
数学分析笔记——流形上的微积分(1)
定义1 设 M 是一个拓扑空间, 并且是 Hausdorff 空间, {Uα} 是 M 的开覆盖. 如果对每一个开集 Uα , 联系着一个映射 φα:Uα→Vα , Vα 是 n 维 Euclid 空间中的一个非空开集, 并且 φα 是同胚映射, 即 Uα 和 Vα 同胚, 就称 M 是一个 n 维流形.
从流形的定义中可使我们知道两件事:
(1) M 虽然不是 Euclid 空间, 但是它可以”局部 Euclid 空间化”, M 的每一个局部 Uα 都和 Rn 中的一个开集 Vα 同胚, 从拓扑学观点看, Uα 和 Vα 相同.
(2) M 内的点并没有坐标, 但可以安装”局部坐标”, 由于 Uα 和 Vα 同胚, 它们的点一一对应. 设点 p∈Uα , 通过同胚映射 φα , 点 p 映射成 Vα 中的点 x , 设 x=(x1,x2,⋯,xn) , 就把 (x1,x2,⋯,xn) 看成点 p 的局部坐标 , 并用 (x1,x2,⋯,xn) 来表示点 p .
从直观上概括地说: 所谓 n 维流形就是可以局部( n 维) Euclid 空间化的一个拓朴空间, 其中的点可以安装局部坐标.
在 n 维流形上加上”微分结构”就成为微分流形.
定义2 设 M 是一个 n 维流形, 这表明 M 有一个开覆盖 {Uα} , 并且每一个 Uα 联系着一个映射 φα:Uα→Vα , φα 是同胚映射. 如果 Uα 和 Uβ 都在 {Uα} 内, 并且 Uα∩Vβ≠∅ , 设 p∈Uα∩Vβ , 在 φα 的作用下将点 p 映射成 x=(x1,x2,⋯,xn) , 在 φβ 的作用下将点 p 映射成 y=(y1,y2,⋯,yn) .
同一个点 p , 既可以用坐标 x=(x1,x2,⋯,xn) 表示, 又可以用坐标 y=(y1,y2,⋯,yn) 表示, 于是这两个坐标之间有一个坐标变换式, 即
φβ∘φ−1α:φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ)x=(x1,x2,⋯,xn)↦y=(y1,y2,⋯,yn),
映射 φβ∘φ−1α 是从 φα(Uα∩Uβ) 到 φβ(Uα∩Uβ) 的双射, 并且又是 n 维 Euclid 空间内的映射. 如果它可微并且它的逆映射也可微, 就称 M 是 n 维微分流形, 又称 Uα 是坐标邻域, φα 是坐标映射, (Uα,φα) 是坐标图, {(Uα,φα)} 是坐标图册.
如果 M 是一个 n 维微分流形, 对一切 Uα∩Uβ≠∅ 的 α 和 β , 可微映射 φβ∘φ−1α∈Ck(1≤k≤∞) , 就称 M 是 n 维 Ck 流形.
在欧几里得空间中, 对微分流形的陈述可以更直观和更容易掌握.
定义3 设 M⊂Rn , {Uα} 是 Rn 中的一族开集, 覆盖了 M , 如果对每一个 Uα , 联系着一个同胚映射 φα 和开集 Vα⊂Rn , 满足
(1) φα:Uα→Vα , 又若 φα 和 φ−1α 都连续可微 (这时称 φα 是微分同胚) .
(2)
φα:Uα∩M→Vα∩{(y1,⋯,yn)∈Rn:yk+1=yk+2=⋯=yn=0}x=(x1,⋯,xn)↦(y1,⋯,yk,0,⋯,0).
就称 M 是 k 维微分流形, Uα∩M 是 M 的坐标邻域, (y1,⋯,yk)∈Rk 是点 x∈M 的局部坐标. 又如果 φα 和 φ−1α 都属于 Cm(1≤m≤∞) , 则称 M 是 k 维 Cm 流形.
显然, Rn 中的任何一个开集必定是 n 维 C∞ 流形.
定理1 设 f:Rn→R , f 在 Rn 连续可微, 令 M={x∈Rn:f(x)=0}. 又设 f 的导数 Df 在 M 内无零点, 即 1×n 矩阵 (∂f∂x1⋯∂f∂xn) 在点 x∈M 处的秩是 1 , 则 M 是 n−1 维微分流形.
证明 设 x0 是 M 内任意一点, 不妨假定 ∂f∂xn(x0)≠0 , 作映射
φ:Rn→Rn,x=(x1,⋯,xn)↦y=(y1,⋯,yn),
其中 yi=xi,1≤i≤n−1,yn=f(x1,⋯,xn).
由逆映射定理, 存在 x0 的开集 U 和含有 y0=f(x0) 的开集 V , 使得 φ:U→V 是双射, 并且存在连续可微的逆映射 φ−1:V→U.
此外, 当 x∈M 时, yn=f(x)=0 , 所以
φ:U∩M→V∩{(y1,⋯,yn):yn=0}.
这就证明了 M 是 n−1 维微分流形. 证毕.
微分流形上的坐标变换有下面的性质:
性质 设 M 是 n 维微分流形, {(Uα,φα)} 是坐标图册, 当 Uα∩Uβ≠∅ 时, 有
detD(φβ∘φ−1α)=∂(y1,⋯,yn)∂(x1,⋯,xn)≠0,(x1,⋯,xn)∈φα(Uα∩Uβ).
即微分流形上的坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式无零点.
证明 因为 (φα∘φ−1β)∘(φβ∘φ−1α) 是从 φα(Uα∩Uβ) 到自身的恒等映射, 所以
∂(y1,⋯,yn)∂(x1,⋯,xn)⋅∂(x1,⋯,xn)∂(y1,⋯,yn)=1.
由此即得 detD(φβ∘φ−1α)≠0. 证毕.
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