
复变函数引论笔记(4)——级数
Chapter 4. 级数
1. 复数项级数
1.1. 极限定义
定义:
给定序列 {zn},假设 ∃A∈C 使得对 ∀ 给定的 ϵ>0,∃N=N(ε) 当 n>N(ε) 时有 |zn–A|<ε,则称当 n→∞ 时,zm 以 A 为极限。记作: limn→∞zn=A
limn→∞zn=A=α+iβ⇔{limn→∞xn=αlimn→∞yn=β
当然也容易得到极限的四则运算法则。
1.2. 级数
I=∞∑n=1zn
部分和:
Sn=n∑k=1zk
定义:
- 若 limn→∞Sn=S∈C,则称 I 是收敛的(C.V.),否则称 I 是发散的(D.V.)。
- 若 ∞∑n=1|zn| C.V.,称 I 是绝对收敛(A.C.)。
- 若 I C.V. 但非 A.C.,称 I 是条件收敛的(C.C.)。
定理:
I 收敛等价于实部虚部均收敛。
I 绝对收敛等价于实部虚部均绝对收敛。
I 绝对收敛则可推出 I 收敛。
1.3. 敛散性判别法
Cauchy 根式判别法:
- n√|zn|≤q<1,n>N0⇒IA.C.
- n√zn≥q≥1 对无穷多项成立 ⇒ID.V.
- limn→∞n√|zn|=q,q<1⇒IA.C.,q>1⇒ID.V.,q=1⇒ 不定
D’Alembert 判别法:
- |zn+1zn|≤q<1,n>N0⇒IA.C.
- |zn+1zn|≥q≥1,n>N0⇒ID.V.
- limn→∞|zn+1zn|=q,q<1⇒IA.C.,q>1⇒ID.V.,q=1⇒ 不定
I=∞∑n=1anbn
Dirichlet 判别法:
设 {an},{bn} 满足:
- an 单调趋于 0;
- {bn} 部分和有界。
则 IC.V.。
Abel 判别法:
设 {an},{bn} 满足:
- an 单调有界;
- ∞∑n=1bnC.V.。
则 IC.V.。
2. 幂级数
2.1. (复变)函数项级数
复变项序列 {fn(z}∞n=1,fn(z) 定义于 D:
∞∑n=1fn(z)
称为函数项级数。
部分和:
Sn(z)=n∑k=1fk(z)
对于 z0∈D,若:
limn→∞Sn(z0)
存在极限,则称:
∞∑n=1fn(z)
在 z0C.V.。
若:
∞∑n=1fn(z)
在 ∀z∈D 处 C.V.,则称其为 D 上的收敛级数。
收敛和函数:
S(z)=limn→∞Sn(z)=∞∑n=1fn(z)
2.2. 幂级数
形如:
I=∞∑n=0Cn(z–a)n
或者说:
I=∞∑n=0Cnzn
Abel 定理:
设:
I=∞∑n=0Cnzn
- 若 I 在 z0≠0C.V.,则对 ∀z:|z|<|z0|,I 在 zA.C.。
- 若 I 在 z0D.V.,则对 ∀z:|z|>|z0|,I 在 zD.V.。
证明:
∞∑n=0Cnzn=∞∑n=0Cnznn(zz0)nq=|zz0||∞∑n=0Cnzn|≤∞∑n=0|Cnzn0|qn≤∞∑n=0Mqn
其中 |Cnzn0|≤M,∀n,这是由于其极限为 0。◻
2.3. 收敛半径与收敛圆(圆周)
R△=sup{|z|:I在zC.V.}
称作 I 的收敛半径。
(换为 A.C. 的上确界或者 D.V. 的下确界也可)
定义:
CR:|z|=R(|z–a|=R)
称为 I 的收敛圆周。
DR:|z|<R(|z−a|<R)
2.4. 收敛半径求法
定理(比值法):
设 lim supn→∞|Cn+1Cn|=λ,则:
R={0λ=+∞+∞λ=01λλ≠0,+∞
定理(根值法):
设 lim supn→∞n√|Cn|=λ,则 R 如上。
2.5. 幂级数运算
f(z)=∞∑n=0anzn,|z|<R1g(z)=∞∑n=0bnzn,|z|<R2
2.6. 幂级数和函数
定理:
设:
I=∞∑n=0Cn(z–a)n
收敛半径为 R,则在 I 的收敛圆盘 DR 上:
- 它的和函数 f(z)=∞∑n=0Cn(z–a)n 解析。
f′(z) 可通过逐项求导得到:
f′(z)=[∞∑n=0Cn(z–a)n]′=∞∑n=1nCn(z–a)n–1可逐项积分:C⊆DR 为一条分段光滑曲线,则:
∫Cf(z)dz=∫C[∞∑n=0Cn(z–a)n]dz=∞∑n=0∫CCn(z–a)ndz
特别地:
∫zaf(ζ)dζ=∞∑n=0∫zaCn(ζ–a)ndζ=∞∑n=0Cnn+1(z–a)n+1
3. Taylor 级数
3.1. 实变函数
在实变函数中:
f(x)∈C∞(R),x=0:
f(x)=∞∑n=1Cnxn,|x|<δ=∞∑n=0f(n)(0)n!xn
3.2. Taylor 展开定理
设 w=f(z) 在 D 上解析,z0∈D,d=minz∈∂D|z0–z|,则对 ∀z∈Bd(z0)={z||z–z0|<d},有: f(z)=∞∑n=0Cn(z−z0)n
证明:
f(z)=12πi∮Cf(ζ)dζζ–z
其中:
1ζ–z=1ζ–z0–(z–z0)=1ζ–z011–z–z0ζ–z0=1ζ–z0∞∑n=0(z–z0ζ–z0)n=∞∑n=0(z–z0)n(ζ–z0)n+1
因此:
f(z)=12πi∮C[∞∑n=0(z–z0)n(ζ–z0)n+1f(ζ)]dζ=N–1∑n=012πi∮Cf(ζ)dζ(ζ–z)n+1(z–z0)n+Rn(z)
其中:
Rn(z)=12πi∮C[∞∑n=N(z–z0)n(ζ–z0)n+1f(ζ)]dζ
设 |f(ζ)|≤M,ζ∈C,q=|z–z0ζ–z0|<1,则: |Rn(z)|≤12π∮C[∞∑n=N|f(ζ)||ζ−z0|n+1|z−z0|n]|dζ|≤M2π∮C[∞∑n=Nqnr]ds=M∞∑n=Nqn=MqN1−qN→∞⟶0
对于:
f(z)=∞∑n=0Cnzn,|z|<R
4. 解析函数的零点
4.1. 解析函数的零点
定义:
设 w=f(z) 在 D 上解析,z0∈D,若 f(z0)=0,则称 z0 为 f(z) 的零点。
若 f(z0)=f′(z0)=⋯=f(m–1)(z0)=0 但 f(m)(z0)≠0(n≥1),则称 z0 为 f(z) 的 m 级(阶)零点。
m=1 称作简单零点。
4.2. 解析函数零点的充要条件
定理:
z0 为 f(z) 的 m 阶零点的充要条件是:∃Bδ(z0)⊆D,s.t. 在 Bδ(z0) 上:
f(z)=(z–z0)mφ(z)
其中 φ(z) 在 Bδ(z0) 上解析,且 φ(z0)≠0。
证明:
只须证明必要性:
f(z0)=⋯=f(m–1)(z0)=0,f(m)(z0)=0
则:
f(z)=∞∑n=0Cn(z–z0)n=∞∑n=0f(n)(z0)n!(z–z0)n
只须取:
φ(z)=∞∑n=0Cn+m(z–z0)n
即可。◻
4.3. 孤立零点
定义:设 z0 为 f(z) 零点且 f(z) 在某个 B∗δ(z0)(在 Bδ(z0)∖{z0})不取 0,则称 z0 为 f(z) 的孤立零点。
定理:设 w=f(z) 在 D 上解析,则 D 上的所有零点都是孤立的,除非 f(z)≡0。
引理:设 D⊆C 为一区域,Ω1,Ω2⊆D 满足:
- Ω1,Ω2 是开集。
- Ω1∩Ω2=∅。
- Ω1∪Ω2=D。
则 Ω1,Ω2 中有一个为空集。
证明:
对于 f≢0:
令 Ω1={z∈D|∃Bδ(z0)⊆D,s.t.f(z) 在 Bδ⊆D 上恒为 0},Ω2={z∈D|∃B∗δ(z0)⊆D,s.t.f(z) 在 B∗δ⊆D 上恒不为 0}。
显然两个集合都是开集,交集为空。
∀z0∈D:
f(z)=∞∑n=0Cn(z–z0)nz∈Bd(z0)
若 Cn≡0,显然 z0∈Ω1。
否则设 Cm 为第一个不为 0 的系数,则:
f(z)=(z–z0)mφ(z)(φ(z0)≠0)
可得出 z0∈Ω2。
故根据引理即得证。◻
4.4. 解析函数唯一性定理
设 f(z),g(z) 在 D 上解析,若 ∃{zn}∞n=1⊆Ds.t.:
- limn→∞zn=a∈D 且 a⊈{zn}∞n=1
- f(zn)≡g(zn),∀n≥1
则 f(z)≡g(z),∀z∈D。
考虑 f(z)–g(z) 零点的孤立性即可得到。
f(a)=g(a) 可根据连续性得到。
5. Laurent 展开式
5.1. 一般级数
形如:
I=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n=I1+I2I1=∞∑n=0Cn(z–z0)nI2=−1∑n=−∞Cn(z–z0)n
定义:若 I1,I2 均在 z 处 C.V.,则称 I 在 z C.V.。
其中:
I2=−1∑n=−∞Cn(z–z0)n=∞∑n=1C−nζn
其中 ζ=1z–z0,假设其收敛半径为 ˜r=1r。
- r<R,I 有收敛圆环域,D(z0,R,r)△={z|r<|z−z0|<R},此时 I 在 D(z0,R,r) 上有和函数。
- r≥R,I1,I2 无公共收敛区域。
定理:
I=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n
其收敛圆环域为 D(z0,R,r),则在 D(z0,R,r) 上:
- 它的和函数 f(z)=φ(z)+ψ(z) 解析。
f′(z) 可通过逐项求导得到:
f′(z)=∞∑n=−∞nCn(z–z0)n可逐项积分,∀C⊆D(z0,R,r):
∫Cf(z)dz=∞∑n=−∞Cn∫C(z–z0)ndz
5.2. Laurent 展开定理
定理:
设 w=f(z) 在圆环域 D(z0,R,r) 上解析,则对 ∀z∈D(z0,R,r) 有:
f(z)=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n
其中:
Cn=12πi∮Cf(ζ)dζ(ζ–z0)n+1(∀n∈Z)
C⊆D(z0,R,r) 为一条环绕 z0 的 Jordan 闭曲线,且上述展开式是唯一确定的,称作 Laurent 展开式(级数)。
合理性可类比 Taylor 展开,唯一性可用反证法。
5.3. Laurent 展开式应用
Cn=12πi∮Cf(z)dz(z–z0)n+1C−1=12πi∮Cf(z)dz
No Comments