高等代数选讲笔记（11）——非齐次线性微分方程组

wzf2000
2020年7月6日

高等代数选讲笔记（11）——非齐次线性微分方程组

第十一讲：非齐次线性微分方程组

齐次线性微分方程组回忆

$$
y^\prime(t) = A y(t)
$$

考虑 $A$ 的一组 Jordan 基 $u_{1, 1}, \cdots, u_{1, k_1}, \cdots, u_{m, 1}, \cdots, u_{m, k_m}$，对应的特征值为 $\lambda_i$。

由于 $Au_{i, j} = u_{i, j + 1}$，因此可以简化一定的计算。

当 $A$ 拥有一组特征向量基时，自然会有更简单的结果。

非齐次方程组

$$
y^\prime(t) = A(t) y(t) + f(t) \\
y(0) = y_0
$$

解法

1. 找到一个特殊解 $y_p$；
2. 找到对应齐次方程的一般解 $y_k$；
3. 非齐次方程的一般解为 $y = y_p + y_k$；
4. 用初值条件确定 $y_k$ 中系数。

待定系数法（猜）

例如：
$$
y^\prime(t) = A y(t) + tg \\
g =
\begin{bmatrix}
-9 \\
0 \\
18
\end{bmatrix}
$$
可以猜 $y_p = ta + b$，代入可得：
$$
Aa - g = 0, Ab - a = 0
$$
因此即可解得 $a, b$。

一般来说：

若 $f(t)$ 包含 $t^n + \cdots + a_1 t + a_0$，则可以猜 $y_p(t) = t^n u_1 + t^{n - 1}u_2 + \cdots + t^1 u_n + u_{n + 1}$。

若 $f(t)$ 包含 $e^{\alpha t}$（$\alpha$ 不为 $A$ 的特征值），猜 $y_p(t) = e^{\alpha t} u$。

若 $f(t)$ 包含 $\sin \alpha t, \cos \alpha t$，猜 $y_p(t) = \sin \alpha t \cdot u_1 + \cos \alpha t \cdot u_2$。

参数变换法

令 $Y(t)$ 为 $y^\prime(t) = A(t) y(t)$ 的一基本矩阵，齐次方程的一般解为 $Y(t) \cdot C$。

参数变换 $C \leadsto v(t)$，找形如 $y_p(t) = Y(t) v(t)$ 的解。
$$
y^\prime(t) = Y^\prime(t) v(t) + Y(t) v^\prime(t) \\
= A(t) Y(t) v(t) + Y(t) v^\prime(t) \\
y^\prime(t) = A(t) y_p(t) + f(t) \\
= A(t) Y(t) v(t) + f(t)
$$
比较两式即得：
$$
Y(t) v^\prime(t) = f(t) \\
\Rightarrow v^\prime(t) = Y^{-1}(t) f(t)
$$
（若 $Y(t)$ 可逆）

因此：
$$
v(t) = \int_{t_0}^t Y^{-1}(s) f(s) \, \mathrm{d} s
$$
则：
$$
y_p(t) = Y(t) \int_{t_0}^t Y^{-1}(s) f(s) \, \mathrm{d} s
$$
再根据初值条件可得：
$$
y(t) = Y(t) Y^{-1}(t_0) y_0 + Y(t) \int_{t_0}^t Y^{-1}(s) f(s) \, \mathrm{d} s
$$

张量（预告）

$0$ 维是 $\mathbb{C}$ 也就是复数域，$1$ 维是 $\mathbb{C}^n$ 也就是向量、一维数组，$2$ 维是 $M_{m \times n}$ 也就是矩阵、二维数组。

$3$ 维以上就是张量，比如 $3$ 维就是立方体。

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