wzf2000 线性代数笔记（12）——行列式
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行列式
给定一个 $n$ 阶矩阵 $A$，我们来定义 $A$ 的行列式 $\det A = |A|$，它是一个数。
因此，行列式可以理解为一个函数：
$$
M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}
$$
二阶行列式的几何含义
设 $A = (\alpha,\beta)$，$\det A$ 即为平行四边形 $S$ 的”有向“面积。
从 $\alpha$ 到 $\beta$ 是逆时针取 $+$，否则取 $-$，则 $\det A = |\alpha,\beta|$。
性质：
- $k \Bigg |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} ka & b \\ kc & d \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} a & kb \\ c & kd \end{matrix} \Bigg |$
- $\Bigg |\begin{matrix} a & b_1 + b_2 \\ c & d_1 + d_2 \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} a & b_1 \\ c & d_1 \end{matrix} \Bigg | + \Bigg |\begin{matrix} a & b_2 \\ c & d_2 \end{matrix} \Bigg |$
- $\Bigg |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \Bigg | = - \Bigg |\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix} \Bigg |$
一般行列式的定义
满足：
- $|I_n| = \det (I_n) = 1$。
- 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),B = (\alpha_1,\cdots,k\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$，则 $k \det(A) = \det(B)$。
- 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),A' = (\alpha_1,\cdots,\alpha_i',\cdots,\alpha_n),B = (\alpha_1,\cdots,\alpha_i + \alpha_i',\cdots,\alpha_n)$，则 $\det(B) = \det(A) + \det(A')$。
- $\det(A) = \det(A^T)$。
- 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，交换 $A$ 的任意两列得到矩阵 $C$，则 $\det(A) = - \det(C)$。
注：
- 有第 4 条可知，以上性质对“行”也有类似性质。
- 通过第 1、2、3 和 5 条就可以定义行列式。
行列式和初等变换
根据上述定义可以有以下推论：
- 设 $A$ 的两行（列）成比例，则 $\det A = 0$。
- 将 $A$ 的某一行（列）乘上一倍数加到另一行（列），得到矩阵 $A'$，则 $\det A = \det A'$。（行倍乘变换不改变行列式）
再根据定义，可以得到各种初等行变换对矩阵行列式的影响。
定理：设 $A$ 通过初等行变换 $E$，得到 $A'$，即 $A' = EA$，则 $|A'| = |E| \cdot |A|$。
注：上（下）三角形的行列式 $|A|$ 等于对角线元素相乘。
推论：
- 设 $A$ 是一 $n$ 阶方阵，$|A| \not = 0 \Leftrightarrow A$ 可逆。
- 设 $A,B$ 是两 $n$ 阶方阵，则 $|AB| = |A| \cdot |B|$。
- 若 $A$ 可逆，则 $\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1}$。
第一条证明考虑设出行变换 $E$ 使得 $EA = U$，根据 $\det U = 0$ 得出 $\det A = 0$。
第二条通过 $B$ 不可逆时 $\dfrac{|AB|}{|B|}$ 满足 $A$ 的行列式的要求，得出 $|A| \cdot |B| = |AB|$。
第三条由第二条立即可知，进一步可知正交阵的行列式只能为 $\pm 1$。
行列式的计算
行列式计算公式和展开定理
方法 1：
$$
|A| = \sum_{P} (-1)^{r(P)} \prod_{i = 1}^n a_{iP_i}
$$
其中 $P$ 表示枚举 $1 \sim n$ 的所有排列，$r(P)$ 表示排列 $P$ 的逆序（对）数，也就是满足 $i < j,P_i > P_j$ 的 $(i,j)$ 的对数。
定义奇（偶）排列为 $r(P)$ 为奇（偶）数的排列。
注：交换排列中两个数的位置，这种操作称为对换。一次对换会使得奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。
方法 2：
将 $A$ 行列消去，在写成 $n - 1$ 阶行列式的组合，这样可以递归计算。
定义：设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，$M_{ij}$ 是 $A$ 划去第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $n - 1$ 阶矩阵。
$\det M_{ij}$ 称为余子式。
$C_{ij} = (-1)^{i + j} \det M_{ij}$ 称为代数余子式。
定理：
$$
|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \\
= a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}
$$
范德蒙德行列式
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_1^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n - 1} & x_2^{n - 1} & \cdots & x_n^{n - 1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)
$$
典型例题
设 $A_{m \times n},B_{n \times m}$，则 $|I_m - AB| = |I_n - BA|$。
证明：
$$
\begin{pmatrix}
I_m & 0 \\
-B & I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
B & I_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n - BA
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
B & I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m & 0 \\
-B & I_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_m - AB & A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
$$
而（考虑行列式计算公式）：
$$
\begin{vmatrix}
A & B \\
0 & C
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
A & 0 \\
B & C
\end{vmatrix}
= |A| |C|
$$
故：
$$
\begin{vmatrix}
I_m & A \\
B & I_n
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n - BA
\end{vmatrix}
= |I_n - BA|
=
\begin{vmatrix}
I_m - AB & A \\
0 & I_n
\end{vmatrix}
= |I_m - AB|
$$
推广：$|\lambda I_m - AB| = \lambda^{m - n} |\lambda I_n - BA|,\lambda \not = 0$
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