高等代数选讲笔记(12)——对偶空间

高等代数选讲笔记(12)——对偶空间

第十二讲:对偶空间

对偶相关概念

数学

对偶空间,对偶群……

物理

电和磁。

对偶空间

概念

$V$ 是线性空间,$V$ 上的一个线性泛函是一个线性变换:
$$
L : V \to \mathbb{C}
$$
$V$ 的对偶空间 $V^*$ 为 $\mathcal{L}(V, \mathbb{C})$,即所有线性泛函组成的集合。

一般来说,$V, W$ 为线性空间,$\mathcal{L}(V, W)$,即所有 $V$ 到 $W$ 的线性变换也是一个线性空间。

所以 $V^*$ 也是一个线性空间。

实例

$V = \mathbb{C}^n$,那么 $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ 可以看作一个行向量 $y \in (\mathbb{C}^n)^*, y = (y_1, \cdots, y_n)$。
$$
x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
$$
则:
$$
y : x \mapsto yx
$$
或者 $y$ 是一个列向量:
$$
y \mapsto y^T x = y \cdot x
$$
$\Rightarrow V$ 和 $V^*$ 的维数是相同的。

:并不存在一个典范/自然的同构!

引理

$v \in V$,如果 $L(v) = 0, \forall L \in V^*$,那么 $v = 0$。

证明:固定 $V$ 的一组基 $B$,那么 $L(V) = [L]_B$($\mathbb{C}$ 取标准基)。

那么 $L(v) = [L]_B [v]_B$。

对于任意 $k$,令:
$$
[L]_B = [0, \cdots, 1, \cdots, 0]
$$
其中第 $k$ 列为 $1$,则可得 $[v]_B$ 的第 $k$ 个坐标为 $0$。

$\Rightarrow [v]_B = 0 \Rightarrow v = 0$。

对偶的对偶

$$
V \rightsquigarrow V^* \rightsquigarrow V^{**} \rightsquigarrow V^{***} \rightsquigarrow \cdots
$$

性质:($V$ 有限维)那么存在一个典范/自然的线性变换,$T : V \to V^{**}$

典范/自然:不需要依赖额外的结构(基的选取,内积的选取,……)。

性质

典范映射 $T : V \to V^{**}$ 是同构。

证明:引理说明了 $T$ 是单射:
$$
Tv = 0 \Rightarrow f(v) = 0, \forall f \in V^* \\
\Rightarrow v = 0
$$
又因为 $\dim V = \dim V^* = \dim V^{**}$,因此 $T$ 是同构。

对偶基

定义

令 $(b_1, \cdots, b_n)$ 是 $V$ 的一组基,设 $(b_1^*, \cdots, b_n^*) \in V^*$ 满足:
$$
b_k^* (b_j) =
\begin{cases}
1 & k = j \\
0 & k \not = j
\end{cases}
= \delta_{k, j}
$$
$[b_k^*]_B = [b_k^*(b_1), \cdots, b_k^*(b_n)] = (0, 1, \cdots, 0)$,其中第 $k$ 列为 $1$。

对于任意 $L \in V^*$,$[L]_B = [L_1, \cdots, L_n]$,则:
$$
L = L_1 b_1^* + \cdots + L_n b_n^* \\
\Rightarrow \mathrm{span} \, \{b_1^*, \cdots, b_n^*\} = V^*, \dim V^* = n
$$
$\Rightarrow$ 此 $b_1^*, \cdots, b_n^*$ 是 $V^*$ 的一组基。

这组基称为 $(b_1, \cdots, b_n)$ 的对偶基。

:对于一个向量 $v \in V$,不能定义 $v^* \in V^*$(不存在自然的映射)。

$e.g.$ $V = \mathbb{C}^n$,考虑其一组基 $b_1, \cdots, b_n$,则:
$$
[b_1^*, \cdots, b_n^*]^T [b_1, \cdots, b_n] = I \\
\Rightarrow [b_1^*, \cdots, b_n^*] = ([b_1, \cdots, b_n]^T)^{-1}
$$

性质

任意 $v \in V$:
$$
v = \sum_{k = 1}^n \alpha_k b_k \\
b_j^*(v) = \sum_{k = 1}^n \alpha_k b_j^*(b_k) = \alpha_j, \forall j = 1, \cdots, n \\
$$

$$
\Rightarrow v = \sum_{i = 1}^n b_k^*(v) b_k \tag{*}
$$

$e.g.$ 多项式的泰勒公式。

设 $P_n$ 为阶数 $\le n$ 的多项式的集合,则:
$$
\{e_0 = 1, e_1 = t, \cdots, e_n = t^n\}
$$
这组基的对偶基为:
$$
e_k^* = \frac{1}{k!} P^{(k)}(0)
$$
因为:
$$
e_k^* (e_j) = \frac{1}{k!} (t^j)^{(k)}(0)
$$
容易看出,当且仅当 $k = j$ 时取值为 $1$,否则取值为 $0$。
$$
(*) \Rightarrow p(t) = \sum_{k = 0}^n e_k^*(p) e_k \\
= \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} p^{(k)} t^k
$$
即麦克劳伦公式。

一般的泰勒公式只需要考虑 $e_0 = 1, e_1 = t – a, \cdots, e_n = (t – a)^n$ 即可。

$e.g.$ 拉格朗日插值公式

固定 $a_1, \cdots ,a_{n + 1}$ 为 $n + 1$ 个不同的复数。

定义 $f_k \in (P_n)^*, f_k(p) = p(a_k)$,对偶基是?

即找到 $p_j \in P_n$,使得 $f_k(p_j) = \delta_{k, j}$。
$$
p_k(t) = \frac{\prod\limits_{\substack{j \not = k \\ 1 \le j \le n + 1}}(t – a_j)}{\prod\limits_{\substack{j \not = k \\ 1 \le j \le n + 1}} (a_k – a_j)} \\
f_j(p_k) = p_k(a_j) =
\begin{cases}
1 & j = k \\
0 & j \not = k
\end{cases}
$$
因此 $\{f_k\}$ 是 $\{p_k\}$ 的对偶基。

故存在唯一阶数 $\le n$ 的多项式 $p$,满足 $p(a_k) = y_k$。
$$
(*) \Rightarrow p(t) = \sum_{k = 1}^{n + 1} y_k p_k(t) \\
= \sum_{k = 1}^{n + 1} y_k \frac{\prod\limits_{j \not = k}(t – a_j)}{\prod\limits_{j \not = k} (a_k – a_j)}
$$
:唯一性可由引理得到。

对偶变换

概念

$$
V \times V^* \to \mathbb{C} \\
(v, l) \mapsto \left \langle v, l \right \rangle := l(v)
$$

类似于内积,但左右的输入不一样。

$T : V \to W$,定义:
$$
T^* : W^* \to V^* \\
l \mapsto l \circ T
$$
为其对偶变换。

则:
$$
\left \langle Tv, l \right \rangle = l(T(v)) = T^*l(v) = \left \langle v, T^* l \right \rangle
$$
令 $A = (a_1, \cdots, a_n)$ 是 $V$ 的基,$B = (b_1, \cdots, b_n)$ 为 $W$ 的基,$A^*, B^*$ 为对偶基,则:
$$
[T]_{A, B} = ([T^*]_{B^*, A^*})^T
$$

子空间的补

令 $E \subseteq V$ 是一子空间,定义 $E^\perp \subseteq V^*$:
$$
E^\perp = \{l \in V^* | \left\langle v, l\right\rangle = 0, \forall v \in E \}
$$
性质:$E = (E^\perp)^\perp \subseteq (V^*)^* = V$

证明:令 $v_1, \cdots, v_r$ 是 $E$ 的基,将其补充至 $v_1, \cdots, v_n$ 为 $V$ 的基,$v_1^*, \cdots, v_n^*$ 为其对偶基,则:
$$
E^\perp = \mathrm{span} \, \{v_{r + 1}^*, \cdots, v_n^*\}
$$

定理

$T : V \to W, T^* : W^* \to V^*$,那么:

  1. $\mathrm{Ker} \, T^* = (\mathrm{Range} \, T)^\perp$;
  2. $\mathrm{Ker} \, T = (\mathrm{Range} \, T^*)^\perp$;
  3. $\mathrm{Range} \, T = (\mathrm{Ker} \, T^*)^\perp$;
  4. $\mathrm{Range} \, T^* = (\mathrm{Ker} \, T)^\perp$.

证明:只须证明第一条。
$$
l \in (\mathrm{Range} \, T)^\perp \Leftrightarrow 0 = \left \langle Tx, l \right \rangle, \forall x \in V \\
\Leftrightarrow 0 = \left \langle x, T^*l \right \rangle, \forall x \in V \\
\Leftrightarrow T^* l = 0 \Leftrightarrow l \in \mathrm{Ker} \, T^*
$$

 

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