微积分笔记（4）——函数的极限（1）

wzf2000
2019年9月27日

微积分笔记（4）——函数的极限（1）

函数的极限

目的

函数一点附近的性质

极限

设 $f$ 在 $x = x_0$ 附近有定义（$x_0$ 点可以例外）：

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}$，如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得 $\forall 0 < |x - x_0| < \delta$，$|f(x) - l| < \varepsilon$，称为 $x$ 趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限为 $l$。

也记为 $f(x) \to l(x \to x_0$ 时$)$。

含义

只要 $x$ 充分接近 $x_0$（但 $x \not = x_0$），$f(x)$ 可以任意接近 $l$。

单侧极限

左极限：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = l$，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得 $\forall x \in (x_0 - \delta,x_0)$，$|f(x) - l|<\varepsilon$。

右极限：$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = l$，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得 $\forall x \in (x_0,x_0 + \delta)$，$|f(x) - l|<\varepsilon$。

推论

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = l$

极限的性质

1. 唯一性：设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l_1,\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l_2$，则 $l_1 = l_2$。
2. 有界性：设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l$，则 $\exists \delta > 0,A > 0$，使 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x)| \le A$，也称局部有界性。
3. 保号性：设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l$：
   1. 若在 $x = x_0$ 附近，$f(x) \ge 0$，则 $l \ge 0$。
   2. 若 $l > 0$，则 $\exists \delta > 0$，使得 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$f(x) > 0$。
4. 四则运算：令 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = B$，则：
   1. $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
   2. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) g(x) = AB$
   3. 若 $B \not = 0$，$\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$
5. 保序性：设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = B$
   1. 若在 $x = x_0$附近，$f(x) \le g(x)$，则 $A \le B$。
   2. 若 $A < B$，则在 $x = x_0$ 附近，$f(x) < g(x)$。
6. 夹逼原理：设在 $x = x_0$ 附近（$x = x_0$ 点可以例外），$f,g,h$ 三个函数有定义，且 $f(x) \le g(x) \le h(x)$，则当 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} h(x) = l$ 时，$\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = l$。

注：上述性质中将极限换为单侧极限也有相应的性质。

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