wzf2000 离散数学笔记（8）——群论
Contents
代数结构（代数系统）
代数系统的概念
可消去性
设 $\star$ 是 $X$ 上的二元运算，$a \in X$，如果对任何 $x,y \in X$，有：
$$
a \star x = a \star y
$$
或者：
$$
x \star a = y \star a
$$
则必有 $x = y$，则称 $a$ 在 $X$ 上可消去。
可消去判定法：如果 $X$ 上存在单位元 $e$，且 $a$ 存在逆元 $a^{-1}$，则 $a$ 在 $X$ 上可消去。
（证明略）
分配律
设 $\star$ 和 $\circ$ 都是 $X$ 上的二元运算，若对任何 $x,y,z \in X$，有：
$$
x \star (y \circ z) = (x \star y) \circ (x \star z) \\
(x \circ y) \star z = (x \star z) \circ (y \star z)
$$
则称 $\star$ 对 $\circ$ 可分配。
吸收律
设 $\star$ 和 $\circ$ 都是 $X$ 上的二元运算，若对任何 $x,y \in X$，有：
$$
x \star (x \circ y) = x \\
x \circ (x \star y) = x
$$
则 $\star$ 和 $\circ$ 满足吸收律。
半群和独异点（幺群）
半群
$S$ 是个非空集合，$\star$ 是 $S$ 上的二元运算，如果：
- 运算 $\star$ 是封闭的；
- 运算 $\star$ 在 $S$ 上满足结合律；
则称 $\langle S,\star \rangle$ 是半群。
可交换的半群称为交换半群。
如果 $\star$ 在半群某子集上封闭，则称该子集为子半群。
定理：设 $\langle S,\star \rangle$ 是半群，如果 $S$ 是有限集合，则必存在 $a \in S$，使得 $a \star a = a$。
独异点（幺群）
设 $\langle M,\star \rangle$ 是个半群，如果对 $\star$ 有单位元，则称 $\langle M,\star \rangle$ 是个独异点，也称它是幺群。
定理：设 $\langle S,\star,e \rangle$ 是独异点，且 $S$ 有限，则在关于 $\star$ 的运算表中，任何两行或两列都不相同。
群
群的定义
设 $\langle G,\star \rangle$ 是个代数系统，如果 $\star$ 满足封闭性、可结合、有单位元且每个元素可逆，则称它是个群。
有限群：令 $\langle G,\star \rangle$ 是群， $G$ 是有限集，则称它是有限群。
群的性质
- 群满足可消去性：由前述可消去判定法（定理 1）可知。
群方程可解性：
定理 2：设 $\langle G,\star \rangle$ 是个群，则对任何 $a,b \in G$：
- 存在唯一元素 $x \in G$，使得 $a \star x = b$；
- 存在唯一元素 $y \in G$，使得 $y \star a = b$。
群中无零元：
定理 3：设 $\langle G,\star,e \rangle$ 是个群，如果 $|G| \ge 2$，则 $G$ 中无零元。
群中除单位元外，无其他等幂元：
定理 4：设 $\langle G,\star,e \rangle$ 是个群，$G$ 中除单位元外，无其他等幂元。
定理 5：设 $\langle G,\star,e \rangle$ 是个群，对任何 $a,b \in G$，有：
- $(a^{-1})^{-1} = a$
- $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$
推论：设 $\langle G,\star,e \rangle$ 是个群，对任何 $a \in G$，有 $(a^n)^{-1} = (a^{-1})^n$。此外，$a^0 = e$。
有限群的运算表的特征：
定理 6：设 $\langle G,\star,e \rangle$ 是个有限群，则 $G$ 中每个元素在 $\star$ 运算表中的每一行（列）必出线且仅出现一次。
子群
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，如果 $\langle S,\cdot \rangle$ 满足：
- 任何 $a,b \in S$，$a \cdot b \in S$；（封闭）
- 单位元 $e \in S$；（有单位元）
- 任何 $a \in S$，$a^{-1} \in S$。（可逆）
则称 $\langle S,\cdot \rangle$ 是 $\langle G,\cdot \rangle$ 的子群，记 $S \le G$。
平凡子群与真子群
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$\langle \{e\},\cdot \rangle$ 和 $\langle G,\cdot \rangle$ 也是 $\langle G,\cdot \rangle$ 的子群，称之为 $\langle G,\cdot \rangle$ 的平凡子群。其余真子集构成的子群称之为真子群，记 $S < G$。
证明子群方法
- 用子群的定义。
定理：设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，如果 $\langle S,\cdot \rangle$ 满足：
- 任何 $a,b \in S$，有 $a \cdot b \in S$；（封闭）
- 任何 $a \in S$，$a^{-1} \in S$。（可逆）
则 $\langle S,\cdot \rangle$ 是 $\langle G,\cdot \rangle$ 的子群。
定理：设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$B$ 是 $G$ 的有限子集，如果 $\cdot$ 在 $B$ 上满足封闭性，则 $\langle B,\cdot \rangle$ 是 $\langle G,\cdot \rangle$ 的子群。
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，如果任何 $a,b \in S$，有 $a \cdot b^{-1} \in S$，则 $\langle S,\cdot \rangle$ 是 $\langle G,\cdot \rangle$ 的子群。
例题
群的阶
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，如果 $|G| = n$，则称 $\langle G,\cdot \rangle$ 是 $n$ 阶群，如果 $|G|$ 是无限的，则称 $\langle G,\cdot \rangle$ 是无限阶群。
所有的一、二、三阶群都同构。
群中元素的阶
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$a \in G$，使得 $a^n = e$ 的最小的正整数 $n$，称为 $a$ 的阶或周期，记为 $O(a) = n$。若没有这样的正整数存在，则称 $a$ 的阶是无限的，并记 $O(a) = \infty$。
定理：$\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$a \in G$，如果 $O(a) = n$，则 $a^k = e$ 当且仅当 $k = mn(m \in \mathbb{I})$。（$\mathbb{I}$ 表示整数集）
定理：有限群中，每个元素的阶是有限的。
定理：$O(a) = O(a^{-1})$。
特殊群
交换群（阿贝尔群、Abel 群）
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，运算 $\cdot$ 是可交换的，则称它是交换群。
定理：$\langle G,\cdot \rangle$ 是交换群，当且仅当对任何 $a,b \in G$，有 $(ab)(ab) = (aa)(bb)$，即 $(ab)^2=a^2b^2$ 。
定理：设 $\langle G,\cdot,e \rangle$ 是群，若除单位元外其他元素都是 $2$ 阶元，则 $G$ 是 Abel 群。
循环群
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，如果存在一个元素 $g \in G$，使得对每个 $x \in G$，都存在整数 $i$，有 $x = g^i$，则称 $\langle G,\cdot \rangle$ 是个循环群，并称 $g$ 是 $G$ 的生成元。即 $G = \{g^i|i \in \mathbb{I}\} = \langle g \rangle$，其中 $g^0 = e,g^{-i} = (g^{-1})^i$。
结论：生成元不唯一。（注，若群的元素个数至少为 $2$，则单位元不会是生成元）
定理 1：任何循环群都是 Abel 群。
定理 2：设 $\langle G,\cdot \rangle = \langle g \rangle$，$|G| = n$，则 $O(g) = n$，且 $G = \{g^1,g^2,\cdots,g^n = e\}$。
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