$$\forall t > 0, \Gamma(t) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^t n!}{t(t + 1) \cdots (t + n)}$$

$B$ 函数的基本性质

$$\begin{align*} (1) \ \ & B(u, v) = \int_0^1 x^{u – 1} (1 – x)^{v – 1} \, \mathrm{d} x \\ & \stackrel{y = 1 – x}{=} \int_0^1 (1 – y)^{u – 1} y^{v – 1} \, \mathrm{d} y = B(v, u), \forall u, v > 0 \\ (2) \ \ & B(u + 1, v) = \int_0^1 x^{v – 1} (1 – x)^u \, \mathrm{d} x \int_0^1 x^{u + v – 1} \left(\frac{1 – x}{x}\right)^u \, \mathrm{d} x \\ & = \frac{x^{u + v}}{u + v} \left(\frac{1 – x}{x} \right)^u \Bigg |_0^1 + \frac{u}{u + v} \int_0^1 x^{u + v} \frac{1}{x^2} \left(\frac{1 – x}{x}\right)^{u – 1} \, \mathrm{d} x \\ & = \frac{u}{u + v} \int_0^1 x^{v – 1} (1 – x)^{u – 1} \, \mathrm{d} x \\ & = \frac{u}{u + v} B(u, v) \\ & \Rightarrow B(u + 1, v + 1) = \frac{uv}{(u + v)(u + v + 1)} B(u, v) \end{align*}$$

$\Gamma$ 函数与 $B$ 函数的关系

$$B(u, v) = \frac{\Gamma(u) \Gamma(v)}{\Gamma(u + v)}$$

验证：记：

$$f(u) = \frac{\Gamma(u + v)}{\Gamma(v)} B(u, v)$$
只须验证 $\Gamma$ 函数的性质。

首先：

$$f(1) = \frac{\Gamma(1 + v)}{\Gamma(v)} B(1, v) = v B(1, v) = v \int_0^1 (1 – x)^{v – 1} \, \mathrm{d} x = 1$$
其次：
$$f(u + 1) = \frac{\Gamma(u + v + 1)}{\Gamma(v)} B(u + 1, v + 1) = \frac{(u + v) \Gamma(u + v)}{\Gamma(v)} \frac{u}{u + v} B(u, v) \\ = \frac{u \Gamma(u + v)}{\Gamma(v)} B(u, v) = u f(u)$$
验证对数凸函数性质：

取 $u = \lambda u_1 + (1 – \lambda) u_2$，则 $u + v = \lambda (u_1 + v) + (1 – \lambda) (u_2 + v)$：

$$\Gamma(u + v) \le [\Gamma(u_1 + v)]^\lambda [\Gamma(u_2 + v)]^{1 – \lambda} \\ B(u, v) \le [B(u_1, v)]^\lambda [B(u_2, v)]^{1 – \lambda}$$
$B$ 函数对数凸性质证明略去（自行完成）。
$$\therefore f(u) = \frac{\Gamma(u + v)}{\Gamma(v)} B(u, v) \\ \le \frac{[\Gamma(u_1 + v)]^\lambda [\Gamma(u_2 + v)]^{1 – \lambda} [B(u_1, v)]^\lambda [B(u_2, v)]^{1 – \lambda}}{[\Gamma(v)]^\lambda [\Gamma(v)]^{1 – \lambda}} \\ = [f(u_1)]^\lambda [f(u_2)]^{1 – \lambda}$$
综上 $f$ 满足 $\Gamma$ 函数的 $3$ 个特征性质，所以 $f(u) = \Gamma(u)$。

$\Gamma$ 函数的进一步性质

$$\begin{align*} (4) \ \ & \Gamma(t) = \frac{2^{t – 1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma \left(\frac{t}{2}\right) \Gamma \left(\frac{t +1}{2}\right), t > 0 \\ (5) \ \ & \Gamma(1 – t) \Gamma(t) = \frac{\pi}{\sin t \pi}, 0 < t < 1 \end{align*}$$ 分别称为倍元公式与余元公式。

证明：记：

$$f(t) = \frac{2^{t – 1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma \left(\frac{t}{2}\right) \Gamma \left(\frac{t +1}{2}\right)$$
同前可验证 $3$ 个特征性质。

利用 $\Gamma$ 函数与 $B$ 函数的关系得到：

$$\Gamma(t) \Gamma(1 – t) = B(t, 1 – t) = \int_0^1 x^{t – 1} (1 – x)^{-t} \, \mathrm{d} x = \frac{\pi}{\sin t \pi}$$
积分计算略去（见教材）。$\square$

教材电子版：上册，下册

 微积分 笔记