线性代数笔记（8）——求解非齐次线性方程组（续）

wzf2000
2019年10月25日

线性代数笔记（8）——求解非齐次线性方程组（续）

复习

$$
A \stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow} U \stackrel{\text{行变换}}{\longrightarrow} U_0 \stackrel{\text{列变换}}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix}
I_r & F \\
0 & 0
\end{pmatrix}
$$

主列个数 $=$ 主元个数 $=$ 主变量个数 $= A$ 的秩（即：$U$ 的主元个数）$= A$ 的列向量组的秩

求解非齐次线性方程组

利用特解

若 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的一个特解是 $x^*$，则 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的通解 $S(A,\mathbf{b}) = \mathbf{x}^* + N(A)$。（$S(A,\mathbf{b})$ 与 $N(A)$ 平行）

解的一般性讨论

设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$r = rank(A)$，容易知道 $r \le \min(n,m)$。

若 $r = n$，则称 $A$ 是一个列满秩矩阵。

若 $r = m$，则称 $A$ 是一个行满秩矩阵。

特别地 $r = n = m$，则 $A$ 是可逆的。

方程组 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 解的情况：

1. $r = n = m \Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$（有唯一解）。
2. $r = n < m$，$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 解的情况：只有零解；此时 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解：无解或有唯一解。
3. $r = m < n$，$A$ 主元个数为 $m$，此时自由变量个数为 $n - m$，故此时 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解：无穷多解。
4. $r < m, r < n$，无解或无穷多解。

一般矩阵的左右逆

1. 若 $A$ 列满秩，则 $A$ 有左逆，经初等行变换，$\exists$ 可逆阵 $E$ 使得 $EA = U_0 = \begin{pmatrix}I_n \\ 0 \end{pmatrix}$，故$A$ 有左逆 $\begin{pmatrix}I_n & 0\end{pmatrix}E$，$\begin{pmatrix}I_n & 0\end{pmatrix}E \cdot A = I_n$。
2. 若 $A$ 行满秩，则 $A$ 有右逆，经初等列变换，$\exists$ 可逆阵 $P$ 使得 $AP = U_0 = \begin{pmatrix}I_m & 0\end{pmatrix}$，故$A$ 有右逆 $P \begin{pmatrix}I_m \\ 0 \end{pmatrix}$，$A \cdot P \begin{pmatrix}I_m \\ 0 \end{pmatrix}= I_m$。

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