离散数学笔记(8)——群论

离散数学笔记(8)——群论

代数结构(代数系统)

代数系统的概念

可消去性

设 $\star$ 是 $X$ 上的二元运算,$a \in X$,如果对任何 $x,y \in X$,有:
$$
a \star x = a \star y
$$
或者:
$$
x \star a = y \star a
$$
则必有 $x = y$,则称 $a$ 在 $X$ 上可消去

可消去判定法:如果 $X$ 上存在单位元 $e$,且 $a$ 存在逆元 $a^{-1}$,则 $a$ 在 $X$ 上可消去。

(证明略)

分配律

设 $\star$ 和 $\circ$ 都是 $X$ 上的二元运算,若对任何 $x,y,z \in X$,有:
$$
x \star (y \circ z) = (x \star y) \circ (x \star z) \\
(x \circ y) \star z = (x \star z) \circ (y \star z)
$$
则称 $\star$ 对 $\circ$ 可分配

吸收律

设 $\star$ 和 $\circ$ 都是 $X$ 上的二元运算,若对任何 $x,y \in X$,有:
$$
x \star (x \circ y) = x \\
x \circ (x \star y) = x
$$
则 $\star$ 和 $\circ$ 满足吸收律

半群和独异点(幺群)

半群

$S$ 是个非空集合,$\star$ 是 $S$ 上的二元运算,如果:

  1. 运算 $\star$ 是封闭的;
  2. 运算 $\star$ 在 $S$ 上满足结合律;

则称 $<S,\star>$ 是半群

可交换的半群称为交换半群

如果 $\star$ 在半群某子集上封闭,则称该子集为子半群

定理:设 $<S,\star>$ 是半群,如果 $S$ 是有限集合,则必存在 $a \in S$,使得 $a \star a = a$。

54

独异点(幺群)

设 $<M,\star>$ 是个半群,如果对 $\star$ 有单位元,则称 $<M,\star>$ 是个独异点,也称它是幺群

定理:设 $<S,\star,e>$ 是独异点,且 $S$ 有限,则在关于 $\star$ 的运算表中,任何两行或两列都不相同。

55

群的定义

设 $<G,\star>$ 是个代数系统,如果 $\star$ 满足封闭性、可结合、有单位元且每个元素可逆,则称它是个群。

有限群:令 $<G,\star>$ 是群, $G$ 是有限集,则称它是有限群。

群的性质

  1. 群满足可消去性:由前述可消去判定法(定理 1)可知。

  2. 群方程可解性

    定理 2:设 $<G,\star>$ 是个群,则对任何 $a,b \in G$:

    1. 存在唯一元素 $x \in G$,使得 $a \star x = b$;
    2. 存在唯一元素 $y \in G$,使得 $y \star a = b$。

    56

  3. 群中无零元

    定理 3:设 $<G,\star,e>$ 是个群,如果 $|G| \ge 2$,则 $G$ 中无零元。

    57

  4. 群中除单位元外,无其他等幂元

    定理 4:设 $<G,\star,e>$ 是个群,$G$ 中除单位元外,无其他等幂元。

    58

  5. 定理 5:设 $<G,\star,e>$ 是个群,对任何 $a,b \in G$,有:

    1. $(a^{-1})^{-1} = a$
    2. $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$

    59

    推论:设 $<G,\star,e>$ 是个群,对任何 $a \in G$,有 $(a^n)^{-1} = (a^{-1})^n$。此外,$a^0 = e$。

  6. 有限群的运算表的特征

    定理 6:设 $<G,\star,e>$ 是个有限群,则 $G$ 中每个元素在 $\star$ 运算表中的每一行(列)必出线且仅出现一次。

    60

子群

设 $<G,\cdot>$ 是群,$S$ 是 $G$ 的非空子集,如果 $<S,\cdot>$ 满足:

  1. 任何 $a,b \in S$,$a \cdot b \in S$;(封闭)
  2. 单位元 $e \in S$;(有单位元)
  3. 任何 $a \in S$,$a^{-1} \in S$。(可逆)

则称 $<S,\cdot>$ 是 $<G,\cdot>$ 的子群,记 $S \le G$。

平凡子群与真子群

设 $<G,\cdot>$ 是群,$<\{e\},\cdot>$ 和 $<G,\cdot>$ 也是 $<G,\cdot>$ 的子群,称之为 $<G,\cdot>$ 的平凡子群。其余真子集构成的子群称之为真子群,记 $S < G$。

证明子群方法

  1. 用子群的定义。

  2. 定理:设 $<G,\cdot>$ 是群,$S$ 是 $G$ 的非空子集,如果 $<S,\cdot>$ 满足:

    1. 任何 $a,b \in S$,有 $a \cdot b \in S$;(封闭)
    2. 任何 $a \in S$,$a^{-1} \in S$。(可逆)

    则 $<S,\cdot>$ 是 $<G,\cdot>$ 的子群。

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  3. 定理:设 $<G,\cdot>$ 是群,$B$ 是 $G$ 的有限子集,如果 $\cdot$ 在 $B$ 上满足封闭性,则 $<B,\cdot>$ 是 $<G,\cdot>$ 的子群。

    62

  4. 设 $<G,\cdot>$ 是群,$S$ 是 $G$ 的非空子集,如果任何 $a,b \in S$,有 $a \cdot b^{-1} \in S$,则 $<S,\cdot>$ 是 $<G,\cdot>$ 的子群。

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例题

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群的阶

设 $<G,\cdot>$ 是群,如果 $|G| = n$,则称 $<G,\cdot>$ 是 $n$ 阶群,如果 $|G|$ 是无限的,则称 $<G,\cdot>$ 是无限阶群

所有的一、二、三阶群都同构。

群中元素的阶

设 $<G,\cdot>$ 是群,$a \in G$,使得 $a^n = e$ 的最小的正整数 $n$,称为 $a$ 的周期,记为 $O(a) = n$。若没有这样的正整数存在,则称 $a$ 的阶是无限的,并记 $O(a) = \infty$。

定理:$<G,\cdot>$ 是群,$a \in G$,如果 $O(a) = n$,则 $a^k = e$ 当且仅当 $k = mn(m \in \mathbb{I})$。($\mathbb{I}$ 表示整数集)

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定理:有限群中,每个元素的阶是有限的。

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定理:$O(a) = O(a^{-1})$。

特殊群

交换群(阿贝尔群、Abel 群)

设 $<G,\cdot>$ 是群,运算 $\cdot$ 是可交换的,则称它是交换群

定理:$<G,\cdot>$ 是交换群,当且仅当对任何 $a,b \in G$,有 $(ab)(ab) = (aa)(bb)$,即 $(ab)^2=a^2b^2$ 。

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定理:设 $<G,\cdot,e>$ 是群,若除单位元外其他元素都是 $2$ 阶元,则 $G$ 是 Abel 群。

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循环群

设 $<G,\cdot>$ 是群,如果存在一个元素 $g \in G$,使得对每个 $x \in G$,都存在整数 $i$,有 $x = g^i$,则称 $<G,\cdot>$ 是个循环群,并称 $g$ 是 $G$ 的生成元。即 $G = \{g^i|i \in \mathbb{I}\} = <g>$,其中 $g^0 = e,g^{-i} = (g^{-1})^i$。

结论:生成元不唯一。(注,若群的元素个数至少为 $2$,则单位元不会是生成元)

定理 1:任何循环群都是 Abel 群。

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定理 2:设 $<G,\cdot> = <g>$,$|G| = n$,则 $O(g) = n$,且 $G = \{g^1,g^2,\cdots,g^n = e\}$。

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