微积分笔记(17)——可有理化函数的原函数

微积分笔记(17)——可有理化函数的原函数

可有理化函数的原函数(续)

简单无理式的积分 1

$$
\int R(x,\sqrt[n]{ax + b}) \mathrm{d} x
$$

其中 $R(x,y)$ 为 $2$ 元有理函数。

方法:令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$,$x = \dfrac{t^n – b}{a}$,$\mathrm{d} x = \dfrac{n t^{n – 1}}{a} \mathrm{d} t$。

则化为:
$$
\int R(\dfrac{t^n – b}{a},t) \dfrac{n t^{n – 1}}{a} \mathrm{d} t
$$
可以看出为有理函数积分,求得积分后代回即可。

简单无理式的积分 2

$$
\int R(x,\sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}) \mathrm{d} x \ \ \ \ (ad \not = bc)
$$

方法:令 $t = \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}$,$t^n = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b – \frac{ad}{c}}{cx + d}$,$cx + d = \dfrac{b – \frac{ad}{c}}{t^n – \frac{a}{c}}$,$\mathrm{d} x = \dfrac{ad – bc}{(ct^n – a)^2} n t^{n – 1} \mathrm{d} t$。

原式化为:
$$
\int R(\dfrac{\dfrac{bc – ad}{ct^n – a} – d}{c},t) \dfrac{ad – bc}{(ct^n – a)^2} n t^{n – 1} \mathrm{d} t
$$

简单二次无理式积分

$$
\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \mathrm{d} x
$$

  1. 将 $\sqrt{ax^2 + bx + c}$ 化为 $\sqrt{q^2 \pm (x + p)^2}$ 或者 $\sqrt{(x+p)^2 – q^2}$。

  2. 三角换元:

    1. 对于 $\sqrt{q^2 – (x + p)^2}$,令 $x + p = q \sin t$,则 $|t| < \dfrac{\pi}{2}$,$\sqrt{q^2 - (x + p)^2} = q \cos t$,$\mathrm{d} x = q \cos t \mathrm{d} t$,原式可化为: $$ \int R(q \sin t - p,q \cos t)q \cos t \mathrm{d} t $$ 转化为了三角有理式积分。

    2. 对于 $\sqrt{q^2 + (x + p)^2}$,令 $x + p = q \tan t$,则 $\sqrt{q^2 + (x + p)^2} = q \sec t$,$\mathrm{d} x = q \sec^2 t \mathrm{d} t$,原式可化为:
      $$
      \int R(q \tan t – p,q \sec t) q \sec^2 t \mathrm{d} t
      $$
      转化为了三角有理式积分。

    3. 对于 $\sqrt{(x + p)^2 – q^2}$,令 $x + p = q \sec t$,$\sqrt{(x + p)^2 – q^2} = q \tan t,\mathrm{d} x = q \tan t \sec t \mathrm{d} t$,原式可化为:
      $$
      \int R(q \sec t – p,q \tan t) q \tan t \sec t \mathrm{d} t
      $$
      转化为了三角有理式积分。

小结

不定积分基本步骤

  1. 基本公式($10 \sim 20$ 个)
  2. 化简被积函数
  3. ”凑微分“——明显的积分换元
  4. 被积函数 $f(x)$ 分类处理:
    1. 有理函数
    2. 三角有理式
    3. 简单无理式
  5. 尝试分部积分:$f(x)$ 有 $e^x,\cos ax,\sin bx,\cdots$ 因子,或者 $xf^{\prime}(x)$ 容易积分,如$f(x) = \arctan x,\arcsin x,\cdots$。

 

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