微积分笔记(18)——定积分及计算初步

微积分笔记(18)——定积分及计算初步

函数的(定)积分

积分的概念

问题 1:曲边梯形的面积

设 $f \in C[a,b]$,$f \ge 0$,记:
$$
D = \{(x,y) | 0 \le y \le f(x),a \le x \le b \}
$$
称为曲边梯形。求 $D$ 的面积 $A =$?

方法:分割为“长方形”面积叠加。

  1. 任取 $[a,b]$ 有限分割,记为 $T : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$。令 $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1},\|T\| = \max_{i=1}^n \Delta x_i$——$T$ 的”宽度“。

  2. 相应得到 $D$ 的分割 $\Delta D_i,i = 1,2,\cdots,n$,其面积 $\Delta A_i \thickapprox f(\xi_i) \Delta x_i$,$\xi_i \in [x_{i – 1},x_i]$ 任取。

    从而 $A = \sum\limits_{i = 1}^{n} \Delta A_i \thickapprox \sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$。

  3. 分割越细,精度越高,令 $\|T\| \to 0$(无限加细),$A = \lim\limits_{\|T\| \to 0}\sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$。

问题 2:变速直线运动质点的位移

已知某质点沿直线运动的速度 $v(t)$,$t$ 表示时间。

求在 $[\alpha,\beta]$ 时段内质点的位移 $s =$?

方法:用分段匀速近似叠加。

  1. 将时段 $[\alpha,\beta]$ 任意有限分割,记为 $T : \alpha = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n=\beta$。记 $\Delta t_i = t_i - t_{i - 1},\|T\| = \max_{i=1}^{n} \Delta t_i$。

  2. 在 $[t_{i – 1},t_i]$ 时段质点位移 $\Delta s_i \thickapprox v(\tau_i)\Delta t_i,\tau_i \in [t_{i – 1},t_i]$ 任意。

    从而 $s = \sum\limits_{i = 1}^{n} \Delta s_i \thickapprox \sum\limits_{i = 1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_i$。

  3. 令 $\|T\| \to 0$,得到 $s = \lim\limits_{\|T\| \to 0} \sum\limits_{i = 1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_i$。

Riemann 积分

设 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$,$I \in \mathbb{R}$。

如果 $\forall \varepsilon > 0$,$\exists \delta > 0$,使得 $[a,b]$ 上任意有限分割 $T$,只要 $\|T\| < \delta$,就有: $$ |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i - I| < \varepsilon, \forall \xi_i \in [x_{i - 1},x_i] $$ 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积,记为 $f \in R[a,b]$。

又记:

$$
I = \lim\limits_{\|T\| \to 0}\sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i
\\ = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\int$ 为积分号,$b$ 为积分上限,$a$ 为积分下限,$f(x)$ 为被积函数,$x$ 为积分变量。

:上述积分表达式表示的是一个数,而类似的不定积分却代表的是一族函数,这里的积分变量改为 $t$ 或者别的不会改变数值。

几何意义

$y = f(x)$ 围成的邮箱面积。

$A = A^+ – A^-$,$A^+$ 代表 $y = f(x)$ 在 $x$ 轴上方围出的面积,$A^-$ 代表 $y = f(x)$ 在 $x$ 轴下方围出的面积。

积分的性质

  1. 线性性质:设 $f,g \in R[a,b]$,$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$,则 $\alpha f + \beta g \in R[a,b]$,且:
    $$
    \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \mathrm{d} x = \alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d} x + \beta \int_a^b g(x) \mathrm{d} x
    $$

  2. 保序(保号)性质:设 $f \ge 0$,$f \in R[a,b]$,则:
    $$
    \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ge 0
    $$

    推论:设 $f,g \in R[a,b]$,且 $f \le g$,则:
    $$
    \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b g(x) \mathrm{d} x
    $$

  3. 区间可加性:令 $a < c < b$,则 $f \in R[a,b] \Leftrightarrow f \in R[a,c] \land f \in R[c,b]$,此时: $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x $$ (后面会证明)

规定
$$
\int_a^a f(x) \mathrm{d} x = 0
$$
并对于 $a < b$,规定: $$ \int_b^a f(x) \mathrm{d} x = - \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$ 推论 1
$$
\int_b^a f(x) \mathrm{d} x + \int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^a f(x) \mathrm{d} x = 0
$$
推论 2:令 $a < c < b$,$f \in R[a,b]$,则: $$ \int_a^c f(x) \mathrm{d} x = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x + \int_{b}^c f(x) \mathrm{d} x $$ 故 $a,b,c$ 三者大小可任意,只需 $f$ 在最大的区间上可积。

积分计算初步(已知 $f \in R[a,b]$)

  1. 用定义:写出分割-和式,求极限。

    $\Delta x = \dfrac{b – a}{n},x_i = a + i \Delta x,i = 0,1,2,\cdots,n$
    $$
    \sum_{i = 1}^{n} f(\overline{x_i}) \Delta x = \Delta x \sum_{i = 1}^{n} f(\overline{x_i}),\overline{x_i} \in [x_{i – 1},x_i] \\
    \longrightarrow \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
    $$

  2. 利用积分的几何意义:
    $$
    A = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \longrightarrow y = f(x),y = 0,x = a,x = b \text{ 围成的面积}
    $$

Newton-Leibniz 公式

设 $f \in R[a,b]$,$F \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导,为 $f$ 在 $(a,b)$ 内的原函数,则:
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = F(b) – F(a) = F(x) \Big |_a^b
$$
推论
$$
\int_a^b F^{\prime}(x) \mathrm{d} x = F(x) \Big |_a^b \\
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int f(x) \mathrm{d} x \Big |_a^b
$$
证明:取分割 $T : \Delta x = \dfrac{b – a}{n},x_i = a + i \Delta x$。
$$
F(b) – F(a) = F(x_n) – F(x_0) = \sum_{i = 1}^n [F(x_i) – F(x_{i – 1})]
$$
已知 $F \in C[x_{i – 1},x_i]$ 且在 $(x_{i – 1},x_i)$ 可导,应用 Lagrange 中值定理,$\exists \xi_i \in (x_{i – 1},x_i)$ 使 $F(x_i) – F(x_{i – 1}) = F^{\prime}(\xi_i) \Delta x = f(\xi_i) \Delta x$。
$$
\therefore F(b) – F(a) = \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x
$$
已知 $f \in R[a,b]$,令 $n \to \infty$,$\|T\| \to 0$,从而:

$$
\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x \to \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
$\therefore F(b) – F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ \square$

问题:什么样的 $f$ 才是 Riemann 可积?

部分回答:$C[a,b] \subseteq R[a,b]$——后面证明。

可积函数的性质

必要条件

设 $f \in R[a,b]$,则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

证明:对于 $\varepsilon = 1$,$\exists$ 分段 $T : \Delta x = \dfrac{b-a}{n} < \delta,x_i = a + i \Delta x$,则: $$ |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x - I| < 1 \\ |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x| \le |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x - I| + |I| \le 1 + |I| $$ 从而: $$ |f(\xi_1) \Delta x| \le |\sum_{i = 2}^{n} f(\xi_i) \Delta x| + |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x| \le |\sum_{i = 2}^{n} f(\xi_i) \Delta x| + |I| + 1 \\ \therefore |f(\xi_1)| \le \dfrac{1}{\Delta x} (|\sum_{i = 2}^{n} f(\xi_i) \Delta x| + |I| + 1) = M_1 $$ 即 $|f(x)| \le M_1,\forall x \in [x_0,x_1]$。依次递推,可得 $|f(x)| \le M_i,\forall x \in [x_{i - 1},x_i],i = 1,2,\cdots,n$ $$ \therefore |f(x)| \le M = \max \{M_1,\cdots,M_n\} \ \square $$ :逆命题不成立(有界未必可积),比如 Dirichlet 函数。

积分中值(平均值)定理

设 $f,g \in C[a,b]$ 且 $g$ 不变号,则 $\exists \xi \in [a,b]$ 使:
$$
\int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x = f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x
$$
证明:不妨令 $g(x) \ge 0$,从而:
$$
\int_a^b g(x) \mathrm{d} x \ge 0
$$
取 $m = \min\limits_{x \in [a,b]} f(x),M = \max\limits_{x \in [a,b]}f(x)$,则:
$$
m \le f(x) \le M,\forall x \in [a,b] \\
mg(x) \le f(x)g(x) \le Mg(x) \\
\int_a^b mg(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b Mg(x) \mathrm{d} x
$$
不妨令:
$$
\int_a^b g(x) \mathrm{d} x > 0
$$
则:

$$
m \le \dfrac{\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x}{\int_a^b g(x) \mathrm{d} x} \le M
$$

由介值性质即得 $\exists \xi$ 使得结论成立。$\square$

 

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