wzf2000 微积分笔记（2）——子列、收敛原理与基本列
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子列
设 $\{a_n\}$ 是一个数列，任取 $k_n \in \mathbb{N}$，$k_1 < k_2 < \cdots < k_n < \cdots$，则 $\{a_{k_n}\}$ 称为 $\{a_n\}$ 的一个子列。
推论：$k_n \ge n$
子列性质
设 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，则 $\{a_n\}$ 的任意子列 $a_{k_n}$ 均收敛于 $a$。
证明：利用推论与数列极限的定义即可。
这也是数列收敛的充分必要条件。
数列极限概念推广
无穷大数列
设 $\{a_n\}$ 为一数列，若 $\forall A > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得 $\forall n > n_0$，$a_n > A$，则称 $\{a_n\}$ 趋向于 $+\infty$，记为 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$。
同理可定义 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty$。（$a_n < -A$）
以及 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。（$|a_n| > A$）
性质：设 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \infty,\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$，则：
- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \infty$
- 若 $b \not = 0$，则 $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n b_n) = \infty$
- $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{a_n} = 0$
无穷小数列（无穷小）
若 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$，则称 $\{a_n\}$ 为无穷小（数列）。
推论：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} = 0$
单调数列和单调收敛原理
单调数列
设 $\{a_n\}$ 是一数列，若 $\forall n \in \mathbb{N}$，$a_n \le a_{n+1}$，则称 $\{a_n\}$ 是单调增（不等号换成 $<$ 则为严格递增）的。
设 $\{a_n\}$ 是一数列，若 $\forall n \in \mathbb{N}$，$a_n \ge a_{n+1}$，则称 $\{a_n\}$ 是单调减（不等号换成 $>$ 则为严格递减）的。
单调收敛原理
单调有界的数列必收敛。
推论：单调增（减）有上（下）界的数列一定有极限。
性质：$\{a_n\}$ 是无穷小 $\Leftrightarrow$ $\{|a_n|\}$ 是无穷小。
注：该原理在 $\mathbb{R}$ 中成立，在 $\mathbb{Q}$ 中不成立。
例 $1$：$a_n = \frac{a^n}{n!}$，求 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。
解：$$
|a_{n+1}|=\frac{|a \cdot a^n|}{(n+1)n!}=\left|\frac{a}{n+1}\right||a_n|
$$
当 $n + 1 > |a|$ 后，$|a_{n+1}| \le |a_n|$。
$$
\therefore 0 \le |a_{n+1}| \le |a_n|
$$
则 ${|a_n|}$ 单调减有下界。
$\therefore \lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$ 存在。
有极限四则运算性质，令 $n \to \infty$ 得
$A = 0 \cdot A = 0$
$\therefore \lim\limits_{n \rightarrow \infty} |a_n| = 0$，由此 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$。$\square$
例 $2$：$a_n = 1 + \frac{1}{2^p} + \cdots +\frac{1}{n^p},n = 1, 2, \cdots,0 < p < 1$，求证 $\{a_n\}$ 发散（趋向 $+\infty$）。
证明：$\{a_n\}$ 单调增，只需证 $\{a_n\}$ 无上界。
$$
a_n \ge \frac{1}{n^p} \times n = n^{1-p} \to +\infty
$$
$\therefore \{a_n\}$ 无界，发散。$\square$
注：对于 $p \ge 1$ 通过 $2^k$ 分组即可得到收敛或者发散。
自然对数底 $e$
考虑 $\{a_n\},\{b_n\}$，$a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n,b_n = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!},n = 1, 2, \cdots$。
$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$ 存在比较好证，略。
$a_n \le b_n$ 用二项式定理展开证明。
$$
\begin{align*}
a_n & = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot (\frac{1}{n})^2 + \cdots +(\frac{1}{n})^n \\
& = 2 + \frac{1}{2} (1 – \frac{1}{n}) + \cdots + \frac{1}{k!}(1 – \frac{1}{n})(1 – \frac{2}{n}) \cdots (1 – \frac{k-1}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1 – \frac{1}{n}) \cdots (1-\frac{n-1}{n}) \\
& \le b_n
\end{align*}
$$
$\{a_n\}$ 单调递增观察展开后各项即可得知。
$\therefore \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ 存在。
定理：$a = b$ 记为 $e$。
由极限保序性 $a \le b$。
只须证 $a \ge b$。
对于 $1 \le k < n$ 固定：$$ a_n \ge 2 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \cdots + \frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k-1}{n}\right) $$令 $n \to \infty$ 得：$$ a \ge 2 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{k!} = b_k $$令 $k \rightarrow \infty$ 得 $a \ge b$。$\square$
基本列与收敛原理
基本列
若 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得 $\forall n,n’ > n_0$，有 $|a_n – a_{n’}| < \varepsilon$，则称 $\{a_n\}$ 为基本列或 Cauchy 列。
推论：若 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 为基本列。
证明略。
Cauthy 收敛原理：数列收敛的充分必要条件是，它是基本列
必要性略。
求证 ：基本列收敛。
引理 $1$：任何数列 $\{a_n\}$ 存在单调子列。
证明：“龙头项”：固定 $k \in \mathbb{N}$，若 $\forall n > k$，$a_n < a_k$ ，则称 $a_k$ 为一个 ”龙头项“。
对于 $\{a_n\}$，若有无穷多个“龙头项”，只要取出这些“龙头项”即可构成一个单调子列；
若只有有限多个，则取出最后一个“龙头项”的下一项，记作 $a_{i_1}$。
由于 $a_{i_1}$ 不是”龙头项“，在它后必存在一项 $a_{i_2},i_2 > i_1$，满足 $a_{i_1} \le a_{i_2}$；同理，可构造出一个单调子列。$\square$
由引理 $1$ 容易得出：任何有界数列必可选出一个收敛的子列。（Bolzano-Weierstrass 定理、列紧性定理）
下面证明基本列有界。
取 $\varepsilon_0 = 1$，可取出一个 $N \in \mathbb{N}$，且当 $n > N$ 时，有 $|a_n – a_{N+1}| < \varepsilon_0 = 1$。$$ \therefore |a_n| \le |a_n-a_{N+1}| + |a_{N+1}| < 1 + |a_{N+1}| $$再令 $M = \max(|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a_{N+1}|+1)$，可见 $|a_n| \le M$ 对一切 $n \in \mathbb{N}$ 成立。
$\therefore \{a_n\}$ 是有界数列。
有列紧性定理，从 $\{a_n\}$ 可选出一个收敛子列 $\{a_{i_n}\}$，设 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{i_n} = a$。
只须证明这个 $a$ 也是数列 $\{a_n\}$ 的极限。
$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \mathbb{N}$，使得当 $m,n > N_1$ 时，都有 $|a_m – a_n| < \frac{\varepsilon}{2}$。
又因 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{i_n} = a$，对任给的 $\varepsilon > 0$，存在 $N_2 \in \mathbb{N}$，当 $n > N_2$ 时，$|a_{i_n} – a| < \dfrac{\varepsilon}{2}$。
现取 $N = \max(N_1,N_2)$，当 $n > N$ 时，有 $|a_n – a| \le |a_n – a_{i_n}| + |a_{i_n} – a| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。
这正说明 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$。$\square$
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