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微积分笔记(19)——可积函数的性质与分部积分

微积分笔记(19)——可积函数的性质与分部积分

可积函数的性质(续)

保序性的推论

推论 1:设 fR[a,b]|f|R[a,b],则:
|baf(x)dx|ba|f(x)|dx

推论 2:设 fC[a,b],f0 不恒为 0,则:
baf(x)dx>0
(可以考虑设 f(x0)>0

微积分基本定理

回忆

C[a,b]R[a,b]——后面证明。

变上限积分

fC[a,b]x[a,b]fC[a,x],定义:
F(x)=xaf(t)dt
得到 F:[a,b]R

:对于 fR[a,b],上述定义仍有意义。

导数(可导性):任取 Δx0,令 x,x+Δx[a,b]
F(x+Δx)F(x)Δx=1Δx[x+Δxaf(t)dtxaf(t)dt]=1Δx[x+Δxaf(t)dt+axf(t)dt]=1Δxx+Δxxf(t)dt
由积分中值定理,ξxx+Δx 之间,使得:
x+Δxxf(t)dt=f(ξ)ΔxF(x+Δx)F(x)Δx=f(ξ)
Δx0,则 ξx,从而 f(ξ)f(x),这说明 F(x)=f(x) 存在。

结论F[a,b] 上处处可导,且 F(x)=f(x)。(x 在区间端点时,理解为单侧导数)

从而 FC1[a,b]

基本定理

  1. fC[a,b],则:
    ddxxaf(t)dt=f(x),x[a,b]

  2. FC1[a,b],则:
    baF(x)dx=F(x)|ba

  1. dxaf(t)dt=f(x)dx

  2. fR[a,b],且在 x0(a,b) 点连续,则仍可得到:
    ddxxaf(t)dt|x=x0=f(x0)

例题

求解:
ddtu(t)v(t)f(x)dx
其中 fC[a,b]u(t),v(t) 为可导函数,且 au(t),v(t)b

:令:
F(u)=uaf(x)dx
则:
F(u)F(v)=uaf(x)dxvaf(x)dx=uvdxddtu(t)v(t)f(x)=ddt[F(u(t))F(v(t))]=F(u)u(t)F(v)v(t)
F(u)=f(u),故原式即为:
f(u(t))u(t)f(v(t))v(t)

分部积分与换元

定积分分部积分公式

由乘积导数公式 (uv)=uv+uvuv=(uv)uv

[a,b] 上积分:
bau(x)v(x)dx=u(x)v(x)|babau(x)v(x)dx
或写成:
baudv=uv|babavdu
其中假设 u,vC1[a,b]

例题

An=π20sinnxdx=Bn=π20cosnxdx={A2m=(2m1)!!(2m)!!π2n=2mA2m+1=(2m)!!(2m+1)!!n=2m+1

 

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