电子电路与系统基础笔记(7)——时频分析

电子电路与系统基础笔记(7)——时频分析

Contents

时频分析

正弦激励

回顾

93

从二端口网络视角看分压

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二端口网络

二端口网络是电路中最常见的网络。

  • 单入单出信号处理系统的基本模型。
  • 一个输入端口,一个输出端口:激励信号或能量自输入端口进入,经二端口网络处理后自输出端口输出,形成对后级的激励。
  • 不做特别说明时,一般默认端口 $1$ 为输入端口,端口 $2$ 为输出端口。

95

线性时不变网络(LTI)的传递函数

96

对二端口网络最感兴趣的参量是传递函数:
$$
H = \frac{\overset{\cdot}{S}_{out}}{\overset{\cdot}{S}_in}
$$
一般是相量域定义的传递函数。

从放大器角度称传递函数为增益(或放大倍数)。

97

RC 分压网络的电压传递函数

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传递函数的幅频特性和相频特性

对于电容分压:
$$
A(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \\
\varphi(\omega) = - \arctan \omega RC
$$
99

其中 $\omega_0 = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{1}{RC}$。

100

对于电阻分压:
$$
A(\omega) = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \\
\varphi(\omega) = \frac{\pi}{2} - \arctan \omega RC
$$
101

其中 $\omega_0 = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{1}{RC}$。

102

RC 分压网络:一阶低通/高通滤波器

103

RL 分压网络:一阶低通/高通滤波器

104

传递函数的定义

没有信源内阻负载电阻的情况:

采用一般性定义:本征电压增益定义。
$$
H(\mathrm{j} \omega) = \frac{\overset{\cdot}{V}_L(\mathrm{j} \omega)}{\overset{\cdot}{V}_S(\mathrm{j} \omega)} = A_{v0} (\mathrm{j} \omega)
$$
有信源内阻和负载电阻的情况:

可采用一般性定义,也可采用基于功率传输的定义。
$$
H(\mathrm{j} \omega) = 2 \sqrt{\frac{R_S}{R_L}} \frac{\overset{\cdot}{V}_L(\mathrm{j} \omega)}{\overset{\cdot}{V}_S(\mathrm{j} \omega)} \\
|H(\mathrm{j} \omega)|^2 = 4 \frac{R_S}{R_L} \frac{\overset{\cdot}{V}_L(\mathrm{j} \omega)^2}{\overset{\cdot}{V}_S(\mathrm{j} \omega)^2} = \frac{\overset{\cdot}{V}_L(\mathrm{j} \omega) / 2R_L}{\overset{\cdot}{V}_S(\mathrm{j} \omega) / 8R_S} = \frac{P_L(\mathrm{j} \omega)}{P_{S,max}(\mathrm{j} \omega)} = G_T(\mathrm{j} \omega)
$$

电压传递函数的一般性定义

直接写答案:

判断这是一个一阶低通。

得到 $H_0$ 和 $\tau$,根据公式即得:
$$
H(\mathrm{j} \omega) = H_0 \frac{1}{1 + \mathrm{j} \omega \tau}
$$
比如下图:

105
$$
H_0 = \frac{R_L}{R_S + R_L}, \tau = RC, R = \frac{R_S R_L}{R_S + R_L}
$$
$H_0$ 代表中心频点的传递系数,根据低通高通取 $\omega = 0$ 或 $\infty$。

$\tau = RC$,$R$ 为 $C$ 看到的等效电阻(驱动电容的戴维南内阻)。

基于功率传输的传递函数

$$
H(\mathrm{j} \omega) = H_0 \frac{1}{1 + \mathrm{j} \omega \tau} \\
H_0 = \frac{2\sqrt{R_S R_L}}{R_S + R_L}, \tau = RC, R = \frac{R_S R_L}{R_S + R_L}
$$

分析可得,不同的传递函数定义不会改变通带,只改变 $H_0$。

前者是零频点分压系数,后者的平方为零频点的功率传输系数。

阶跃响应和冲激响应

106

冲激响应的傅里叶变换为传递函数

传递函数(频域响应)恰好就是冲激响应(时域响应)的傅里叶变换,传递函数和冲激响应是一对傅里叶变换对,两者对 LTI 系统的描述是不同视角的等同描述。

RC 分压——加载冲激激励

107

单位冲激响应的传递函数

108

一阶低通/高通时域特性与频域特性

109

110

冲激和阶跃

冲激信号及冲激响应的时域波形中, 不容易看清楚哪些是低频变化,哪些是高频变化,而阶跃信号及阶跃响应的时域波形中,却可以很清晰地看出哪里是高频哪里是低频。

111

冲激响应和阶跃响应

112

LTI 系统的时域分析与频域分析

频域分析:用相量法求传递函数很简单。

  • 频域测量:一个频点一个频点地测量稳态,麻烦耗时;但是测量精度高,因而是当前系统测量的主要方式,如网络分析仪测量的输入阻抗、传递函数等。

时域分析:用时域积分法求解运算过程相当复杂。

  • 时域测量:理论上,一个冲激激励,即可获得所有频点的频率响应,因而是相对简单的测量方法:

$$
H(\mathrm{j} \omega) = \int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t
$$

但电路中并不存在冲激信号,电路中的冲激事实上是一种电磁辐射。

在实际时域测量操作时,一般用阶跃激励获得阶跃响应的方式进行测量和分析,原因是阶跃信号容易获得,同时在分析时,通过阶跃响应的时域波形易于理解系统的通带特性。

理论分析时,冲击响应和阶跃响应往往一并考察。

方波信号激励

113

可以采用三要素法求解,显然 $\tau = RC$,初值 $v_C(0) = 0$,只需要确定稳态响应。

只需要假设方波信号是在 $t = -\infty$ 时加载的,结果就是稳态响应。

电容电压稳态响应分析

直流(冲激、阶跃)激励的稳态响应是直流;正弦激励的稳态响应是正弦波信号;周期信号是稳态响应一定也是同频周期信号。

方波信号的稳态响应如图:

  • 周期信号。
  • 激励在 $V_{S0}$ 时段内,犹如电容充电,激励在 $0$ 时段,犹如电容放电。

114

分时段表述

$$
kT_0 \sim (k + 0.5) T_0 : v_{C\infty}(t) = V_{S0} + (V_1 - V_{S0}) e^{-\frac{t - k\tau}{\tau}}, V_{S0} + (V_1 - V_{S0}) e^{-\frac{0.5T_0}{\tau}} = V_2 \\
(k + 0.5) T_0 \sim (k + 1) T_0 : v_{C\infty}(t) = 0 + (V_2 - 0)e^{-\frac{t - (k + 0.5) T_0}{\tau}}, V_2 e^{-\frac{0.5T_0}{\tau} = V_1} \\
V_2 = V_{S0} \frac{1}{1 + e^{-\dfrac{0.5T_0}{\tau}}} \\
V_1 = V_{S0} \frac{e^{-\dfrac{0.5T_0}{\tau}}}{1 + e^{-\dfrac{0.5T_0}{\tau}}} \\
\frac{V_1 + V_2}{2} = 0.5 V_{S0}
$$

代入即得电容电压和电阻电压稳态响应。

波形为:

115

电容电压是输入电压中的低频分量,电容电压平均值为 $0.5 V_{S0}$,取得是直流附近的分量。(灰)

电阻电压是输入电压中的高频分量,电容隔断直流,平均值为 $0$。(绿)

其中从频率看:

116

极致 1:时间常数很大,$3 dB$ 频点很小

117

频域上:

118

极致 2:时间常数很小,$3 dB$ 频点很大

119

频域上:

120

RC 分压:在 $t = 0$ 时刻加载方波激励

$$
v_C(t) = v_{C\infty}(t) + \left(v_C(0^+) - v_{C\infty}(0^+) e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \\ = v_{C\infty}(t) - V_{S0} \frac{e^{-\frac{t}{\tau}}}{1 + e^{\frac{0.5T_0}{\tau}}} \\
v_{C\infty}(0^+) = V_{S0} \frac{1}{1 + e^{\frac{0.5T_0}{\tau}}}
$$

大电容求平均,通交隔直。

121

小电容几乎开路,微分波形加载电阻。

122

 

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