线性代数笔记(12)——行列式

线性代数笔记(12)——行列式

行列式

给定一个 $n$ 阶矩阵 $A$,我们来定义 $A$ 的行列式 $\det A = |A|$,它是一个数。

因此,行列式可以理解为一个函数:
$$
M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}
$$

二阶行列式的几何含义

设 $A = (\alpha,\beta)$,$\det A$ 即为平行四边形 $S$ 的”有向“面积。

从 $\alpha$ 到 $\beta$ 是逆时针取 $+$,否则取 $-$,则 $\det A = |\alpha,\beta|$。

性质

  1. $k \Bigg |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} ka & b \\ kc & d \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} a & kb \\ c & kd \end{matrix} \Bigg |$
  2. $\Bigg |\begin{matrix} a & b_1 + b_2 \\ c & d_1 + d_2 \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} a & b_1 \\ c & d_1 \end{matrix} \Bigg | + \Bigg |\begin{matrix} a & b_2 \\ c & d_2 \end{matrix} \Bigg |$
  3. $\Bigg |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \Bigg | = – \Bigg |\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix} \Bigg |$

一般行列式的定义

满足:

  1. $|I_n| = \det (I_n) = 1$。
  2. 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),B = (\alpha_1,\cdots,k\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$,则 $k \det(A) = \det(B)$。
  3. 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),A’ = (\alpha_1,\cdots,\alpha_i’,\cdots,\alpha_n),B = (\alpha_1,\cdots,\alpha_i + \alpha_i’,\cdots,\alpha_n)$,则 $\det(B) = \det(A) + \det(A’)$。
  4. $\det(A) = \det(A^T)$。
  5. 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$,交换 $A$ 的任意两列得到矩阵 $C$,则 $\det(A) = – \det(C)$。

  1. 有第 4 条可知,以上性质对“行”也有类似性质。
  2. 通过第 1、2、3 和 5 条就可以定义行列式。

行列式和初等变换

根据上述定义可以有以下推论:

  1. 设 $A$ 的两行(列)成比例,则 $\det A = 0$。
  2. 将 $A$ 的某一行(列)乘上一倍数加到另一行(列),得到矩阵 $A’$,则 $\det A = \det A’$。(行倍乘变换不改变行列式)

再根据定义,可以得到各种初等行变换对矩阵行列式的影响。

定理:设 $A$ 通过初等行变换 $E$,得到 $A’$,即 $A’ = EA$,则 $|A’| = |E| \cdot |A|$。

上(下)三角形的行列式 $|A|$ 等于对角线元素相乘。

推论

  1. 设 $A$ 是一 $n$ 阶方阵,$|A| \not = 0 \Leftrightarrow A$ 可逆。
  2. 设 $A,B$ 是两 $n$ 阶方阵,则 $|AB| = |A| \cdot |B|$。
  3. 若 $A$ 可逆,则 $\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1}$。

第一条证明考虑设出行变换 $E$ 使得 $EA = U$,根据 $\det U = 0$ 得出 $\det A = 0$。

第二条通过 $B$ 不可逆时 $\dfrac{|AB|}{|B|}$ 满足 $A$ 的行列式的要求,得出 $|A| \cdot |B| = |AB|$。

第三条由第二条立即可知,进一步可知正交阵的行列式只能为 $\pm 1$。

行列式的计算

行列式计算公式和展开定理

方法 1
$$
|A| = \sum_{P} (-1)^{r(P)} \prod_{i = 1}^n a_{iP_i}
$$
其中 $P$ 表示枚举 $1 \sim n$ 的所有排列,$r(P)$ 表示排列 $P$ 的逆序(对)数,也就是满足 $i < j,P_i > P_j$ 的 $(i,j)$ 的对数。

定义奇(偶)排列为 $r(P)$ 为奇(偶)数的排列。

:交换排列中两个数的位置,这种操作称为对换。一次对换会使得奇排列变为偶排列,偶排列变为奇排列。

方法 2

将 $A$ 行列消去,在写成 $n – 1$ 阶行列式的组合,这样可以递归计算。

定义:设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$,$M_{ij}$ 是 $A$ 划去第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $n – 1$ 阶矩阵。

$\det M_{ij}$ 称为余子式

$C_{ij} = (-1)^{i + j} \det M_{ij}$ 称为代数余子式

定理
$$
|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \\
= a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}
$$

范德蒙德行列式

$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_1^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n – 1} & x_2^{n – 1} & \cdots & x_n^{n – 1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) $$

典型例题

设 $A_{m \times n},B_{n \times m}$,则 $|I_m – AB| = |I_n – BA|$。

证明
$$
\begin{pmatrix}
I_m & 0 \\
-B & I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
B & I_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n – BA
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
I_m & A \\
B & I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m & 0 \\
-B & I_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_m – AB & A \\
0 & I_n
\end{pmatrix}
$$
而(考虑行列式计算公式):
$$
\begin{vmatrix}
A & B \\
0 & C
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
A & 0 \\
B & C
\end{vmatrix}
= |A| |C|
$$
故:
$$
\begin{vmatrix}
I_m & A \\
B & I_n
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
I_m & A \\
0 & I_n – BA
\end{vmatrix}
= |I_n – BA|
=
\begin{vmatrix}
I_m – AB & A \\
0 & I_n
\end{vmatrix}
= |I_m – AB|
$$
推广:$|\lambda I_m – AB| = \lambda^{m – n} |\lambda I_n – BA|,\lambda \not = 0$

 

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