线性代数笔记（2）——矩阵

线性代数笔记（2）——矩阵

目标

矩阵乘列向量的理解

1. 是对矩阵列向量的线性组合
2. 是矩阵的每个行向量与该列向量的内积

方阵、可逆矩阵、奇异矩阵

线性方程组的理解

1. 行图：求多个直线（或超平面）的公共点
2. 列图：求几个列向量的线性组合能否表示一个向量

矩阵

长方形（$m \times n$）的数表，一般称为 $m \times n$ 矩阵。

$$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i,1} & \cdots & a_{i,j} & \cdots & a_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,j} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$$

矩阵与向量的乘积

$$A \mathbf{x} = (\mathbf{u_1},\mathbf{u_2},\cdots,\mathbf{u_n})\left( \begin{matrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right) = x_1 \cdot \mathbf{u_1} + \cdots + x_n \cdot \mathbf{u_n}$$

其中 $u_i$ 表示矩阵的列向量。

或者也可写为 $m$ 个行向量与向量的内积构成的列向量。

线性方程组表达：$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$

逆时针旋转角度 $\theta$ 的变换矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$$

（坐标列向量左乘 $M$）

方阵：行数与列数相等的矩阵，如上面的 $M$。

可逆矩阵

若 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$（$n$ 个方程，$n$ 个未知数）对任意向量 $\mathbf{b}$ 有（唯一）解，则称方阵 $A$ 可逆。

（$A$ 称为系数矩阵，$\mathbf{b}$ 称为常数项）

$A$ 的逆矩阵记为 $A^{-1}$。

解 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 得到 $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$

若 $A = (\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n})$ 可逆，则 $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n}$ 的全部线性组合所得集合是：整个 $n$ 维空间

线性无关：若 $\mathbf{0}$ 写成 $\mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n}$ 的线性组合只有一种可能：

$$\mathbf{0} = 0\mathbf{a_n} + \cdots +0\mathbf{a_n}$$

这时我们称向量 $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n}$ 线性无关，相应 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解。

若可以写成多种线性组合（存在不全为零的系数使其成立），即称为线性相关，对应到方阵就是奇异的。

列向量线性无关，可逆，只有零解

列向量线性相关，奇异，有无穷解

线性方程组的行图和列图

行图：每行代表一个超平面，方程组的解为超平面的公共点

列图：求常数项关于系数矩阵列向量的线性组合

 笔记 线性代数