高等代数选讲笔记（13）——张量

高等代数选讲笔记（13）——张量

第十三讲：张量

标量 $\mathbb{C}$，向量，矩阵，张量。

多线性映射

定义

$V_1, \cdots, V_p, V$ 为向量空间，一个的多线性映射为：

$$F : V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_p \to V$$
满足 $F$ 在每个分量上都是线性的。
$$F(v_1 + cv_1′, v_2, \cdots, v_p) = F(v_1, \cdots, v_p) + cF(v_1′, v_2, \cdots, v_p)$$

多线性映射集合

记 $\mathcal{L}(v_1, \cdots, v_p; v)$ 为所有多线性映射的集合。

在记号下 $\mathcal{L}(V_1; V)$ 就是从 $V_1 \to V$ 的线性变换的集合。

注意这里多线性映射与对应空间上的线性映射并不等价，也不存在包含关系，即：

$$\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; V) \not = \mathcal{L}(V_1 \times \cdots \times V_P; V)$$
有没有一个线性空间 $W$ 替代 $V_1 \times \cdots \times V_P$ 使得等式成立？

实际上，我们将发现 $W = V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$。

可以发现 $\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_P; V)$ 是线性变换，其维数是多少？

对于 $f_k \in V_k^*$，定义：

$$f_1 \otimes \cdots \otimes f_p(v_1, \cdots, v_p) = f_1(v_1) \cdot \cdots \cdot f_p(v_p), \forall v_1 \in V_1, \cdots, v_p \in V_p \\ V_1 \times \cdots \times V_p \to \mathbb{C}$$

是多线性变换。

$$f_1 \otimes \cdots \otimes f_p \in \mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; \mathbb{C})$$

性质 1

令 $V, W$ 为向量空间，$\tilde{v}_1, \cdots, \tilde{v}_m$ 为 $V^*$ 的基，$\tilde{w}_1, \cdots, \tilde{w}_n$ 为 $W^*$ 的基，那么：

$$\{\tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j\}_{i, j}$$
是 $\mathcal{L}(V, W; \mathbb{C})$ 的一组基。

证明：

$\forall F \in L(V, W; \mathbb{C})$，$(v_1, \cdots, v_m) \subseteq V$ 为 $(\tilde{v}_1, \cdots, \tilde{v}_m)$ 的对偶基，$(w_1, \cdots, w_n)$ 为 $(\tilde{w}_1, \cdots, \tilde{w}_n)$ 的对偶基。

那么：

$$G = \sum_{i, j} \alpha_{ij} \tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j \in \mathcal{L}(V, W; \mathbb{C}) \\ F((v_i, w_j)) = \alpha_{ij} = G((v_i, w_j)) \Rightarrow F = G$$
这说明 $\{\tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j\}_{i, j}$ 生成了 $\mathcal{L}(V, W; \mathbb{C})$。

若：

$$\sum_{i, j} C_{ij} \tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j = 0$$
那么：
$$\sum_{i, j} C_{ij} \tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j((v_k, w_l)) \\ = C_{k, l} = 0 \\ \Rightarrow C_{ij} = 0, \forall i, j$$
这说明 $\{\tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j\}_{i, j}$ 线性无关。

因此得证。

性质 2

令 $V_1, \cdots, V_p$ 为 $p$ 个向量空间：

$$B_i = \{b_1^i, b_2^i, \cdots, b_{\dim V_i}^i\}$$
是 $V_i$ 的基。

那么：

$$\{b_{j_1}^{1*} \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^{p*}\}_{j_1, \cdots, j_p}$$
为 $\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_P; \mathbb{C})$ 的基。

推论：

$$\dim \mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; \mathbb{C}) = \dim V_1 \cdot \cdots \cdot \dim V_p$$

张量积

定义

$V_1, \cdots, V_P$ 为向量空间，它们的张量积为：

$$V_1 \otimes V_2 \cdots \otimes V_p := \mathcal{L}(V_1^*, V_2^*, \cdots, V_p^*; \mathbb{C})$$
特别地，当 $p = 1$ 时 $V_1 = L(V_1^*; \mathbb{C}) = V_1^{**}$。（典范同构）

$v_1 \in V_1, \cdots, v_p \in V_p$，那么：

$$v_1 \otimes \cdots \otimes v_p \in V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$$
可知：
$$\dim (V_1 \otimes \cdots \otimes V_p) = \dim V_1 \cdot \cdots \cdot \dim V_p$$
注：任意 $t \in V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$ 可以写成：
$$c_1 v_1^1 \otimes \cdots \otimes v_p^1 + \cdots + c_r v_1^r \otimes \cdots \otimes v_p^r$$
并不是都能写成以下形式：
$$v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_p$$

张量的泛性质

对于任意多线性映射 $F \in \mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; V)$，存在唯一线性变换：

$$T : V_1 \otimes \cdots \otimes V_p \to V$$
满足：
$$F(v_1, \cdots, v_p) = T(v_1 \otimes \cdots \otimes v_p), \forall v_k \in V_k, k = 1, \cdots, p$$

证明：

唯一性易得。

存在性考虑：

$$\{b_{j_1}^1 \otimes b_{j_2}^2 \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^p \}_{j_1, \cdots, j_p}$$
为 $V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$ 的一组基。

定义：

$$T : V_1 \otimes \cdots \otimes V_p \to V \\ b_{j_1}^1 \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^p \mapsto F(b_{j_1}^1, \cdots, b_{j_p}^p)$$
$T$ 满足对于任意 $v_1, \cdots, v_p$：
$$v_k = \sum_{j_k} \alpha_{j_k}^k b_{j_k}^k, k = 1, \cdots, p$$
有：
$$T(v_1 \otimes \cdots \otimes v_p) = \sum_{j_1, \cdots, j_p} \alpha_{j_1}^1 \cdots \alpha_{j_p}^p T(b_{j_1}^1 \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^p)$$
那么：
$$F(v_1, \cdots, v_p) = \sum_{j_1, \cdots, j_p} \alpha_{j_1}^1 \cdots \alpha_{j_p}^p F(b_{j_1}^1, \cdots, b_{j_p}^p)$$
成立。

推论：

$$\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; V) = \mathcal{L}(V_1 \otimes \cdots \otimes V_p; V) \\ F \mapsto T$$

性质

存在一个典范的同构：

$$T :V^* \otimes W \to \mathcal{L}(V; W)$$
证明：
$$F : V^* \times W \to \mathcal{L}(V; W) \\ (l, w) \mapsto \{v \mapsto l(v) \cdot w\}$$
容易证明其为多线性的。

根据张量积的泛性质即可得到对应线性变换 $T$。

$\mathcal{L}(V, W)$ 可以由 $\{v \mapsto l(v) \cdot w\}_{v \in V, w \in W}$ 生成 $\Rightarrow T$ 是满射。

维数相同 $\Rightarrow T$ 是同构。

取 $W = V$，可得：

$$V^* \times V \to C \\ (l, v) \mapsto l(v)$$
是多线性映射，则由张量的泛性质得：
$$\varepsilon : V^* \otimes V \to \mathbb{C}$$
结合：
$$\eta : \mathbb{C} \to \mathcal{L}(V; V) \\ c \mapsto c I_V$$
可得：
$$\mathbb{C} \stackrel{\eta}{\to} \mathcal{L}(V; V) \stackrel{T^{-1}}{\to} V^* \otimes V \stackrel{\varepsilon}{\to} \mathbb{C}$$
推导得 $\varepsilon \circ T^{-1} \circ \eta(1) = \dim V$。

可以看作 $V$ 的维数的内蕴定义。

张量积的矩阵

性质

$$T_1 : V_1 \to W_1, T_2 : V_2 \to W_2$$

则存在 $V_1 \times V_2 \to W_1 \times W_2$ 的线性映射，$W_1 \times W_2 \to W_1 \otimes W_2$ 的多线性映射，复合可得 $V_1 \times V_2 \to W_1 \otimes W_2$ 的多线性映射，由泛性质得到 $T_1 \otimes T_2 : V_1 \otimes V_2 \to W_1 \otimes W_2$ 的映射。

或者说：

$$T_1 \otimes T_2 : V_1 \otimes V_2 \to W_1 \otimes W_2 \\ v_1 \otimes v_2 \mapsto T_1(v_1) \otimes T_2(v_2)$$
设 $A_1, A_2, B_1, B_2$ 分别为 $V_1, V_2, W_1, W_2$ 的一组基，则：
$$[T_1]_{A_1, B_1} \otimes [T_2]_{A_2, B_2} = [T_1 \otimes T_2]_{A_1 \otimes A_2, B_1 \otimes B_2}$$
其中矩阵的 $\otimes$ 是：
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \\ A \otimes B = \begin{pmatrix} aB & bB \\ cB & dB \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af & be & bf \\ ag & ah & bg & bh \\ ce & cf & de & df \\ cg & ch & dg & dh \end{pmatrix}$$
也就是说，如果 $A_1$ 是 $m_1 \times n_1$ 矩阵，$A_2$ 是 $m_2 \times n_2$ 矩阵，则 $A_1 \otimes A_2$ 是 $m_1 m2 \times n_1 n_2$ 的矩阵：
$$(A_1 \otimes A_2)_{(i_1, i_2), (j_1, j_2)} = (A_1)_{i_1, j_1} (A_2)_{i_2, j_2}$$

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