微积分笔记(2)——子列、收敛原理与基本列

微积分笔记(2)——子列、收敛原理与基本列

子列

设 $\{a_n\}$ 是一个数列,任取 $k_n \in \mathbb{N}$,$k_1 < k_2 < \cdots < k_n < \cdots$,则 $\{a_{k_n}\}$ 称为 $\{a_n\}$ 的一个子列。推论:$k_n \ge n$

子列性质

设 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$,则 $\{a_n\}$ 的任意子列 $a_{k_n}$ 均收敛于 $a$。

证明:利用推论与数列极限的定义即可。

这也是数列收敛的充分必要条件

数列极限概念推广

无穷大数列

设 $\{a_n\}$ 为一数列,若 $\forall A > 0$,$\exists n_0 \in \mathbb{N}$,使得 $\forall n > n_0$,$a_n > A$,则称 $\{a_n\}$ 趋向于 $+\infty$,记为 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty$。

同理可定义 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty$。($a_n < -A$)以及 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty$。($|a_n| > A$)

性质:设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = b$,则:

  1. $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (a_n \pm b_n) = \infty$
  2. 若 $b \not = 0$,则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (a_n b_n) = \infty$
  3. $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} = 0$

无穷小数列(无穷小)

若 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$,则称 $\{a_n\}$ 为无穷小(数列)。

推论:$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} = 0$

单调数列和单调收敛原理

单调数列

设 $\{a_n\}$ 是一数列,若 $\forall n \in \mathbb{N}$,$a_n \le a_{n+1}$,则称 $\{a_n\}$ 是单调增(不等号换成 $<$ 则为严格递增)的。设 $\{a_n\}$ 是一数列,若 $\forall n \in \mathbb{N}$,$a_n \ge a_{n+1}$,则称 $\{a_n\}$ 是单调减(不等号换成 $>$ 则为严格递减)的。

单调收敛原理

单调有界的数列必收敛。

推论:单调增(减)有上(下)界的数列一定有极限。

性质:$\{a_n\}$ 是无穷小 $\Leftrightarrow$ $\{|a_n|\}$ 是无穷小。

:该原理在 $\mathbb{R}$ 中成立,在 $\mathbb{Q}$ 中不成立。

例 $1$:$a_n = \frac{a^n}{n!}$,求 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n$。

解:$|a_{n+1}|=\frac{|a \cdot a^n|}{(n+1)n!}=|\frac{a}{n+1}||a_n|$

当 $n + 1 > |a|$ 后,$|a_{n+1}| \le |a_n|$

$\therefore 0 \le |a_{n+1}| \le |a_n|$,${|a_n|}$ 单调减有下界。

$\therefore \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = A$ 存在。

有极限四则运算性质,令 $n \rightarrow \infty$ 得

$A = 0 \cdot A = 0$

$\therefore \lim\limits_{n \rightarrow \infty} |a_n| = 0$,由此 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ $\square$

例 $2$:$a_n = 1 + \frac{1}{2^p} + \cdots +\frac{1}{n^p},n = 1, 2, \cdots,0 < p < 1$,求证 $\{a_n\}$ 发散(趋向 $+\infty$)。证明:$\{a_n\}$ 单调增,只需证 $\{a_n\}$ 无上界。$a_n \ge \frac{1}{n^p} \times n = n^{1-p} \rightarrow +\infty$$\therefore \{a_n\}$ 无界,发散 $\square$注:对于 $p \ge 1$ 通过 $2^k$ 分组即可得到收敛或者发散。

自然对数底 $e$

考虑 $\{a_n\},\{b_n\}$,$a_n = (1 + \frac{1}{n})^n,b_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!},n = 1, 2, \cdots$

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = b$ 存在比较好证,略。

$a_n \le b_n$ 用二项式定理展开证明。

$$a_n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot (\frac{1}{n})^2 + \cdots +(\frac{1}{n})^n\\ = 2 + \frac{1}{2} (1 – \frac{1}{n}) + \cdots + \frac{1}{k!}(1 – \frac{1}{n})(1 – \frac{2}{n}) \cdots (1 – \frac{k-1}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1 – \frac{1}{n}) \cdots (1-\frac{n-1}{n}) \\ \le b_n$$

$\{a_n\}$ 单调递增观察展开后各项即可得知。

$\therefore \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ 存在。

定理:$a = b$ 记为 $e$。

由极限保序性 $a \le b$。

只须证 $a \ge b$。

$1 \le k 基本列与收敛原理

基本列

若 $\forall \varepsilon > 0$,$\exists n_0 \in \mathbb{N}$,使得 $\forall n,n’ > n_0$,有 $|a_n – a_{n’}| < \varepsilon$,则称 $\{a_n\}$ 为基本列或 Cauchy 列。推论:若 $\{a_n\}$ 收敛,则 $\{a_n\}$ 为基本列。

证明略。

Cauthy 收敛原理:数列收敛的充分必要条件是,它是基本列

必要性略。

求证 :基本列收敛。

引理 $1$:任何数列 $\{a_n\}$ 存在单调子列。

证明:“龙头项”:固定 $k \in \mathbb{N}$,若 $\forall n > k$,$a_n < a_k$ ,则称 $a_k$ 为一个 ”龙头项“对于 $\{a_n\}$,若有无穷多个“龙头项”,只要取出这些“龙头项”即可构成一个单调子列;若只有有限多个,则取出最后一个“龙头项”的下一项,记作 $a_{i_1}$。由于 $a_{i_1}$ 不是”龙头项“,在它后必存在一项 $a_{i_2},i_2 > i_1$,满足 $a_{i_1} \le a_{i_2}$;同理,可构造出一个单调子列。$\square$

由引理 $1$ 容易得出:任何有界数列必可选出一个收敛的子列。(Bolzano-Weierstrass 定理、列紧性定理)

下面证明基本列有界。

取 $\varepsilon_0 = 1$,可取出一个 $N \in \mathbb{N}$,且当 $n > N$ 时,有 $|a_n – a_{N+1}| < \varepsilon_0 = 1$$\therefore |a_n| \le |a_n-a_{N+1}| + |a_{N+1}| < 1 + |a_{N+1}|$再令 $M = \max(|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a_{N+1}|+1)$,可见 $|a_n| \le M$ 对一切 $n \in \mathbb{N}$ 成立。$\therefore \{a_n\}$ 是有界数列。有列紧性定理,从 $\{a_n\}$ 可选出一个收敛子列 $\{a_{i_n}\}$,设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{i_n} = a$。只须证明这个 $a$ 也是数列 $\{a_n\}$ 的极限。$\forall \varepsilon > 0$,$\exists N_1 \in \mathbb{N}$,使得当 $m,n > N_1$ 时,都有 $|a_m – a_n| < \frac{\varepsilon}{2}$。又因 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{i_n} = a$,对任给的 $\varepsilon > 0$,存在 $N_2 \in \mathbb{N}$,当 $n > N_2$ 时,$|a_{i_n} – a| < \frac{\varepsilon}{2}$。现取 $N = \max(N_1,N_2)$,当 $n > N$ 时,有 $|a_n – a| \le |a_n – a_{i_n}| + |a_{i_n} – a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。这正说明 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$。$\square$

 

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