
复变函数引论笔记(5)——留数
Chapter 5. 留数
1. 孤立奇点
定义:
设 z0 为 f(z) 奇点且在某个 B∗δ(z0) 内解析,则称 z0 为 f(z) 的孤立奇点。
1.1. 孤立奇点分类
假设在孤立奇点 z0 邻域内:
f(z)=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n,0<|z−z0|<δ
- z0 为可去奇点,若 Laurent 展式中不含负幂项:
⇒f(z)=∞∑n=0Cn(z–z0)n,z∈B∗δ(z0)limz→z0f(z)=C0
若补充 f(z0)=C0,则 z0 为 f(z) 解析点。 z0 为 m 阶(级)极点,若 Laurent 展式中只含有限个负幂项且最高负幂项为 C−m(z–z0)m(m≥1,C−m≠0):
f(z)=∞∑n=−mCn(z–z0)n=1(z–z0)m[C−m+C−m+1(z–z0)+⋯+C0(z–z0)m+⋯]=g(z)(z–z0)mg(z)=∞∑n=0Cn–m(z–z0)n,z∈Bδ(z0)g(z0)=C−m≠0z0 为本性奇点,若 Laurent 展式中有无穷个负幂项:
f(z)=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n,z∈B∗δ(z0)
有以下判定定理。
定理:
设 z0 为 f(z) 的孤立奇点,则下列三条等价:
- z0 为可去奇点。
- limz→z0f(z)=A∈C。
- f(z) 在某个 B∗δ(z0) 内有界。
证明:
只考虑 3 推出 1:
f(z)=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n,z∈B∗δ(z0)Cn=12πi∮Crf(z)dz(z–z0)n+1|Cn|≤12π∮Cr|f(z)||dz||z–z0|n+1≤12π∮CrMdsrn+1=1rnr→0+⟶0⇒Cn=0,∀n≤−1
因此可得出其为可去奇点。◻
定理:
设 z0 为 f(z) 的孤立奇点,则下列四条等价:
- z0 为 m 级奇点。
- f(z)=g(z)(z–z0)m,在 B∗δ(z0) 内,g(z) 在 B∗δ(z0) 内解析,且 g(z0)≠0。
- limz→z0(z–z0)mf(z)=A∈C,且 A≠0。
- z0 为 1f(z) 的 m 级零点(可去意义下)。
证明:
只考虑 3 推出 4:
limz→z0(z–z0)mf(z)=A≠0
令 g(z)=(z–z0)mf(z),则 z0 为 g(z) 的可去奇点:
g(z0)=A≠0⇒1f(z)=(z–z0)m1g(z)=(z–z0)mφ(z),φ(z)=1g(z),φ(z0)=1g(z0)≠0
故可得 4。◻
WeierStrass 定理:
设 z0 为 f(z) 的本性奇点,则对 ∀A∈¯C,都 ∃{zn}⊆B∗δ(z0)s.t.:
- limn→∞zn=z0。
- limn→∞f(zn)=A。
Picard 大定理:
设 z0 为 f(z) 的本性奇点,则对 ∀ 给定的 A∈C(除去最多一个例外值 A0),都 ∃{zn}⊆B∗δ(z0)s.t.:
- limn→∞zn=z0。
- f(zn)=A,∀n≥1。
1.2. ∞ 作为奇点
定义:
若 f(z) 在 ∞ 的某个邻域内 R<|z|<+∞ 内解析,称 ∞ 为 f(z) 的孤立奇点。 f(z)=∞∑n=−∞Cnzn,R<|z|<+∞φ(ζ)=f(1ζ)=∞∑n=−∞C−nζn
∞ 为 f(z) 的可去/m 级极点/本性奇点,若 ζ=0 为 φ(ζ) 的对应奇点。
定理:
z0∈¯C 为 f(z):
- 可去奇点 ⇔limz→z0f(z)=A∈C。
- 极点 ⇔limz→z0f(z)=∞。
- 本性奇点 ⇔limz→z0f(z) 不存在也不是 ∞。
2. 留数
2.1 留数定义
z0 为 f(z) 的孤立奇点:
f(z)=∞∑n=−∞Cn(z–z0)n,z∈B∗δ(z0)2πiC−1=∮Cf(z)dz
定义:
C−1△=Res[f(z),z0]
定义为 f(z) 在孤立奇点 z0 处的留数。
留数定理:
设 w=f(z) 在单连通区域 D 上除去有限个孤立奇点 z1,⋯,zn 外是解析的,C⊆D 是一条环绕诸奇点在内的 Jordan 闭曲线,则:
∮Cf(z)dz=2πin∑k=1Res[f(z),zk]
2.2. 留数的计算规则
- 若 z0 为可去奇点,则 Res[f(z),z0]=0。
设 z0 为 f(z) 的 m(≥1) 级极点:
f(z)=C−m(z–z0)m+⋯+C−1z–z0+⋯(z–z0)kf(z)=C−m(z–z0)k–m+⋯+C−1(z–z0)k–1+C0(z–z0)k+⋯(k≥m)⇒limz→z0dk–1[(z–z0)kf(z)]dzk–1=(k–1)!C−1⇒Res[f(z),z0]=1(k–1)!limz→z0[(z–z0)kf(z)](k–1)(∀k≥m)当 z0 为简单极点,则:
Res[f(z),z0]=limz→z0(z–z0)f(z)
设 f(z)=P(z)Q(z),其中 P(z),Q(z) 在 z0 解析,P(z0)≠0,Q(z0)=0 但 Q′(z0)≠0,则 z0 为 f(z) 的简单极点,且:
Res[f(z),z0]=P(z0)Q′(z0)
2.3. ∞ 点的留数
f(z)=∞∑n=−∞Cnzn,R<|z|<+∞
Res[f(z),∞]=−C−1
全留数定理:
设 w=f(z) 在 ¯C 上除去有限个孤立奇点(包括 ∞)z1,⋯,zn 外解析,则 f(z) 在诸奇点处留数和为 0。
对于 ∞ 处的留数计算,我们有:
Res[f(z),∞]=−Res[f(1z)⋅1z2,0]
3. 留数在定积分中应用
3.1. 三角函数相关
形如:
I=∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ
R=R(x,y) 是关于 x,y 的二元有理函数。
可以化简得:
I=∮|z|=1R(z2+12z,z2–12iz)dziz
其中:
f(z)=R(z2+12z,z2–12iz)1iz
要求 f(z) 在 |z|=1 上无极点,f(z) 是有理函数。
故:
I=2πi∑kRes[f(z),zk]
{zk} 是 f(z) 在 |z|<1 内极点集。
3.2. 无穷积分相关
形如:
I=∫+∞−∞R(x)dx
其中:
R=R(z)=Pn(z)Qm(z)
是有理函数,且 m–n≥2,R(z) 在 R 上无极点。
则:
I=2πi∑Imzk>0Res[R(z),zk]=−2πi∑Imzk<0Res[R(z),zk]
3.3. 无穷积分及 exp 相关
形如:
I=∫+∞−∞R(x)eaixdx(a>0)
其中:
R=R(z)=Pn(z)Qm(z)
是有理函数,且 m–n≥1,R(z) 在 R 上无极点。
则:
Ia>0=2πi∑Imzk>0Res[R(z)eaiz,zk]Ia<0=−2πi∑Imzk<0Res[R(z)eaiz,zk]
No Comments