离散数学笔记(9)——代数系统(续)

离散数学笔记(9)——代数系统(续)

Contents

代数结构(代数系统)

陪集与 Lagrange 定理

子群的陪集

设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群,$H \le G$,在 $G$ 的元素之间确定一个二元关系 $R$:

对 $\forall a,b \in G$,$\langle a,b \rangle \in R \Leftrightarrow a^{-1}b \in H$。

则 $R$ 是 $G$ 的二元关系,且是等价关系,因此 $R$ 可以唯一确定 $G$ 的一个划分,其划分就是子群 $H$ 的陪集

左(右)陪集

设 $H \le G$,对任意 $a \in G$,定义集合:
$$
aH = \{a \cdot h | h \in H\} \\
Ha = \{h \cdot a | h \in H\}
$$
称为由 $a$ 确定的 $H$ 在 $G$ 中的左(右)陪集

结论:一般 $aH \not = Ha$,但若运算 $\cdot$ 满足交换律,则 $aH = Ha$。

陪集的性质

设 $H \le G$,则:

  1. $H = eH,a \in aH$

    75

  2. $|aH| = |H|$

    76

  3. $a \in H \Leftrightarrow aH = H$

    77

  4. 对 $\forall x \in aH$,有 $aH = xH$。

    78

  5. $aH = bH \Leftrightarrow a \in bH \lor b \in aH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H \lor a^{-1}b \in H$

    79

  6. 对任何 $a,b \in G$,有 $aH = bH$ 或者 $aH \cap bH = \varnothing$

    80

子群的指数

设 $G$ 是群,$H \le G$,$S_L = \{aH | a \in G\}$,$S_R = \{Ha | a \in G\}$,则存在 $S_L$ 到 $S_R$ 的双射。

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定义:设 $G$ 是群,$H \le G$,群 $G$ 关于 $H$ 的左(右)陪集个数,称为 $H$ 在 $G$ 中的指数,记为 $[G:H]$。

子群的阶数——Lagrange 定理

设 $G$ 是有限群,$H \le G$,则:
$$
|G| = |H| [G:H]
$$
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推论 1:设 $G$ 是有限群,$H \le G$,则 $|H| | |G|$。

推论 2:设 $G$ 是有限群,且 $|G| = n$,则对任意的 $a \in G$,有 $O(a) | n$ 且 $a^n = e$;若 $n$ 为素数,则 $G$ 为循环群。

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代数系统的同态与同构

定义

设 $\langle X,\star \rangle$ 和 $\langle Y,\circ \rangle$ 是两个代数系统,$\star$ 和 $\circ$ 都是二元运算,如果存在映射 $f : X \to Y$,使得对 $\forall x_1,x_2 \in X$,有 $f(x_1 \star x_2) = f(x_1) \circ f(x_2)$——同态(同构)关系式,则称 $f$ 是从 $\langle X,\star \rangle$ 到 $\langle Y,\circ \rangle$ 的同态映射, 简称这两个代数系统同态。记作 $X \backsim Y$,并称 $\langle f(x),\circ \rangle$ 为 $\langle X,\star \rangle$ 的同态像

如果 $f$ 是满射的,称此同态 $f$ 是满同态

如果 $f$ 是入射的,则称此同态 $f$ 是单一同态

如果 $f$ 是双射的,称 $\langle X,\star \rangle$ 与 $\langle Y,\circ \rangle$ 同构,记作 $X \stackrel{\backsim}{=} Y$。

如果 $f$ 是 $\langle X,\star \rangle$ 到 $\langle X,\star \rangle$ 的同态(同构),称之为自同态(同构)

代数系统的同构关系 $\stackrel{\backsim}{=}$ 是等价关系

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代数系统同构的性质

任何代数系统 $\langle X,\star \rangle$,$\langle Y,\oplus \rangle$,$X \stackrel{\backsim}{=} Y$,$f : X \to Y$ 是同构映射,任取 $x_1,x_2 \in X$,有 $f(x_1 \star x_2) = f(x_1) \oplus f(x_2)$。

  1. 保持结合律)如果运算 $\star$ 可结合,则运算 $\oplus$ 也可结合。

    86

  2. 保持交换律)如果运算 $\star$ 可交换,则运算 $\oplus$ 也可交换。

  3. 保持单位元存在性)如果运算 $\star$ 有单位元 $e_\star$,则运算 $\oplus$ 也有单位元 $e_\oplus$,且 $f(e_\star) = e_\oplus$。

    87

  4. 保持零元存在性)如果运算 $\star$ 有单位元 $\theta_\star$,则运算 $\oplus$ 也有单位元 $\theta_\oplus$,且 $f(\theta_\star) = \theta_\oplus$。

    88

  5. 保持逆元存在性)如果 $\langle X,\star \rangle$ 中每个 $x \in X$ 都可逆,即 $X^{-1} \in X$,则 $\langle Y,\oplus \rangle$ 中每个 $y \in Y$ 也可逆,即 $y^{-1} \in Y$。且如果 $y = f(x)$,则 $y^{-1} = (f(x))^{-1} = f(x^{-1})$。

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    定理 1:设 $f$ 是代数系统 $\langle X,\star \rangle$ 到代数系统 $\langle Y,\oplus \rangle$ 的同构映射,则:

    1. 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是半群,那么在 $f$ 的作用下,$\langle Y,\oplus \rangle$ 也是半群。
    2. 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是独异点,那么在 $f$ 的作用下,$\langle Y,\oplus \rangle$ 也是独异点。
    3. 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是群,那么在 $f$ 的作用下,$\langle Y,\oplus \rangle$ 也是群。

    定理 2:设 $f$ 是代数系统 $\langle X,\star \rangle$ 到代数系统 $\langle Y,\oplus \rangle$ 的同态映射,则:

    1. 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是半群,那么在 $f$ 的作用下,$\langle f(X),\oplus \rangle$ 也是半群。
    2. 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是独异点,那么在 $f$ 的作用下,$\langle f(X),\oplus \rangle$ 也是独异点。
    3. 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是群,那么在 $f$ 的作用下,$\langle f(X),\oplus \rangle$ 也是群。

    定义:令 $\langle X,+,\times \rangle$ 和 $\langle Y,\oplus,\blacklozenge \rangle$ 是含有两个运算的代数系统,其中 $+,\times,\oplus,\blacklozenge$ 都是二元运算,如果存在双射 $f : X \to Y$,使得对任何 $x_1,x_2 \in X$,满足:
    $$
    f(x_1 + x_2) = f(x_1) \oplus f(x_2) \\
    f(x_1 \times x_2) = f(x_1) \blacklozenge f(x_2)
    $$
    则称这两个代数系统同构。

  6. 保持分配律)如果运算 $+$ 对 $\times$ 可分配,则运算 $\oplus$ 对 $\blacklozenge$ 也可分配。

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  7. 保持吸收律)如果运算 $+$ 和 $\times$ 满足吸收律,则运算 $\oplus$ 和 $\blacklozenge$ 也满足吸收律。

    91

 

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