线性代数笔记(1)——向量点积

线性代数笔记(1)——向量点积

(推广的)向量空间的八条性质

  1. $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}$
  2. $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$
  3. $\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}$
  4. $\mathbf{x}+(\mathbf{-x})=\mathbf{0}$
  5. $\mathbf{x}\cdot 1=\mathbf{x}$
  6. $(c_1c_2)\mathbf{x}=c_1(c_2\mathbf{x})$
  7. $(c_1+c_2)\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}+c_2\mathbf{x}$
  8. $c(\mathbf{x}+\mathbf{y})=c\mathbf{x}+c\mathbf{y}$

向量的点积、长度、夹角

向量的点积

$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n),\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

向量的长度

$\Vert \mathbf{x} \Vert=\sqrt{\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}}$

$\mathbf{x}=\mathbf{0}\Leftrightarrow \Vert \mathbf{x} \Vert=0$

单位向量

若 $\Vert \mathbf{v} \Vert=1$,则称 $\mathbf{v}$ 为单位向量

单位化:任给一非零向量$\mathbf{v}$,$\frac{\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{v} \Vert}$ 是沿 $\mathbf{v}$ 方向的单位向量

向量点积性质

  1. $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\mathbf{w}\cdot \mathbf{v}$(对称性)
  2. $\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}$
  3. $k\in \mathbb{R},(k\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot(k\mathbf{v})$
  4. 2、3 可合写为 $c,d\in \mathbb{R},\mathbf{u}\cdot (c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=c\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+d\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}$(线性)
  5. $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{v} \Vert^2\ge 0$ 且 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=0\Leftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0}$(正定性)

向量的夹角

非零向量 $\mathbf{v},\mathbf{w}$ 的夹角 $\theta$:$\cos\theta=\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\cdot \Vert \mathbf{w} \Vert}(0\le \theta \le \pi)$

若 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0$,则称向量 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 垂直正交,记作 $\mathbf{v}\perp \mathbf{w}$ 或者 $\mathbf{w}\perp \mathbf{v}$

规定:零向量和任意向量垂直

两个不等式

Cauchy-Schwarz 不等式:$|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|\le \Vert \mathbf{v} \Vert \Vert \mathbf{w} \Vert$,等号取到当且仅当一个向量是另一个的倍数(共线)

三角不等式:$\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w} \Vert \le \Vert \mathbf{v} \Vert+\Vert \mathbf{w} \Vert$,等号取到当且仅当一个向量是另一个的非负倍数(同向)

 

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