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高等代数习题(二)

高等代数习题(二)

题目 (《蛙鸣》皇榜第三期征解) 设 A0,A1,,AmCm+1n 阶方阵 (m2), 满足
A0AiAiA0=Ai+1,A0Am=AmA0,AjAk=AkAj


对所有 1im1, 1j,km 都成立. 若 AmO, 求 n 的最小值. (写成 m 的多项式).

分析gn+1 维复线性空间, x0,,xn 为其一组基, 考虑其上的反对称双线性映射 [,]:g×gg, 定义为
[x0,xi]=xi+1,[x0,xm]=0,[xj,xk]=0


其中 1im1, 1j,km. 易验证这使得 g 为复李代数. 本题等价于求出 g 的满足 ϕ(xm)0 的表示 ϕ 得维数得最小值, 由Ado定理可知这是存在且有限的.

证明 n 的最小值是 m+1.

n=m+1 时, 考虑 A0=m1i=1ei,i+1, Ak=em+1k,m+1, 其中 1km, 直接验证得其满足题设.

接下来只需证明 nm 时, 满足条件的 A0,,Am 不存在即可.

采用反证法, 假设存在 nm 满足条件. 设 A0,,Amgln(C) 中生成的子李代数 L. 注意到 Lm=0, 从而 L 是幂零的. 先证明几个引理:

引理1A,Bgln(C), 则有
AnB=BAn+(n1)(adA)(B)An1+(n2)(adA)2(B)An2++(adA)n(B).


证明LA=adA+RAadARA 交换, 得
(LA)nB=(adA+RA)nB=nk=0(nk)(adA)k(RA)nkB.

引理2(Zassenhaus) 设 h 为幂零李代数, (π,V) 为其有限维表示, 则存在 V 的一个表示的直和分解 V1Vr 使得对任意 xh1ir, 有 π(x)|Vi 的半单部分为标量.

证明 利用引理1可以得到 π(x) 的根子空间是子表示, 从而对 V 的维数归纳即可得证.

回到原题, 现在考虑 AiAi 的幂零部分, 由引理2和 tr(Ak)=0(1km), 可得A0,,Am 仍满足题设. 从而不妨设 A0,,Am 均幂零的情况.

由Lie定理可将 L 中的元素同时上三角化, 则 A0,,Am 都是严格上三角阵, 则由条件得 AmLm1nm1nnn1n=0, 矛盾.

题目 (《蛙鸣》皇榜第三期征解) 设 Mn(C) 为所有 n 阶复方阵构成的线性空间. 设 M1M2Mn(C) 的两个子空间, 定义
N={AMn(C):ABBAM,BM}.


AN, 且 tr(AB)=0,BN. 证明: A 是幂零方阵.

证明A 的特征值为 λ1,,λn. 将 C 看成 Q-线性空间, 考虑 λ1,,λn 生成的子空间 E. 只需证明对任意 fE, 有 f=0.

不妨设 A 为其 Jordan 标准型, 其对角线元素为 λ1,,λn.

对任意 fE. 考虑 P=diag(f(λ1),,f(λn)). 利用 Jordan-Chevalley 分解和插值多项式, 可以得到存在常数项为零的多项式 r, 使得 ad P=r(adA), 从而 PN. 从而有
tr(AP)=ni=1λif(λi)=0,


作用 fni=1f(λi)2=0, 由于 f(λi)Q, 故 f(λi)=0, 从而 f=0.

 

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