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数学分析笔记——流形上的微积分(1)

数学分析笔记——流形上的微积分(1)

定义1M 是一个拓扑空间, 并且是 Hausdorff 空间, {Uα}M 的开覆盖. 如果对每一个开集 Uα , 联系着一个映射 φα:UαVα , Vαn 维 Euclid 空间中的一个非空开集, 并且 φα 是同胚映射, 即 UαVα 同胚, 就称 M 是一个 n流形.

从流形的定义中可使我们知道两件事:

(1) M 虽然不是 Euclid 空间, 但是它可以”局部 Euclid 空间化”, M 的每一个局部 Uα 都和 Rn 中的一个开集 Vα 同胚, 从拓扑学观点看, UαVα 相同.

(2) M 内的点并没有坐标, 但可以安装”局部坐标”, 由于 UαVα 同胚, 它们的点一一对应. 设点 pUα , 通过同胚映射 φα , 点 p 映射成 Vα 中的点 x , 设 x=(x1,x2,,xn) , 就把 (x1,x2,,xn) 看成点 p局部坐标 , 并用 (x1,x2,,xn) 来表示点 p .

从直观上概括地说: 所谓 n 维流形就是可以局部( n 维) Euclid 空间化的一个拓朴空间, 其中的点可以安装局部坐标.

n 维流形上加上”微分结构”就成为微分流形.

定义2M 是一个 n 维流形, 这表明 M 有一个开覆盖 {Uα} , 并且每一个 Uα 联系着一个映射 φα:UαVα , φα 是同胚映射. 如果 UαUβ 都在 {Uα} 内, 并且 UαVβ , 设 pUαVβ , 在 φα 的作用下将点 p 映射成 x=(x1,x2,,xn) , 在 φβ 的作用下将点 p 映射成 y=(y1,y2,,yn) .

同一个点 p , 既可以用坐标 x=(x1,x2,,xn) 表示, 又可以用坐标 y=(y1,y2,,yn) 表示, 于是这两个坐标之间有一个坐标变换式, 即
φβφ1α:φα(UαUβ)φβ(UαUβ)x=(x1,x2,,xn)y=(y1,y2,,yn),


映射 φβφ1α 是从 φα(UαUβ)φβ(UαUβ) 的双射, 并且又是 n 维 Euclid 空间内的映射. 如果它可微并且它的逆映射也可微, 就称 Mn微分流形, 又称 Uα坐标邻域, φα坐标映射, (Uα,φα)坐标图, {(Uα,φα)}坐标图册.

如果 M 是一个 n 维微分流形, 对一切 UαUβαβ , 可微映射 φβφ1αCk(1k) , 就称 MnCk 流形.

在欧几里得空间中, 对微分流形的陈述可以更直观和更容易掌握.

定义3MRn , {Uα}Rn 中的一族开集, 覆盖了 M , 如果对每一个 Uα , 联系着一个同胚映射 φα 和开集 VαRn , 满足

(1) φα:UαVα , 又若 φαφ1α 都连续可微 (这时称 φα微分同胚) .

(2)
φα:UαMVα{(y1,,yn)Rn:yk+1=yk+2==yn=0}x=(x1,,xn)(y1,,yk,0,,0).


就称 Mk微分流形, UαMM坐标邻域, (y1,,yk)Rk 是点 xM局部坐标. 又如果 φαφ1α 都属于 Cm(1m) , 则称 MkCm 流形.

显然, Rn 中的任何一个开集必定是 nC 流形.

定理1f:RnR , fRn 连续可微, 令 M={xRn:f(x)=0}. 又设 f 的导数 DfM 内无零点, 即 1×n 矩阵 (fx1fxn) 在点 xM 处的秩是 1 , 则 Mn1 维微分流形.

证明x0M 内任意一点, 不妨假定 fxn(x0)0 , 作映射
φ:RnRn,x=(x1,,xn)y=(y1,,yn),


其中 yi=xi,1in1,yn=f(x1,,xn).

由逆映射定理, 存在 x0 的开集 U 和含有 y0=f(x0) 的开集 V , 使得 φ:UV 是双射, 并且存在连续可微的逆映射 φ1:VU.

此外, 当 xM 时, yn=f(x)=0 , 所以
φ:UMV{(y1,,yn):yn=0}.


这就证明了 Mn1 维微分流形. 证毕.

微分流形上的坐标变换有下面的性质:

性质Mn 维微分流形, {(Uα,φα)} 是坐标图册, 当 UαUβ 时, 有
detD(φβφ1α)=(y1,,yn)(x1,,xn)0,(x1,,xn)φα(UαUβ).


即微分流形上的坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式无零点.

证明 因为 (φαφ1β)(φβφ1α) 是从 φα(UαUβ) 到自身的恒等映射, 所以
(y1,,yn)(x1,,xn)(x1,,xn)(y1,,yn)=1.


由此即得 detD(φβφ1α)0. 证毕.

 

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