整数矩阵的一个性质
定理 设 A 为 n 阶整数矩阵 (n≥3), 并且 detA=1. 那么可以将 A 表示为
A=U1L1U2L2(BOOIn−2),
其中 L1,L2 为对角线全为 1 的下三角整数矩阵, U1,U2 为对角线全为 1 的上三角整数矩阵, B 为 2 阶整数方阵.
在证明之前, 先作如下定义
Pm:={(In−mOAB):A为m×(n−m)整数矩阵,B为对角线全为1的下三角m阶整数矩阵}
Qm:={(In−mAOB):A为(n−m)×m整数矩阵,B为对角线全为1的上三角m阶整数矩阵}
Rm:={(In−mOOβ1OOOIm−1):β为1×(n−m)整数矩阵}
Sm:={(In−mαOO1OOOIm−1):α为(n−m)×1整数矩阵}
Tm:={(AOOIm):A为(n−m)阶可逆整数方阵}
注意到以下事实
Rm⊂Pm,Sm⊂Qm,Rm+1,Sm+1⊂Tm.
引理1 设 A 为 n 阶整数矩阵 (n≥3), 并且 detA=1. 那么存在 L1,L2∈R1,U1,U2∈S1, (n−1) 阶整数方阵 B 使得
L2U2L1U1A=(BOO1).
证明 我们分四步证明.
第一步, 存在 U1∈S1, 使得 A1=U1A 的第 n 列 (a′1n,a′2n,⋯,a′nn)T 满足
gcd(a′1n,a′2n,⋯,a′n−1n)=1.
第二步, 存在 L1∈R1, 使得 A2=L1A1 的第 (n,n) 元为 1.
第三步, 存在 U2∈S1, 使得 A3=U2A2 的第 n 列为 (0,0,⋯,1)T.
第四步, 存在 L2∈R1, 使得 A4=L2A3 的第 n 行为 (0,0,⋯,1).
从而
L2U2L1U1A=(BOO1).
引理2 对任意的 X∈Tm,Y∈Pm,Z∈Qm, 有 XYX−1∈Pm,XZX−1∈Qm.
证明 设
X=(AOOIm),Y=(In−mOCD),Z=(In−mEOF).
其中 A 为 (n−m) 阶可逆整数矩阵, C 为 m×(n−m) 整数矩阵, D 为对角线全为 1 的下三角 m 阶整数矩阵, E 为 (n−m)×m 整数矩阵, F 为对角线全为 1 的上三角 m 阶整数矩阵.
XYX−1=(AOOIm)(In−mOCD)(A−1OOIm)=(In−mOCA−1D)∈Pm.
XZX−1=(AOOIm)(In−mEOF)(A−1OOIm)=(In−mAEOF)∈Qm.
引理3 对于 L1,L2∈Pm,U1,U2∈Qm,L3,L4∈Rm+1,U3,U4∈Sm+1, 存在 L5,L6∈Pm+1,U5,U6∈Qm+1 使得
L4U4L3U3L2U2L1U1=L6U5L5U5.
证明 由于 L4U4L3U3,U4L3U3,L3U3,U3∈Tm, 因此
L4U4L3U3L2U2L1U1=[(L4U4L3U3)L2(L4U4L3U3)−1L4][(U4L3U3)U2(U4L3U3)−1U4][(L3U3)−1L1(L3U3)−1L3][U3U1]=L6U6L5U5.
其中
L6=(L4U4L3U3)L2(L4U4L3U3)−1L4∈Pm+1,U6=(U4L3U3)U2(U4L3U3)−1U4∈Qm+1,L5=(L3U3)−1L1(L3U3)−1L3∈Pm+1,U6=U3U1∈Qm+1.
回到原题, 现在证明定理.
证明 先归纳证明, 当 1≤m≤n−2 时, 存在 L1,L2∈Pm,U1,U2∈Qm 和 m 阶整数方阵 B 使得
L2U2L1U1A=(BOOIm).
当 m=1 时, 由引理1得证.
假设 m 时结论成立, 即存在 L1,L2∈Pm,U1,U2∈Qm 和 m 阶整数方阵 B 使得
L2U2L1U1A=(BOOIm).
由引理1, 存在 L3,L4∈Rm+1,U3,U4∈Sm+1 使得
L4U4L3U3(BOOIm)=(B1OOIm+1).
由引理2, 存在 L5,L6∈Pm+1,U5,U6∈Qm+1 使得
L6U6L5U5A=(B1OOIm+1).
故 m+1 时结论成立, 有数学归纳法知结论成立.
当 m=n−2, 即存在 L1,L2∈Pn−2,U1,U2∈Qn−2 使得
L2U2L1U1A=(BOOIn−2).
因此
A=U−11L−11U−12L−12(BOOIn−2),
其中 L−11,L−12 为对角线全为 1 的下三角整数矩阵, U−11,U−12 为对角线全为 1 的上三角整数矩阵. Q.E.D.
No Comments