微积分笔记(11)——L’Hospital 法则和函数作图

微积分笔记(11)——L’Hospital 法则和函数作图

L’Hospital 法则

问题

已知 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A,\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$,则:

  1. 若 $B \not = 0(B \not = \infty)$,则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$。
  2. 若 $B = 0,A \not = 0$,则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$(不存在)。
  3. 若 $B = 0,A = 0$,则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 未定,称为 $\frac{0}{0}$ 型。
  4. 若 $B = \infty,A \not = \infty$,则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$。
  5. 若 $B = \infty,A = \infty$,则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 未定,称为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

L’Hospital 法则

设 $f,g$ 在 $(a,b)$ 内可导,且 $g^{\prime} \not = 0$,满足:

  1. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
  2. $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = L$(包括 $L = \infty$)

则 $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$。($\frac{0}{0}$ 型)

注 1:极限过程 $x \to a^+$ 也可换为其他极限过程,比如 $x \to b^-,x \to +\infty,x \to \infty$,只需要可导区间对应变化即可。

注 2:在法则中,如果 2 不成立,不能导出 $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}$ 不存在。

如果 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty$,则为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型,上述过程也正确。

证明:这里证明 $\frac{0}{0}$ 型。

不妨令 $f(a) = g(a) = 0$,则 $f,g \in C[a,b)$。

$\forall x \in (a,b)$,则 $f,g \in C[a,x]$ 且在 $(a,x)$ 内可导,$g^{\prime} \not = 0$。

有 Cauchy 中值定理,$\exists \xi \in (a,x)$ 使得:
$$
\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(x) – f(a)}{g(x) – g(a)} = \dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}
$$
令 $x \to a^+$,则 $\xi \to a^+$,从而 $\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} \to L$。

$\therefore \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$。$\square$

$\frac{\infty}{\infty}$ 型法则及证明

设函数 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U_0(a,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上可导,且满足:

  1. $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty$
  2. $g^{\prime}(x) \not = 0,\forall x \in U_0(a,\delta_0)$
  3. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = l$

则有
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = l
$$
证明:只对 $l \in \mathbb{R}$ 和 $x \to a^-$ 的情形证明。

$\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta_1 > 0,0 < \delta_1 < \delta_0$,当 $a - \delta_1 < \zeta < a$ 时,有:$$ \Bigg | \dfrac{f^{\prime}(\zeta)}{g^{\prime}(\zeta)} - l \Bigg | < \dfrac{\varepsilon}{3} $$对已经取定的 $\delta_1$ 及 $x \in (a - \delta_1,a)$,在 $[a - \delta_1,x]$ 上应用 Cauchy 中值定理,存在 $\xi \in [a - \delta_1,x]$,使: $$ \dfrac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} - l = \dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l $$ 这里的 $x_1 = a - \delta_1,\xi \in (a - \delta_1,a)$。上式可化为: $$ f(x) - f(x_1) - l[g(x) - g(x_1)] = [\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l][g(x) - g(x_1)] $$ 整理得: $$ f(x) - lg(x) = [f(x_1) - lg(x_1)] + [\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l][g(x) - g(x_1)] $$ 在上式两边同除以 $g(x)$,可得: $$ \dfrac{f(x)}{g(x)} - l = [\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l][1 - \dfrac{g(x_1)}{g(x)}] + \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} $$ 又由于 $\lim\limits_{x \to a^-} g(x) = \infty$,故对固定的 $x_1$,有: $$ \lim_{x \to a^-} \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} = 0,\lim_{x \to a^-} \dfrac{g(x_1)}{g(x)} = 0 $$ 所以 $\exists \delta_2(0 < \delta_2 < \delta_1)$,使得当 $a - \delta_2 < x < a$ 时,有: $$ \Bigg | \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} \Bigg | < \dfrac{\varepsilon}{2},\Bigg | \dfrac{g(x_1)}{g(x)} \Bigg | < \dfrac{1}{2} $$ 令 $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$,则当 $a - \delta < x < a$ 时,有: $$ \Bigg | \dfrac{f(x)}{g(x)} - l \Bigg| \le \Bigg | \dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l \Bigg | \Bigg | 1 - \dfrac{g(x_1)}{g(x)} \Bigg | + \Bigg | \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} \Bigg | \\ < \frac{3}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$ 因此 $\lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)}{g(x)} = l$。$\square$:若 $f,g$ 在 $(b,+\infty)$ 可导,且 $g^{\prime} \not = 0$,$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$,则:
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
$$
(只要极限存在)

证明:取 $t = \frac{1}{x}$,则 $x \to +\infty$ 相当于 $t \to 0^+$。
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})} \\
(f(\frac{1}{t}))^{\prime} = f^{\prime}(\frac{1}{t})(- \frac{1}{t^2}) \\
(g(\frac{1}{t}))^{\prime} = g^{\prime}(\frac{1}{t})(- \frac{1}{t^2}) \\
\therefore \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f^{\prime}(\frac{1}{t})}{g^{\prime}(\frac{1}{t})} = \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = L \ \square
$$

应用

下面列举了一些应用(应用了 $0 \cdot \infty$ 和 $\infty – \infty$ 和 $0^0$ 和 $1^{\infty}$ 的变形):
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3} = \frac{1}{2} \\
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \ (a > 0) \\
\lim_{x \to 0} x^a \ln |x| = 0 \ (a > 0) \\
\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} – \frac{1}{e^x-1}) = \frac{1}{2} \\
\lim_{x \to 0} (1 – \cos x)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1 – \cos x)}{\ln x}} = e^2 \\
\lim_{x \to -0} (\cos \sqrt{x^3})^{\frac{1}{x – \tan x}} = e^{\large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (\cos \sqrt{x^3})}{x – \tan x}} = e^{\frac{3}{2}}
$$

函数作图

曲线作图步骤($y = f(x)$ 的图像)

  1. 函数的定义域
  2. 检查函数的对称性:奇函数、偶函数、周期函数
  3. 检查曲线的渐近线:垂直,水平,斜渐近线
  4. 函数的增减区间——研究 $f^{\prime}$ 的符号
  5. 函数的上下凸区间——研究 $f^{\prime\prime}$ 的符号
  6. 计算函数的关键点的值
  7. 根据上述信息作图(整理成表格后画图)

渐近线

以下极限中的正负都表示或。

垂直:若 $\lim\limits_{x \to a^{\pm}} f(x) = \infty$,则 $x = a$ 是 $y = f(x)$ 的垂直渐近线。

水平:若 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = b$,则 $y = b$ 是 $y = f(x)$ 的水平渐近线。

:若 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$,则 $y = ax + b$ 是 $y = f(x)$ 的斜渐近线。($a \not = 0$)

反之,假设 $y = ax + b$ 为斜渐近线,$a,b$ 待定,则 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x) – ax – b}{x} = 0$,即 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} (\dfrac{f(x)}{x} – a -\dfrac{b}{x}) = 0$,$\therefore a = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x},b = \lim\limits_{x \to \pm \infty}[f(x) – ax]$。

拐点

上下凸发生改变的点($x = x_0,f^{\prime\prime}(x_0) = 0$)。

 

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