
微积分笔记(19)——可积函数的性质与分部积分
可积函数的性质(续)
保序性的推论
推论 1:设 f∈R[a,b],|f|∈R[a,b],则:
|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx
推论 2:设 f∈C[a,b],f≥0 不恒为 0,则:
∫baf(x)dx>0
(可以考虑设 f(x0)>0)
微积分基本定理
回忆
C[a,b]⊆R[a,b]——后面证明。
变上限积分
设 f∈C[a,b],∀x∈[a,b],f∈C[a,x],定义:
F(x)=∫xaf(t)dt
得到 F:[a,b]→R。
注:对于 f∈R[a,b],上述定义仍有意义。
导数(可导性):任取 Δx≠0,令 x,x+Δx∈[a,b]:
F(x+Δx)–F(x)Δx=1Δx[∫x+Δxaf(t)dt–∫xaf(t)dt]=1Δx[∫x+Δxaf(t)dt+∫axf(t)dt]=1Δx∫x+Δxxf(t)dt
由积分中值定理,∃ξ 在 x 与 x+Δx 之间,使得:
∫x+Δxxf(t)dt=f(ξ)Δx∴F(x+Δx)–F(x)Δx=f(ξ)
令 Δx→0,则 ξ→x,从而 f(ξ)→f(x),这说明 F′(x)=f(x) 存在。
结论:F 在 [a,b] 上处处可导,且 F′(x)=f(x)。(x 在区间端点时,理解为单侧导数)
从而 F∈C1[a,b]。
基本定理
- 设 f∈C[a,b],则:
ddx∫xaf(t)dt=f(x),∀x∈[a,b] 设 F∈C1[a,b],则:
∫baF′(x)dx=F(x)|ba
注:
- d∫xaf(t)dt=f(x)dx
若 f∈R[a,b],且在 x0∈(a,b) 点连续,则仍可得到:
ddx∫xaf(t)dt|x=x0=f(x0)
例题
求解:
ddt∫u(t)v(t)f(x)dx
其中 f∈C[a,b],u(t),v(t) 为可导函数,且 a≤u(t),v(t)≤b。
解:令:
F(u)=∫uaf(x)dx
则:
F(u)–F(v)=∫uaf(x)dx–∫vaf(x)dx=∫uvdxddt∫u(t)v(t)f(x)=ddt[F(u(t))–F(v(t))]=F′(u)u′(t)–F′(v)v′(t)
但 F′(u)=f(u),故原式即为:
f(u(t))u′(t)–f(v(t))v′(t)
分部积分与换元
定积分分部积分公式
由乘积导数公式 (uv)′=u′v+uv′,uv′=(uv)′–u′v。
在 [a,b] 上积分:
∫bau(x)v′(x)dx=u(x)v(x)|ba–∫bau′(x)v(x)dx
或写成:
∫baudv=uv|ba–∫bavdu
其中假设 u,v∈C1[a,b]。
例题
An=∫π20sinnxdx=Bn=∫π20cosnxdx={A2m=(2m–1)!!(2m)!!π2n=2mA2m+1=(2m)!!(2m+1)!!n=2m+1
No Comments