微积分笔记（19）——可积函数的性质与分部积分

wzf2000
2019年11月24日

微积分笔记（19）——可积函数的性质与分部积分

可积函数的性质（续）

保序性的推论

推论 1：设 $f \in R[a,b]$，$|f| \in R[a,b]$，则：
$$
|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x| \le \int_a^b |f(x)| \mathrm{d} x
$$

推论 2：设 $f \in C[a,b],f \ge 0$ 不恒为 $0$，则：
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x >0
$$
（可以考虑设 $f(x_0) > 0$）

微积分基本定理

回忆

$C[a,b] \subseteq R[a,b]$——后面证明。

变上限积分

设 $f \in C[a,b]$，$\forall x \in [a,b]$，$f \in C[a,x]$，定义：
$$
F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d} t
$$
得到 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$。

注：对于 $f \in R[a,b]$，上述定义仍有意义。

导数（可导性）：任取 $\Delta x \not = 0$，令 $x,x + \Delta x \in [a,b]$：
$$
\dfrac{F(x + \Delta x) – F(x)}{\Delta x} = \dfrac{1}{\Delta x}[\int_a^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t – \int_a^x f(t) \mathrm{d} t] \\
= \dfrac{1}{\Delta x}[\int_a^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t + \int_x^a f(t) \mathrm{d} t] \\
= \dfrac{1}{\Delta x} \int_x^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t
$$
由积分中值定理，$\exists \xi$ 在 $x$ 与 $x + \Delta x$ 之间，使得：
$$
\int_x^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t= f(\xi) \Delta x \\
\therefore \dfrac{F(x + \Delta x) – F(x)}{\Delta x} = f(\xi)
$$
令 $\Delta x \to 0$，则 $\xi \to x$，从而 $f(\xi) \to f(x)$，这说明 $F^{\prime}(x) = f(x)$ 存在。

结论：$F$ 在 $[a,b]$ 上处处可导，且 $F^{\prime}(x) = f(x)$。（$x$ 在区间端点时，理解为单侧导数）

从而 $F \in C^1 [a,b]$。

基本定理

1. 设 $f \in C[a,b]$，则：
   $$
   \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int_a^x f(t) \mathrm{d} t = f(x),\forall x \in [a,b]
   $$

2. 设 $F \in C^1 [a,b]$，则：
   $$
   \int_a^b F^{\prime}(x) \mathrm{d} x = F(x) \Big|_a^b
   $$

注：

1. $$
   \mathrm{d}\int_a^x f(t) \mathrm{d} t = f(x) \mathrm{d} x
   $$

2. 若 $f \in R[a,b]$，且在 $x_0 \in (a,b)$ 点连续，则仍可得到：
   $$
   \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t \Big |_{x = x_0} = f(x_0)
   $$

例题

求解：
$$
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{v(t)}^{u(t)} f(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $f \in C[a,b]$，$u(t),v(t)$ 为可导函数，且 $a \le u(t),v(t) \le b$。

解：令：
$$
F(u) = \int_a^u f(x) \mathrm{d} x
$$
则：
$$
F(u) – F(v) = \int_a^u f(x) \mathrm{d} x – \int_a^v f(x) \mathrm{d} x = \int_v^u \mathrm{d} x \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{v(t)}^{u(t)} f(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[F(u(t)) – F(v(t))] \\
= F^{\prime}(u) u^{\prime}(t) – F^{\prime}(v) v^{\prime}(t)
$$
但 $F^{\prime}(u) = f(u)$，故原式即为：
$$
f(u(t)) u^{\prime}(t) – f(v(t)) v^{\prime}(t)
$$

分部积分与换元

定积分分部积分公式

由乘积导数公式 $(uv)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}$，$uv^{\prime} = (uv)^{\prime} – u^{\prime} v$。

在 $[a,b]$ 上积分：
$$
\int_a^b u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x = u(x)v(x) \Big |_a^b – \int_a^b u^{\prime}(x) v(x) \mathrm{d} x
$$
或写成：
$$
\int_a^b u \mathrm{d} v = uv \Big |_a^b – \int_a^b v \mathrm{d} u
$$
其中假设 $u,v \in C^1 [a,b]$。

例题

$$
A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d} x = B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \mathrm{d} x =
\left\{
\begin{array}{ll}
A_{2m} = \dfrac{(2m – 1)!!}{(2m)!!} \dfrac{\pi}{2} & n = 2m \\
A_{2m + 1} = \dfrac{(2m)!!}{(2m + 1)!!} & n = 2m + 1
\end{array}
\right.
$$

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