微积分笔记(1)——数列与收敛

微积分笔记(1)——数列与收敛

约定记号

数集

$\mathbb{N}$:自然数集合(正整数集合)

加法、乘法运算封闭

$\mathbb{Z}$:全体整数集合

加法及其逆运算、乘法运算封闭

$\mathbb{Q}$:全体有理数集合

加法、乘法及两者逆运算封闭

$\mathbb{R}$:全体实数集合

关于极限运算封闭

区间

$[a,b],(a,b),[a,b),(a,+\infty),(-\infty,b]$

集合运算

包含于:$\subset$

包含:$\supset$

属于:$\in$

集合并:$\cup\ \ \bigcup_{i=1}^{n}\lbrace i\rbrace$

集合交:$\cap\ \ \bigcap_{i=1}^n(0,\frac{1}{i})$

逻辑记号

$A \Rightarrow B$:$A$ 是 $B$ 的充分条件,$B$ 是 $A$ 的必要条件

任意与存在记号:$\forall,\exists$

$\square$:证明完毕符号

数列和收敛数列

定义

数列:记为 $\lbrace a_n\rbrace$,表示 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 的无限数列(一般)

收敛:设 $\lbrace a_n\rbrace$ 为一数列,$a \in \mathbb{R}$,若 $\forall \varepsilon > 0,\exists n_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $\forall n > n_0,|a_n-a| < \varepsilon$,则称 $\lbrace a_n\rbrace$ 收敛于 $a$,记为 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$ 或 $a_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$含义:$\varepsilon > 0$ 任意小是本质,只要 $n$ 充分大

不收敛(发散):$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n \not = a,\forall a \in \mathbb{R}$

例题

例 $1$:验证:$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^n = 0,|a| < 1$证:不妨令 $0 < a < 1$考察 $|a^n - 0| = a^n$设 $\lambda = \frac{1}{a} - 1 > 0$,则 $\frac{1}{a} = 1 + \lambda$

$|a^n – 0| = a^n = \frac{1}{(1 + \lambda)^n} < \frac{1}{n \lambda}$取 $n_0 = [\frac{1}{\varepsilon \lambda}]$,即可证明 $\square$例 $2$:求证 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1$证:注意 $1 < \sqrt[n]{n}(n \ge 2)$记 $a_n = \sqrt[n]{n} - 1 > 0, n=2, 3, \cdots$

则 $n = (1 + a_n)^n = 1 + na_n + \frac{n(n-1)}{2}a_n^2 + \cdots + a_n^n > \frac{n(n-1)}{2} a_n^2$

$0 < a_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}} < \varepsilon, n > \frac{2}{\varepsilon^2}+1$

$\forall \varepsilon > 0$,取 $n_0 = [\frac{2}{\varepsilon^2}] + 1$

当 $n > n_0$ 时,$n \ge n_0+1 > \frac{2}{\varepsilon^2} + 1$

从而 $|\sqrt[n]{n}-1| = a_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}} < \varepsilon\ \square$

收敛数列的性质

唯一性

证明:反证法,设两个极限为 $a$ 和 $b$,取 $\varepsilon \le \frac{|a-b|}{2},n_0 = \max\lbrace n_1,n_2\rbrace$ 即可证明 $a \not = b$ 不成立

有界性

设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$,则 $\lbrace a_n\rbrace$ 有界:$\exists A > 0$ 使得 $\forall n \in \mathbb{N}, |a_n| \le A$

证明:任取 $\varepsilon$,利用定义得到 $\varepsilon + |a|$ 以及 $\max_{i=1}^{n_0}a_i$ 取 $\max$ 即可。

保序性

设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$,则:

  1. 若 $a_n \ge 0$($n$ 充分大后),则 $a \ge 0$
  2. 若 $a > 0$,则 $n$ 充分大后 $a_n > 0$

推论:设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n=b$,则:

  1. 若 $a_n \le b_n$($n$ 充分大后),则 $a \le b$
  2. 若 $a < b$, 则 $n$ 充分大后 $a_n < b_n$

四则运算

加减乘除及整体证明略

乘法思路:$|a_nb_n – ab|=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b|$

除法思路:$\frac{a_n}{b_n}=a_n \cdot \frac{1}{b_n}$,后利用保序性使得 $n$ 充分大,$b_n > \frac{b}{2}$(假设 $b>0$)

夹逼定理

设 $a_n \le b_n \le c_n$($n$ 充分大后,$n>n_0$),且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} c_n = a$,则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = a$

证明取 $n > \max\lbrace n_0,n_1,n_2\rbrace$ 即可证明 $a – \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n \le a + \varepsilon$应用:设 $a>0$,证明 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1$

思路:$a \ge 1,n > a$ 时,$1 \le a^{\frac{1}{n}} \le n^{\frac{1}{n}}$ 运用夹逼定理

$a < 1$ 时运用四则运算即可

 

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