数学分析笔记——流形上的微积分（1）

MatrixBi
2020年3月15日

数学分析笔记——流形上的微积分（1）

定义1 设 $M$ 是一个拓扑空间, 并且是 Hausdorff 空间, $\{U_\alpha\}$ 是 $M$ 的开覆盖. 如果对每一个开集 $U_\alpha$ , 联系着一个映射 $\varphi_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha$ , $V_\alpha$ 是 $n$ 维 Euclid 空间中的一个非空开集, 并且 $\varphi_\alpha$ 是同胚映射, 即 $U_\alpha$ 和 $V_\alpha$ 同胚, 就称 $M$ 是一个 $n$ 维流形.

从流形的定义中可使我们知道两件事:

$(1)$ $M$ 虽然不是 Euclid 空间, 但是它可以"局部 Euclid 空间化", $M$ 的每一个局部 $U_\alpha$ 都和 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集 $V_\alpha$ 同胚, 从拓扑学观点看, $U_\alpha$ 和 $V_\alpha$ 相同.

$(2)$ $M$ 内的点并没有坐标, 但可以安装"局部坐标", 由于 $U_\alpha$ 和 $V_\alpha$ 同胚, 它们的点一一对应. 设点 $p\in U_\alpha$ , 通过同胚映射 $\varphi_\alpha$ , 点 $p$ 映射成 $V_\alpha$ 中的点 $x$ , 设 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ , 就把 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 看成点 $p$ 的局部坐标 , 并用 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 来表示点 $p$ .

从直观上概括地说: 所谓 $n$ 维流形就是可以局部( $n$ 维) Euclid 空间化的一个拓朴空间, 其中的点可以安装局部坐标.

在 $n$ 维流形上加上"微分结构"就成为微分流形.

定义2 设 $M$ 是一个 $n$ 维流形, 这表明 $M$ 有一个开覆盖 $\{U_\alpha\}$ , 并且每一个 $U_\alpha$ 联系着一个映射 $\varphi_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha$ , $\varphi_\alpha$ 是同胚映射. 如果 $U_\alpha$ 和 $U_\beta$ 都在 $\{U_\alpha\}$ 内, 并且 $U_\alpha\cap V_\beta\not=\varnothing$ , 设 $p\in U_\alpha\cap V_\beta$ , 在 $\varphi_\alpha$ 的作用下将点 $p$ 映射成 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ , 在 $\varphi_\beta$ 的作用下将点 $p$ 映射成 $y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ .

同一个点 $p$ , 既可以用坐标 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 表示, 又可以用坐标 $y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 表示, 于是这两个坐标之间有一个坐标变换式, 即
$$
\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U\alpha\cap U_\beta)\\
x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\mapsto y=(y_1,y_2,\cdots,y_n),
$$
映射 $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ 是从 $\varphi_\alpha(U\alpha\cap U_\beta)$ 到 $\varphi_\beta(U\alpha\cap U_\beta)$ 的双射, 并且又是 $n$ 维 Euclid 空间内的映射. 如果它可微并且它的逆映射也可微, 就称 $M$ 是 $n$ 维微分流形, 又称 $U_\alpha$ 是坐标邻域, $\varphi_\alpha$ 是坐标映射, $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 是坐标图, $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 是坐标图册.

如果 $M$ 是一个 $n$ 维微分流形, 对一切 $U_\alpha\cap U_\beta\not=\varnothing$ 的 $\alpha$ 和 $\beta$ , 可微映射 $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\in C^k(1\leq k\leq\infty)$ , 就称 $M$ 是 $n$ 维 $C^k$ 流形.

在欧几里得空间中, 对微分流形的陈述可以更直观和更容易掌握.

定义3 设 $M\subset\mathbb{R}^n$ , $\{U_\alpha\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一族开集, 覆盖了 $M$ , 如果对每一个 $U_\alpha$ , 联系着一个同胚映射 $\varphi_\alpha$ 和开集 $V_\alpha\subset\mathbb{R}^n$ , 满足

$(1)$ $\varphi_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha$ , 又若 $\varphi_\alpha$ 和 $\varphi_\alpha^{-1}$ 都连续可微 (这时称 $\varphi_\alpha$ 是微分同胚) .

$(2)$
$$
\varphi_\alpha:U_\alpha\cap M\to V_\alpha\cap\{(y_1,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n:y_{k+1}=y_{k+2}=\cdots=y_n=0\}\\x=(x_1,\cdots,x_n)\mapsto(y_1,\cdots,y_k,0,\cdots,0).
$$
就称 $M$ 是 $k$ 维微分流形, $U_\alpha\cap M$ 是 $M$ 的坐标邻域, $(y_1,\cdots,y_k)\in\mathbb{R}^k$ 是点 $x\in M$ 的局部坐标. 又如果 $\varphi_\alpha$ 和 $\varphi_\alpha^{-1}$ 都属于 $C^m(1\leq m\leq\infty)$ , 则称 $M$ 是 $k$ 维 $C^m$ 流形.

显然, $\mathbb{R}^n$ 中的任何一个开集必定是 $n$ 维 $C^{\infty}$ 流形.

定理1 设 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 连续可微, 令 $M=\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)=0\}.$ 又设 $f$ 的导数 $Df$ 在 $M$ 内无零点, 即 $1\times n$ 矩阵 $\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}$ 在点 $x\in M$ 处的秩是 $1$ , 则 $M$ 是 $n-1$ 维微分流形.

证明 设 $x_0$ 是 $M$ 内任意一点, 不妨假定 $\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0)\not=0$ , 作映射
$$
\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\quad x=(x_1,\cdots,x_n)\mapsto y=(y_1,\cdots,y_n),
$$
其中 $y_i=x_i,1\leq i\leq n-1,y_n=f(x_1,\cdots,x_n).$

由逆映射定理, 存在 $x_0$ 的开集 $U$ 和含有 $y_0=f(x_0)$ 的开集 $V$ , 使得 $\varphi:U\to V$ 是双射, 并且存在连续可微的逆映射 $\varphi^{-1}:V\to U.$

此外, 当 $x\in M$ 时, $y_n=f(x)=0$ , 所以
$$
\varphi:U\cap M\to V\cap\{(y_1,\cdots,y_n):y_n=0\}.
$$
这就证明了 $M$ 是 $n-1$ 维微分流形. 证毕.

微分流形上的坐标变换有下面的性质:

性质 设 $M$ 是 $n$ 维微分流形, $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ 是坐标图册, 当 $U_\alpha\cap U_\beta\not=\varnothing$ 时, 有
$$
\det D(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})=\frac{\partial (y_1,\cdots,y_n)}{\partial (x_1,\cdots,x_n)}\not=0,\\(x_1,\cdots,x_n)\in\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta).
$$
即微分流形上的坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式无零点.

证明 因为 $(\varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1})\circ(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})$ 是从 $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ 到自身的恒等映射, 所以
$$
\frac{\partial (y_1,\cdots,y_n)}{\partial (x_1,\cdots,x_n)}\cdot\frac{\partial (x_1,\cdots,x_n)}{\partial (y_1,\cdots,y_n)}=1.
$$
由此即得 $\det D(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})\not=0.$ 证毕.

 数学分析 笔记