高等代数习题（二）
题目 (《蛙鸣》皇榜第三期征解) 设 $A_0,A_1,\cdots,A_m$ 是 $\mathbb{C}$ 上 $m+1$ 个 $n$ 阶方阵 $(m\geq 2)$, 满足
$$
A_0A_i-A_iA_0=A_{i+1},\quad A_0A_m=A_mA_0,\quad A_jA_k=A_kA_j
$$
对所有 $1\leq i\leq m-1$, $1\leq j,k\leq m$ 都成立. 若 $A_m\neq O$, 求 $n$ 的最小值. (写成 $m$ 的多项式).
分析 设 $\mathfrak{g}$ 是 $n+1$ 维复线性空间, $x_0,\cdots,x_n$ 为其一组基, 考虑其上的反对称双线性映射 $[-,-]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$, 定义为
$$
[x_0,x_i]=x_{i+1},\quad[x_0,x_m]=0,\quad[x_j,x_k]=0
$$
其中 $1\leq i\leq m-1$, $1\leq j,k\leq m$. 易验证这使得 $\mathfrak{g}$ 为复李代数. 本题等价于求出 $\mathfrak{g}$ 的满足 $\phi(x_m)\neq 0$ 的表示 $\phi$ 得维数得最小值, 由Ado定理可知这是存在且有限的.
证明 $n$ 的最小值是 $m+1$.
当 $n=m+1$ 时, 考虑 $A_0=\sum_{i=1}^{m-1}e_{i,i+1}$, $A_k=e_{m+1-k,m+1}$, 其中 $1\leq k\leq m$, 直接验证得其满足题设.
接下来只需证明 $n\leq m$ 时, 满足条件的 $A_0,\cdots,A_m$ 不存在即可.
采用反证法, 假设存在 $n\leq m$ 满足条件. 设 $A_0,\cdots, A_m$ 在 $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ 中生成的子李代数 $L$. 注意到 $L^m=0$, 从而 $L$ 是幂零的. 先证明几个引理:
引理1 设 $A,B\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$, 则有
$$
A^nB=BA^n+\binom{n}{1}(\text{ad}A)(B)A^{n-1}+\binom{n}{2}(\text{ad}A)^2(B)A^{n-2}+\cdots+(\text{ad}A)^n(B).
$$
证明 由 $L_A=\text{ad}A+R_A$ 及 $\text{ad}A$ 和 $R_A$ 交换, 得
$$
(L_A)^nB=(\text{ad}A+R_A)^nB=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(\text{ad}A)^k(R_A)^{n-k}B.
$$
引理2(Zassenhaus) 设 $\mathfrak{h}$ 为幂零李代数, $(\pi,V)$ 为其有限维表示, 则存在 $V$ 的一个表示的直和分解 $V_1\oplus\cdots\oplus V_r$ 使得对任意 $x\in \mathfrak{h}，1\leq i\leq r$, 有 $\pi(x)|_{V_i}$ 的半单部分为标量.
证明 利用引理1可以得到 $\pi(x)$ 的根子空间是子表示, 从而对 $V$ 的维数归纳即可得证.
回到原题, 现在考虑 $A_i^\prime$ 为 $A_i$ 的幂零部分, 由引理2和 $\text{tr}(A_k)=0(1\leq k\leq m)$, 可得$A'_0,\cdots, A'_m$ 仍满足题设. 从而不妨设 $A_0,\cdots, A_m$ 均幂零的情况.
由Lie定理可将 $L$ 中的元素同时上三角化, 则 $A_0,\cdots,A_m$ 都是严格上三角阵, 则由条件得 $A_m\subseteq L^{m-1}\subseteq\mathfrak{n}_n^{m-1}\subseteq\mathfrak{n}_n^{n-1}=0$, 矛盾.
题目 (《蛙鸣》皇榜第三期征解) 设 $M_n(\mathbb{C})$ 为所有 $n$ 阶复方阵构成的线性空间. 设 $M_1\subseteq M_2$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的两个子空间, 定义
$$
N=\{A\in M_n(\mathbb{C}):AB-BA\in M,\forall B\in M\}.
$$
若 $A\in N$, 且 $\text{tr}(AB)=0,\forall B\in N$. 证明: $A$ 是幂零方阵.
证明 设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$. 将 $\mathbb{C}$ 看成 $\mathbb{Q}$-线性空间, 考虑 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 生成的子空间 $E$. 只需证明对任意 $f\in E^*$, 有 $f=0$.
不妨设 $A$ 为其 Jordan 标准型, 其对角线元素为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.
对任意 $f\in E^*$. 考虑 $P=\text{diag}(f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n))$. 利用 Jordan-Chevalley 分解和插值多项式, 可以得到存在常数项为零的多项式 $r$, 使得 $\text{ad P}=r(\text{ad} A)$, 从而 $P\in N$. 从而有
$$
\text{tr}(AP)=\sum_{i=1}^n\lambda_if(\lambda_i)=0,
$$
作用 $f$ 得 $\sum_{i=1}^nf(\lambda_i)^2=0$, 由于 $f(\lambda_i)\in\mathbb{Q}$, 故 $f(\lambda_i)=0$, 从而 $f=0$.
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