微积分笔记(10)——微分中值定理(续)与函数性质研究

微积分笔记(10)——微分中值定理(续)与函数性质研究

微分中值定理(续)

Cauchy 中值定理

设 $f,g \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导,且 $g^{\prime}(x) \not = 0$,则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得:
$$
\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} = \dfrac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}
$$
证明:构造函数:
$$
F(x) = f(x) – \dfrac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}[g(x) – g(a)]
$$
用 Rolle 定理即可证明。

函数的性质研究

单调性判别

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导,则:

  1. $f$ 在 $[a,b]$ 上单调增 $\Leftrightarrow f^{\prime} \ge 0$ 在 $(a,b)$ 内。
  2. $f$ 在 $[a,b]$ 上单调减 $\Leftrightarrow f^{\prime} \le 0$ 在 $(a,b)$ 内。

通过极限保号性和 Lagrange 中值定理即可证明。

严格单调判别

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导,则:

  1. 若 $f^{\prime} > 0$ 在 $(a,b)$ 内,则 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格增。
  2. 若 $f^{\prime} < 0$ 在 $(a,b)$ 内,则 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格减。

:令 $f(x) = x^3 \in C(-\infty,+\infty)$ 且在 $(-\infty,+\infty)$ 可导,$f^{\prime}(x) = 3x^2 \ge 0,f^{\prime}(0) = 0$,但 $f(x) = x^3$ 严格单调。

严格单调判别法——改进

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导,则:

  1. 若 $f^{\prime} > 0$ 只在 $(a,b)$ 内有限个点不成立,则 $f$ 严格增。
  2. 若 $f^{\prime} < 0$ 只在 $(a,b)$ 内有限个点不成立,则 $f$ 严格减。

严格单调判别准则

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导,则:

  1. $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增 $\Leftrightarrow f^{\prime} \ge 0$ 在 $(a,b)$ 内成立,且在 $(a,b)$ 的任何开子区间内,$f^{\prime} \not \equiv 0$。
  2. $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减 $\Leftrightarrow f^{\prime} \le 0$ 在 $(a,b)$ 内成立,且在 $(a,b)$ 的任何开子区间内,$f^{\prime} \not \equiv 0$。

注意,在 $C[a,b)$ 时,也是 $[a,b)$ 上单调,有时需要补齐定义域。

极值问题(对于给定函数求极值(最值))

必要条件(Fermat 引理):设 $f$ 在 $x_0$ 点达到极值,则 $f^{\prime}(x_0) = 0$ 或者 $f^{\prime}(x_0)$ 不存在。

临界点(Critical point):$f^{\prime} = 0$ 或者 $f^{\prime}$ 不存在的点。

充分条件 1:设 $f$ 在 $x_0$ 点连续:

  1. 若在 $x_0$ 左侧某邻域内 $f^{\prime} \ge 0$,在 $x_0$ 右侧某邻域内 $f^{\prime} \le 0$,则 $x_0$ 为 $f$ 的极大值点。
  2. 若在 $x_0$ 左侧某邻域内 $f^{\prime} \le 0$,在 $x_0$ 右侧某邻域内 $f^{\prime} \ge 0$,则 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点。

$\exists \delta > 0$ 使得 $x_0 – \delta < x < x_0$ 时 $f^{\prime}(x) \ge 0$,$x_0 < x < x_0 + \delta$ 时 $f^{\prime}(x) \le 0$,则 $f(x_0) \ge f(x)$,$\forall 0 < |x - x_0| < \delta$。充分条件 2:设 $f$ 在 $x_0$ 点 $2$ 阶可导且 $f^{\prime}(x_0) = 0$:

  1. 若 $f^{\prime\prime}(x_0) < 0$,则 $x_0$ 为 $f$ 的极大值点(严格)。
  2. 若 $f^{\prime\prime}(x_0) > 0$,则 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点(严格)。

:$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$——这时方法失效。

凸性问题

设$f : I \to \mathbb{R}$,$I$ 为区间,若 $\forall x_1,x_2 \in I,\lambda \in (0,1)$,有 $f(\lambda x_1 + (1 – \lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1 – \lambda) f(x_2)$,则称 $f$ 是 $I$ 中的凸函数(下凸函数)。

(加上负号就是上凸函数,去掉等号就是严格凸函数)

等价定义 1:设 $f : I \to \mathbb{R}$,$\forall x_1,\cdots,x_n \in I,\forall \lambda_1,\cdots,\lambda_n \in (0,1),\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$ 成立,且 $f(\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_nx_n)$。(归纳法可证明等价)

等价定义 2:设 $f : I \to \mathbb{R}$,$\forall x_1,x_2,x \in I,x_1 < x < x$ 成立,有: $$ \dfrac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \dfrac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} $$ 凸性判别条件 1:设 $f : I \to \mathbb{R}$ 可导,则 $f$ 在 $I$ 中是凸函数 $\Leftrightarrow f^{\prime}$ 在 $I$ 中单调增。

凸性判别条件 2:设 $f : I \to \mathbb{R}$ $2$ 阶可导,则 $f$ 在 $I$ 中是凸函数 $\Leftrightarrow f^{\prime\prime} \ge 0$ 在 $I$ 内成立。

推论
$$
f(\dfrac{x_1 + \cdots +x_n}{n}) \le \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \\
\Rightarrow (\dfrac{x_1 + \cdots +x_n}{n})^p \le \dfrac{x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p}{n} \\
\dfrac{x_1 + \cdots +x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}
$$
Jesen 不等式
$$
f(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)\ (\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1)
$$

 

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