wzf2000 高等代数选讲笔记（13）——张量
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第十三讲：张量
标量 $\mathbb{C}$，向量，矩阵，张量。
多线性映射
定义
$V_1, \cdots, V_p, V$ 为向量空间，一个的多线性映射为：
$$
F : V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_p \to V
$$
满足 $F$ 在每个分量上都是线性的。
$$
F(v_1 + cv_1', v_2, \cdots, v_p) = F(v_1, \cdots, v_p) + cF(v_1', v_2, \cdots, v_p)
$$
多线性映射集合
记 $\mathcal{L}(v_1, \cdots, v_p; v)$ 为所有多线性映射的集合。
在记号下 $\mathcal{L}(V_1; V)$ 就是从 $V_1 \to V$ 的线性变换的集合。
注意这里多线性映射与对应空间上的线性映射并不等价，也不存在包含关系，即：
$$
\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; V) \not = \mathcal{L}(V_1 \times \cdots \times V_P; V)
$$
有没有一个线性空间 $W$ 替代 $V_1 \times \cdots \times V_P$ 使得等式成立？
实际上，我们将发现 $W = V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$。
可以发现 $\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_P; V)$ 是线性变换，其维数是多少？
对于 $f_k \in V_k^*$，定义：
$$
f_1 \otimes \cdots \otimes f_p(v_1, \cdots, v_p) = f_1(v_1) \cdot \cdots \cdot f_p(v_p), \forall v_1 \in V_1, \cdots, v_p \in V_p \\
V_1 \times \cdots \times V_p \to \mathbb{C}
$$
是多线性变换。
$$
f_1 \otimes \cdots \otimes f_p \in \mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; \mathbb{C})
$$
性质 1
令 $V, W$ 为向量空间，$\tilde{v}_1, \cdots, \tilde{v}_m$ 为 $V^*$ 的基，$\tilde{w}_1, \cdots, \tilde{w}_n$ 为 $W^*$ 的基，那么：
$$
\{\tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j\}_{i, j}
$$
是 $\mathcal{L}(V, W; \mathbb{C})$ 的一组基。
证明：
$\forall F \in L(V, W; \mathbb{C})$，$(v_1, \cdots, v_m) \subseteq V$ 为 $(\tilde{v}_1, \cdots, \tilde{v}_m)$ 的对偶基，$(w_1, \cdots, w_n)$ 为 $(\tilde{w}_1, \cdots, \tilde{w}_n)$ 的对偶基。
那么：
$$
G = \sum_{i, j} \alpha_{ij} \tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j \in \mathcal{L}(V, W; \mathbb{C}) \\
F((v_i, w_j)) = \alpha_{ij} = G((v_i, w_j)) \Rightarrow F = G
$$
这说明 $\{\tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j\}_{i, j}$ 生成了 $\mathcal{L}(V, W; \mathbb{C})$。
若：
$$
\sum_{i, j} C_{ij} \tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j = 0
$$
那么：
$$
\sum_{i, j} C_{ij} \tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j((v_k, w_l)) \\
= C_{k, l} = 0 \\
\Rightarrow C_{ij} = 0, \forall i, j
$$
这说明 $\{\tilde{v}_i \otimes \tilde{w}_j\}_{i, j}$ 线性无关。
因此得证。
性质 2
令 $V_1, \cdots, V_p$ 为 $p$ 个向量空间：
$$
B_i = \{b_1^i, b_2^i, \cdots, b_{\dim V_i}^i\}
$$
是 $V_i$ 的基。
那么：
$$
\{b_{j_1}^{1*} \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^{p*}\}_{j_1, \cdots, j_p}
$$
为 $\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_P; \mathbb{C})$ 的基。
推论：
$$
\dim \mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; \mathbb{C}) = \dim V_1 \cdot \cdots \cdot \dim V_p
$$
张量积
定义
$V_1, \cdots, V_P$ 为向量空间，它们的张量积为：
$$
V_1 \otimes V_2 \cdots \otimes V_p := \mathcal{L}(V_1^*, V_2^*, \cdots, V_p^*; \mathbb{C})
$$
特别地，当 $p = 1$ 时 $V_1 = L(V_1^*; \mathbb{C}) = V_1^{**}$。（典范同构）
$v_1 \in V_1, \cdots, v_p \in V_p$，那么：
$$
v_1 \otimes \cdots \otimes v_p \in V_1 \otimes \cdots \otimes V_p
$$
可知：
$$
\dim (V_1 \otimes \cdots \otimes V_p) = \dim V_1 \cdot \cdots \cdot \dim V_p
$$
注：任意 $t \in V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$ 可以写成：
$$
c_1 v_1^1 \otimes \cdots \otimes v_p^1 + \cdots + c_r v_1^r \otimes \cdots \otimes v_p^r
$$
并不是都能写成以下形式：
$$
v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_p
$$
张量的泛性质
对于任意多线性映射 $F \in \mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; V)$，存在唯一线性变换：
$$
T : V_1 \otimes \cdots \otimes V_p \to V
$$
满足：
$$
F(v_1, \cdots, v_p) = T(v_1 \otimes \cdots \otimes v_p), \forall v_k \in V_k, k = 1, \cdots, p
$$
证明：
唯一性易得。
存在性考虑：
$$
\{b_{j_1}^1 \otimes b_{j_2}^2 \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^p \}_{j_1, \cdots, j_p}
$$
为 $V_1 \otimes \cdots \otimes V_p$ 的一组基。
定义：
$$
T : V_1 \otimes \cdots \otimes V_p \to V \\
b_{j_1}^1 \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^p \mapsto F(b_{j_1}^1, \cdots, b_{j_p}^p)
$$
$T$ 满足对于任意 $v_1, \cdots, v_p$：
$$
v_k = \sum_{j_k} \alpha_{j_k}^k b_{j_k}^k, k = 1, \cdots, p
$$
有：
$$
T(v_1 \otimes \cdots \otimes v_p) = \sum_{j_1, \cdots, j_p} \alpha_{j_1}^1 \cdots \alpha_{j_p}^p T(b_{j_1}^1 \otimes \cdots \otimes b_{j_p}^p)
$$
那么：
$$
F(v_1, \cdots, v_p) = \sum_{j_1, \cdots, j_p} \alpha_{j_1}^1 \cdots \alpha_{j_p}^p F(b_{j_1}^1, \cdots, b_{j_p}^p)
$$
成立。
推论：
$$
\mathcal{L}(V_1, \cdots, V_p; V) = \mathcal{L}(V_1 \otimes \cdots \otimes V_p; V) \\
F \mapsto T
$$
性质
存在一个典范的同构：
$$
T :V^* \otimes W \to \mathcal{L}(V; W)
$$
证明：
$$
F : V^* \times W \to \mathcal{L}(V; W) \\
(l, w) \mapsto \{v \mapsto l(v) \cdot w\}
$$
容易证明其为多线性的。
根据张量积的泛性质即可得到对应线性变换 $T$。
$\mathcal{L}(V, W)$ 可以由 $\{v \mapsto l(v) \cdot w\}_{v \in V, w \in W}$ 生成 $\Rightarrow T$ 是满射。
维数相同 $\Rightarrow T$ 是同构。
取 $W = V$，可得：
$$
V^* \times V \to C \\
(l, v) \mapsto l(v)
$$
是多线性映射，则由张量的泛性质得：
$$
\varepsilon : V^* \otimes V \to \mathbb{C}
$$
结合：
$$
\eta : \mathbb{C} \to \mathcal{L}(V; V) \\
c \mapsto c I_V
$$
可得：
$$
\mathbb{C} \stackrel{\eta}{\to} \mathcal{L}(V; V) \stackrel{T^{-1}}{\to} V^* \otimes V \stackrel{\varepsilon}{\to} \mathbb{C}
$$
推导得 $\varepsilon \circ T^{-1} \circ \eta(1) = \dim V$。
可以看作 $V$ 的维数的内蕴定义。
张量积的矩阵
性质
$$
T_1 : V_1 \to W_1, T_2 : V_2 \to W_2
$$
则存在 $V_1 \times V_2 \to W_1 \times W_2$ 的线性映射，$W_1 \times W_2 \to W_1 \otimes W_2$ 的多线性映射，复合可得 $V_1 \times V_2 \to W_1 \otimes W_2$ 的多线性映射，由泛性质得到 $T_1 \otimes T_2 : V_1 \otimes V_2 \to W_1 \otimes W_2$ 的映射。
或者说：
$$
T_1 \otimes T_2 : V_1 \otimes V_2 \to W_1 \otimes W_2 \\
v_1 \otimes v_2 \mapsto T_1(v_1) \otimes T_2(v_2)
$$
设 $A_1, A_2, B_1, B_2$ 分别为 $V_1, V_2, W_1, W_2$ 的一组基，则：
$$
[T_1]_{A_1, B_1} \otimes [T_2]_{A_2, B_2} = [T_1 \otimes T_2]_{A_1 \otimes A_2, B_1 \otimes B_2}
$$
其中矩阵的 $\otimes$ 是：
$$
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix},
B =
\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix} \\
A \otimes B =
\begin{pmatrix}
aB & bB \\
cB & dB
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
ae & af & be & bf \\
ag & ah & bg & bh \\
ce & cf & de & df \\
cg & ch & dg & dh
\end{pmatrix}
$$
也就是说，如果 $A_1$ 是 $m_1 \times n_1$ 矩阵，$A_2$ 是 $m_2 \times n_2$ 矩阵，则 $A_1 \otimes A_2$ 是 $m_1 m2 \times n_1 n_2$ 的矩阵：
$$
(A_1 \otimes A_2)_{(i_1, i_2), (j_1, j_2)} = (A_1)_{i_1, j_1} (A_2)_{i_2, j_2}
$$
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