Pfaffians

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参考文献 Linear Algebra via Exterior Products, SergeiWinitzki, Ph.D.

线性空间上的反对称算子

定义 1.1 设 $V$ 为 $N$ 维的 $K$-线性空间, $\{\mathbf{e}_ 1,\dotsc,\mathbf{e}_ N\}$ 是一组基, 定义 $V$ 上的对称双线性型
$$
\begin{align}
\langle\cdot,\cdot\rangle:V\otimes V&\to K\\
\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j&\mapsto \delta_{ij}.
\end{align}
$$
定义 1.2 称算子 $\hat{A}\in\text{End} (V)$ 是反对称的, 若其满足
$$
\langle\mathbf{u},\hat{A}\mathbf{u}\rangle=0,\quad\forall\mathbf{u}\in V.
$$
全体反对称算子构成 $\text{End}(V)$ 的子空间, 记为 $\text{Asym}(V)$.

命题 1.3 以下线性映射为同构,
$$
\begin{align}
\varphi:\wedge^2 V&\to\text{Asym}(V)\\
\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}&\mapsto [\mathbf{x}\mapsto\mathbf{a}\langle\mathbf{b},\mathbf{x}\rangle-\mathbf{b}\langle\mathbf{a},\mathbf{x}\rangle].
\end{align}
$$
提示 注意到 $\varphi$ 为满射, 且 $\dim \wedge^2 V=\dim \text{Asym}(V)=\frac{n(n-1)}{2}$ 即可.

命题 1.4 任意 $\alpha\in\wedge^2 V$ 均可写成 $\sum_{j=1}^n\mathbf{a}_k\wedge\mathbf{b}_k$ 的形式, 其中 $n\leq\frac{1}{2}N$, 且 $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{b}_1,\ldots\mathbf{a}_n,\mathbf{b}_n\}$ 线性无关.

提示 考虑 $\alpha$ 的所有表达式中项数最少的即可.

定义 1.5 设 $\hat{A}$ 是 $V$ 上的一个反对称算子, 且 $N=\dim V$ 为偶数, 则将 $\hat{A}$ 的Pfaffian定义为下列等式中的常数 $\text{Pf}(\hat{A})$,
$$
\text{Pf}(\hat{A})\mathbf{e}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{e}_N=\frac{1}{(N/2)!}\bigwedge_{k=1}^{N/2}\alpha,
$$
其中 $\alpha=\varphi^{-1}(\hat{A})\in\wedge^2 V$.

以下均假设 $N=\dim V$ 为偶数.

命题 1.6 设 $\hat{A}$ 是 $V$ 上的一个反对称算子, $\hat{B}$ 是 $V$ 上的一个任意算子, 则 $\text{Pf}(\hat{B}\hat{A}\hat{B}^T)=\det(\hat{B})\text{Pf}(\hat{A})$.

提示 考虑由 $\varphi^{-1}(\hat{A})$ 的表示得到 $\varphi^{-1}(\hat{B}\hat{A}\hat{B}^T)$ 的表示.

定理 1.7 设 $\hat{A}$ 是 $V$ 上的一个反对称算子, 则有
$$
\det(\hat{A})=\text{Pf}(\hat{A})^2.
$$
证明 由命题1.4, 设 $\alpha=\varphi^{-1}(\hat{A})\in\wedge^2 V$ 可以表示成
$$
\alpha=\mathbf{v}_1\wedge\mathbf{v}_2+\dotsb+\mathbf{v}_{k-1}\wedge\mathbf{v}_ k,
$$
其中 $k\leq N$ 为偶数, 且 $\{\mathbf{v}_ 1,\ldots,\mathbf{v}_ k\}$ 线性无关,

当 $k < N$ 时. 易得 $\det(\hat{A})=0=\text{Pf}(\hat{A})^2$.
 
当 $k = N$ 时. 则 $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_ N\}$ 是一组基, 有
$$
\mathbf{v}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{v}_N=\text{Pf}(\hat{A})\mathbf{e}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{e}_ N.
$$
设 $\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_N\}$ 是 $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_ N\}$ 的对偶基, 有
$$
\mathbf{u}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{u}_N=\text{Pf}(\hat{A})^{-1}\mathbf{e}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{e}_ N,
$$
以及
$$
\det(\hat{A})\mathbf{u}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{u}_N=\hat{A}\mathbf{u}_1\wedge\dotsb\wedge\hat{A}\mathbf{u}_N=\mathbf{v}_1\wedge\dotsb\wedge\mathbf{v}_ N.
$$
从而综合上述各式可得
$$
\det(\hat{A})=\text{Pf}(\hat{A})^2.
$$

域上的反对称矩阵

定义 2.1 设 $A=(a_{ij})$ 是域 $K$ 上的 $N$ 阶矩阵, 称 $A$ 是反对称的, 若其满足
$$
a_{ii}=0,\quad a_{ij}+a_{ji}=0,\quad\forall i,j\in\{1,\dotsc,N\}.
$$
全体反对称矩阵构成 $\text{Mat}_ N(K)$ 的子空间, 记为 $\text{Asym}_ N(K)$.

设 $V$ 为 $N$ 维的 $K$-线性空间, $\mathbf{e}_1,\dotsc,\mathbf{e}_ N$ 是一组基, 则
$$
\begin{align}
\text{Mat}_ N(K)&\to\text{End}(V)\\
A=(a_{ij})&\mapsto\hat{A}=[\mathbf{e}_j\mapsto\sum_ia_{ij}\mathbf{e}_ i]
\end{align}
$$
为环同构, 事实上 $A$ 为 $\hat{A}$ 在基 $\{\mathbf{e}_ 1,\dotsc,\mathbf{e}_ N\}$ 下的矩阵表示.

以下均假设 $N$ 为偶数. 注意到上述映射限制在 $\text{Asym}_ N(K)$ 上是到 $\text{Asym}(V)$ 的线性同构. 我们可以定义 $\text{Pf}(A)=\text{Pf}(\hat{A})$.

注意到
$$
\alpha=\varphi^{-1}(\hat{A})=\sum_{i < j}a_{ij}\mathbf{e}_ i\wedge\mathbf{e}_ j, $$ 由Pfaffian的定义, 以及定理1.7, 得到
 

定理 2.2 设 $A\in\text{Asym}_N(K)$, 则 $\text{Pf}(A)$ 是对角线以上元素 $a_{ij}(i < j)$ 的整系数多项式, 且有 $$ \det(A)=\text{Pf}(A)^2. $$
命题 2.3 设 $A$ 是反对称 $N$ 阶矩阵, $B$ 是任意 $N$ 阶矩阵 则 $\text{Pf}(BAB^T)=\det(B)\text{Pf}(A)$.

推论 2.4 辛矩阵的行列式为 $1$.

交换幺环上的反对称矩阵

定义 3.1 设 $A=(a_{ij})$ 是交换幺环 $R$ 上的 $N$ 阶矩阵, 称 $A$ 是反对称的, 若其满足
$$
a_{ii}=0,\quad a_{ij}+a_{ji}=0,\quad\forall i,j\in\{1,\dotsc,N\}.
$$
全体反对称矩阵构成 $\text{Mat}_ N(R)$ 的子空间, 记为 $\text{Asym}_ N(R)$.

由定理2.1, 可以将 $\text{Pf}(A)$ 看成 $A$ 的元素的整系数多项式, 从而当 $N$ 是偶数时, 也可定义 $\text{Asym}_ N(R)$ 中矩阵的Pfaffian.

以下均假设 $N$ 为偶数.

定理 3.2 设 $A\in\text{Asym}_ N(R)$, 则有
$$
\det(A)=\text{Pf}(A)^2.
$$

证明 当 $R$ 是整环时, 考虑 $K=\text{Frac}(R)$, 将 $A$ 看成 $\text{Asym}_N(K)$ 中的元素即可.

对于一般的情况, 考虑 $S=\mathbb{Z}[x_{ij}]$ 为 $N^2$ 元整系数多项式环, $B=(x_{ij})$, 对于 $A=(a_{ij})\in\text{Asym}_ N(R)$, 存在环同态
$$
\begin{align}
\varphi:S&\to R\\
x_{ij}&\mapsto a_{ij},
\end{align}
$$
使得其诱导的环同态 $\text{Mat}_N(S)\to\text{Mat}_N(R)$, 将 $B=(x_{ij})$ 映到 $A=(a_{ij})$.

由于 $S$ 是整环, 故 $\det(B)=\text{Pf}(B)^2$.

从而
$$
\det(A)=\psi(\det(B))=\psi(\text{Pf(B)}^2)=\text{Pf(A)}^2.
$$

 

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