wzf2000 高等代数选讲笔记（12）——对偶空间
Contents
第十二讲：对偶空间
对偶相关概念
数学
对偶空间，对偶群……
物理
电和磁。
对偶空间
概念
$V$ 是线性空间，$V$ 上的一个线性泛函是一个线性变换：
$$
L : V \to \mathbb{C}
$$
$V$ 的对偶空间 $V^*$ 为 $\mathcal{L}(V, \mathbb{C})$，即所有线性泛函组成的集合。
一般来说，$V, W$ 为线性空间，$\mathcal{L}(V, W)$，即所有 $V$ 到 $W$ 的线性变换也是一个线性空间。
所以 $V^*$ 也是一个线性空间。
实例
$V = \mathbb{C}^n$，那么 $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ 可以看作一个行向量 $y \in (\mathbb{C}^n)^*, y = (y_1, \cdots, y_n)$。
$$
x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
$$
则：
$$
y : x \mapsto yx
$$
或者 $y$ 是一个列向量：
$$
y \mapsto y^T x = y \cdot x
$$
$\Rightarrow V$ 和 $V^*$ 的维数是相同的。
注：并不存在一个典范/自然的同构！
引理
$v \in V$，如果 $L(v) = 0, \forall L \in V^*$，那么 $v = 0$。
证明：固定 $V$ 的一组基 $B$，那么 $L(V) = [L]_B$（$\mathbb{C}$ 取标准基）。
那么 $L(v) = [L]_B [v]_B$。
对于任意 $k$，令：
$$
[L]_B = [0, \cdots, 1, \cdots, 0]
$$
其中第 $k$ 列为 $1$，则可得 $[v]_B$ 的第 $k$ 个坐标为 $0$。
$\Rightarrow [v]_B = 0 \Rightarrow v = 0$。
对偶的对偶
$$
V \rightsquigarrow V^* \rightsquigarrow V^{**} \rightsquigarrow V^{***} \rightsquigarrow \cdots
$$
性质：（$V$ 有限维）那么存在一个典范/自然的线性变换，$T : V \to V^{**}$
典范/自然：不需要依赖额外的结构（基的选取，内积的选取，……）。
性质
典范映射 $T : V \to V^{**}$ 是同构。
证明：引理说明了 $T$ 是单射：
$$
Tv = 0 \Rightarrow f(v) = 0, \forall f \in V^* \\
\Rightarrow v = 0
$$
又因为 $\dim V = \dim V^* = \dim V^{**}$，因此 $T$ 是同构。
对偶基
定义
令 $(b_1, \cdots, b_n)$ 是 $V$ 的一组基，设 $(b_1^*, \cdots, b_n^*) \in V^*$ 满足：
$$
b_k^* (b_j) =
\begin{cases}
1 & k = j \\
0 & k \not = j
\end{cases}
= \delta_{k, j}
$$
$[b_k^*]_B = [b_k^*(b_1), \cdots, b_k^*(b_n)] = (0, 1, \cdots, 0)$，其中第 $k$ 列为 $1$。
对于任意 $L \in V^*$，$[L]_B = [L_1, \cdots, L_n]$，则：
$$
L = L_1 b_1^* + \cdots + L_n b_n^* \\
\Rightarrow \mathrm{span} \, \{b_1^*, \cdots, b_n^*\} = V^*, \dim V^* = n
$$
$\Rightarrow$ 此 $b_1^*, \cdots, b_n^*$ 是 $V^*$ 的一组基。
这组基称为 $(b_1, \cdots, b_n)$ 的对偶基。
注：对于一个向量 $v \in V$，不能定义 $v^* \in V^*$（不存在自然的映射）。
$e.g.$ $V = \mathbb{C}^n$，考虑其一组基 $b_1, \cdots, b_n$，则：
$$
[b_1^*, \cdots, b_n^*]^T [b_1, \cdots, b_n] = I \\
\Rightarrow [b_1^*, \cdots, b_n^*] = ([b_1, \cdots, b_n]^T)^{-1}
$$
性质
任意 $v \in V$：
$$
v = \sum_{k = 1}^n \alpha_k b_k \\
b_j^*(v) = \sum_{k = 1}^n \alpha_k b_j^*(b_k) = \alpha_j, \forall j = 1, \cdots, n \\
$$
$$
\Rightarrow v = \sum_{i = 1}^n b_k^*(v) b_k \tag{*}
$$
$e.g.$ 多项式的泰勒公式。
设 $P_n$ 为阶数 $\le n$ 的多项式的集合，则：
$$
\{e_0 = 1, e_1 = t, \cdots, e_n = t^n\}
$$
这组基的对偶基为：
$$
e_k^* = \frac{1}{k!} P^{(k)}(0)
$$
因为：
$$
e_k^* (e_j) = \frac{1}{k!} (t^j)^{(k)}(0)
$$
容易看出，当且仅当 $k = j$ 时取值为 $1$，否则取值为 $0$。
$$
(*) \Rightarrow p(t) = \sum_{k = 0}^n e_k^*(p) e_k \\
= \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} p^{(k)} t^k
$$
即麦克劳伦公式。
一般的泰勒公式只需要考虑 $e_0 = 1, e_1 = t – a, \cdots, e_n = (t – a)^n$ 即可。
$e.g.$ 拉格朗日插值公式
固定 $a_1, \cdots ,a_{n + 1}$ 为 $n + 1$ 个不同的复数。
定义 $f_k \in (P_n)^*, f_k(p) = p(a_k)$，对偶基是？
即找到 $p_j \in P_n$，使得 $f_k(p_j) = \delta_{k, j}$。
$$
p_k(t) = \frac{\prod\limits_{\substack{j \not = k \\ 1 \le j \le n + 1}}(t – a_j)}{\prod\limits_{\substack{j \not = k \\ 1 \le j \le n + 1}} (a_k – a_j)} \\
f_j(p_k) = p_k(a_j) =
\begin{cases}
1 & j = k \\
0 & j \not = k
\end{cases}
$$
因此 $\{f_k\}$ 是 $\{p_k\}$ 的对偶基。
故存在唯一阶数 $\le n$ 的多项式 $p$，满足 $p(a_k) = y_k$。
$$
(*) \Rightarrow p(t) = \sum_{k = 1}^{n + 1} y_k p_k(t) \\
= \sum_{k = 1}^{n + 1} y_k \frac{\prod\limits_{j \not = k}(t – a_j)}{\prod\limits_{j \not = k} (a_k – a_j)}
$$
注：唯一性可由引理得到。
对偶变换
概念
$$
V \times V^* \to \mathbb{C} \\
(v, l) \mapsto \left \langle v, l \right \rangle := l(v)
$$
类似于内积，但左右的输入不一样。
$T : V \to W$，定义：
$$
T^* : W^* \to V^* \\
l \mapsto l \circ T
$$
为其对偶变换。
则：
$$
\left \langle Tv, l \right \rangle = l(T(v)) = T^*l(v) = \left \langle v, T^* l \right \rangle
$$
令 $A = (a_1, \cdots, a_n)$ 是 $V$ 的基，$B = (b_1, \cdots, b_n)$ 为 $W$ 的基，$A^*, B^*$ 为对偶基，则：
$$
[T]_{A, B} = ([T^*]_{B^*, A^*})^T
$$
子空间的补
令 $E \subseteq V$ 是一子空间，定义 $E^\perp \subseteq V^*$：
$$
E^\perp = \{l \in V^* | \left\langle v, l\right\rangle = 0, \forall v \in E \}
$$
性质：$E = (E^\perp)^\perp \subseteq (V^*)^* = V$
证明：令 $v_1, \cdots, v_r$ 是 $E$ 的基，将其补充至 $v_1, \cdots, v_n$ 为 $V$ 的基，$v_1^*, \cdots, v_n^*$ 为其对偶基，则：
$$
E^\perp = \mathrm{span} \, \{v_{r + 1}^*, \cdots, v_n^*\}
$$
定理
$T : V \to W, T^* : W^* \to V^*$，那么：
- $\mathrm{Ker} \, T^* = (\mathrm{Range} \, T)^\perp$；
- $\mathrm{Ker} \, T = (\mathrm{Range} \, T^*)^\perp$；
- $\mathrm{Range} \, T = (\mathrm{Ker} \, T^*)^\perp$；
- $\mathrm{Range} \, T^* = (\mathrm{Ker} \, T)^\perp$.
证明：只须证明第一条。
$$
l \in (\mathrm{Range} \, T)^\perp \Leftrightarrow 0 = \left \langle Tx, l \right \rangle, \forall x \in V \\
\Leftrightarrow 0 = \left \langle x, T^*l \right \rangle, \forall x \in V \\
\Leftrightarrow T^* l = 0 \Leftrightarrow l \in \mathrm{Ker} \, T^*
$$
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