微积分笔记(4)——函数的极限(1)

微积分笔记(4)——函数的极限(1)

函数的极限

目的

函数一点附近的性质

极限

设 $f$ 在 $x = x_0$ 附近有定义($x_0$ 点可以例外):

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}$,如果 $\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,使得 $\forall 0 < |x - x_0| < \delta$,$|f(x) - l| < \varepsilon$,称为 $x$ 趋向于 $x_0$ 时,$f(x)$ 的极限为 $l$。也记为 $f(x) \to l(x \to x_0$ 时$)$。

含义

只要 $x$ 充分接近 $x_0$(但 $x \not = x_0$),$f(x)$ 可以任意接近 $l$。

单侧极限

左极限:$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = l$,$\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,使得 $\forall x \in (x_0 – \delta,x_0)$,$|f(x) – l|<\varepsilon$。右极限:$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = l$,$\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,使得 $\forall x \in (x_0,x_0 + \delta)$,$|f(x) – l|<\varepsilon$。

推论

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = l$

极限的性质

  1. 唯一性:设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l_1,\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l_2$,则 $l_1 = l_2$。
  2. 有界性:设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l$,则 $\exists \delta > 0,A > 0$,使 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时,$|f(x)| \le A$,也称局部有界性。
  3. 保号性:设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l$:
    1. 若在 $x = x_0$ 附近,$f(x) \ge 0$,则 $l \ge 0$。
    2. 若 $l > 0$,则 $\exists \delta > 0$,使得 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时,$f(x) > 0$。
  4. 四则运算:令 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = B$,则:
    1. $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
    2. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) g(x) = AB$
    3. 若 $B \not = 0$,$\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$
  5. 保序性:设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = B$
    1. 若在 $x = x_0$附近,$f(x) \le g(x)$,则 $A \le B$。
    2. 若 $A < B$,则在 $x = x_0$ 附近,$f(x) < g(x)$。
  6. 夹逼原理:设在 $x = x_0$ 附近($x = x_0$ 点可以例外),$f,g,h$ 三个函数有定义,且 $f(x) \le g(x) \le h(x)$,则当 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} h(x) = l$ 时,$\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = l$。

注:上述性质中将极限换为单侧极限也有相应的性质。

 

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