高等代数笔记——矩阵的广义逆

MatrixBi
2020年3月24日

高等代数笔记——矩阵的广义逆

大家知道, 逆矩阵只对方阵有定义, 而且即便是方阵, 也不是每个方阵都可逆. 本节的目的是推广逆矩阵概念为广义逆, 使得每个矩阵都有广义逆.

设给定 $A\in F^{m\times n}$, 未知矩阵 $X=(x_{ij})\in F^{n\times m}$, 其中 $x_{ij},1\leq i\leq n,\leq j\leq m$ 是未知的. 考虑矩阵方程
$$
AXA=A\tag{1}
$$
的解.

定理 1 矩阵方程 $(1)$ 恒有解. 具体地说, 设
$$
\text{rank}A=r,
$$
而且
$$
A=P\begin{pmatrix}
I_{(r)}&O\\
O&O
\end{pmatrix}_{m\times n}Q,\tag{2}
$$
其中 $P$ 和 $Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵, 并且是取定的. 则矩阵方程 $(1)$ 的通解为
$$
X=Q^{-1}\begin{pmatrix}
I_{(r)}&B\\
C&D
\end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1},\tag{3}
$$
其中 $B\in F^{r\times (m-r)},C\in F^{(n-r)\times r}$ 和 $D\in F^{(n-r)\times (m-r)}$ 是任意的.

应当指出, 当 $A$ 为可逆方阵时, 矩阵方程 $(1)$ 的解显然是 $X=A^{-1}$. 于是引出如下的定义.

定义1 矩阵方程 $AXA=A$ 的解 $X$ 称为矩阵 $A$ 的广义逆, 记为 $A^-$.

矩阵的广义逆不只是上面所说的一种类型, 还有许多其它类型的广义逆. 除上面的 $A^-$ 外, 复矩阵的 Moore-Penrose 广义逆也是经常遇到的.

考虑复数域上的矩阵方程组
$$
{(\text{I})}
\begin{cases}
AXA=A,&&\text{(P1)}\\
XAX=X,&&\text{(P2)}\\
(AX)^*=AX,&&\text{(P3)}\\
(XA)^*=XA,&\ \ \ \ \ &\text{(P4)}\\
\end{cases}
$$

其中 $m\times n$ 矩阵 $A$ 是给定的, $n\times m$ 矩阵 $X$ 是未知的. 方程组 ${(\text{I})}$ 称为 Penrose 方程组.

定理2 对任意给定的 $m\times n$ 矩阵 $A$, Penrose 方程组 ${(\text{I})}$ 总有解, 而且它的解唯一. 具体地说, 设矩阵 $A=BC$, 其中 $B$ 和 $C$ 分别是列满秩和行满秩矩阵, 则 Penrose 方程组 ${(\text{I})}$ 的唯一解为
$$
X=C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*.\tag{4}
$$
证明 把式 $(4)$ 代入 Penrose 方程组 ${(\text{I})}$ 的每个方程, 可验证 $X$ 为其解. 下面证明解的唯一性.
设矩阵 $X_1$ 和 $X_2$ 都是 Penrose 方程组 ${(\text{I})}$ 的解.
由方程 $\text{(P2)}$, $X_1=X_1AX_1$.
由方程 $\text{(P1)}$, $X_1=X_1AX_2AX_1$.
由方程 $\text{(P3)}$, $X_1=X_1(AX_2)^*(AX_1)^*=X_1(AX_1AX_2)^*$.
由方程 $\text{(P1)}$, $X_1=X_1(AX_2)^*$.
由方程 $\text{(P3)}$, $X_1=X_1AX_2$.
由方程 $\text{(P1)}$, $X_1=X_1AX_2AX_2$.
由方程 $\text{(P4)}$, $X_1=(X_1A)^*(X_2A)^*X_2=(X_2AX_1A)^*X_2$.
由方程 $\text{(P1)}$, $X_1=(X_2A)^*X_2$.
由方程 $\text{(P4)}$, $X_1=X_2AX_2$.
由方程 $\text{(P2)}$, $X_1=X_2$.
$$
\begin{align}X_1&\overset{\text{(P2)}}{=}X_1AX_1\overset{\text{(P1)}}{=}X_1AX_2AX_1\\&\overset{\text{(P3)}}{=}X_1(AX_2)^*(AX_1)^*=X_1(AX_1AX_2)^*\\&\overset{\text{(P1)}}{=}X_1(AX_2)^*\overset{\text{(P3)}}{=}X_1AX_2\overset{\text{(P1)}}{=}X_1AX_2AX_2\\&\overset{\text{(P4)}}{=}(X_1A)^*(X_2A)^*X_2=(X_2AX_1A)^*X_2\\&\overset{\text{(P1)}}{=}(X_2A)^*X_2\overset{\text{(P4)}}{=}X_2AX_2\overset{\text{(P2)}}{=}X_2.\end{align}
$$
这就证明了 Penrose 方程组 ${(\text{I})}$ 解的唯一性. 定理证毕.

定义2 对于 $m\times n$ 矩阵 $A$, Penrose 方程组 ${(\text{I})}$ 的解 $X$ 称为矩阵 $A$ 的 Moore-Penrose 广义逆, 记为 $A^+$.

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