线性代数笔记（13）——行列式应用

wzf2000
2019年12月2日

线性代数笔记（13）——行列式应用

行列式的各种应用

伴随矩阵

$$
A^* = \mathrm{adj}(A) =
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{pmatrix}
$$

称其为 $A$ 的伴随矩阵。

而 $(\mathrm{adj}(A))^T$ 称为 $A$ 的代数余子式矩阵。

定理：用一行元素乘上另一行元素的代数余子式的乘积和为 $0$。（显然可构造新矩阵）

求逆矩阵公式

定理：若 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \dfrac{\mathrm{adj}(A)}{|A|} = \dfrac{A^*}{|A|}$。

证明：根据前面的定理，可知：
$$
A \cdot A^* =
\begin{pmatrix}
|A| & 0 & \cdots & 0 \\
0 & |A| & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & |A|
\end{pmatrix}
= |A| \cdot I_n
$$
当 $A$ 可逆时，即可得结论成立。

求矩阵的秩

定理：矩阵 $A$ 的秩等于 $A$ 的非零子式的最高阶数。（$A$ 不一定是方阵）

注：$A$ 的 $m$ 阶子式是指取出 $A$ 中 $m$ 行 $m$ 列的交点按 $A$ 中顺序构成的 $m$ 阶方阵的行列式。

证明：记 $r(A) = r$，记 $A$ 中非零子式的最高阶数是 $s$。

不妨设 $A$ 的左上角 $s$ 阶子式不为零，知 $A$ 有 $s$ 个列线性无关，故 $r \ge s$。

另外，由 $r(A) = r$ 知 $A$ 有 $r$ 个列线性无关。

这 $r$ 个列构成的矩阵的秩也为 $r$，且列满秩。

这个小矩阵有 $r$ 行线性无关，故 $A$ 有 $r$ 阶可逆子阵。

进而 $A$ 有一个 $r$ 阶子式不为零，则 $r \le s$。

综上所述，$r = s$。

推论：

1. 若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 可逆，$r(A^*) = n$；

2. 若 $A$ 不可逆，则 $A^*$ 的每个列向量都属于 $N(A)$，$\dim N(A) = n - r(A)$：

   1. 当 $r(A) = n - 1$ 时，$r(A^*) \le \dim N(A) = 1$，而由上述知，$A$ 存在一个非零 $n - 1$ 阶子式，故 $A^* \not = 0$，故 $r(A^*) = 1$；
   2. 当 $r(A) \le n -2 $，则 $A$ 的所有 $n - 1$ 阶子式均为 $0$，即 $C_{ij} = 0$，故 $A^* = 0$，即 $r(A^*) = 0$。

Cramer 法则

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 为可逆方阵，$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$。

则：
$$
x_i = \dfrac{|B_i|}{|A|}
$$
其中 $B_i$ 表示用 $\mathbf{b}$ 换掉 $A$ 中的第 $i$ 列。

证明：
$$
\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} = \dfrac{A^*}{|A|} \mathbf{b} \\
x_i = \dfrac{1}{|A|} (b_1 \cdot C_{1i} + b_2 \cdot C_{2i} + \cdots + b_n \cdot C_{ni}) \\
= \dfrac{1}{|A|} \sum_{k = 1}^n b_k C_{ki} = \dfrac{|B_i|}{|A|}
$$

计算有向长度、面积和体积

$1$ 阶行列式克表示一维向量的有向长度，$2$ 阶行列式可表示平行四边形的有向面积，$3$ 阶行列式可表示平行六面体的有向体积（正负性可由右手判断）。

叉积（外积）

已知：
$$
\alpha_1 = \begin{pmatrix}x_1 \\y_1 \\z_1\end{pmatrix},\alpha_2 = \begin{pmatrix}x_2 \\y_2 \\z_2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3
$$
且 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关。求 $\alpha_3 \in \mathbb{R}^3$ 使得 $\alpha_3 \perp \alpha_1,\alpha_3 \perp \alpha_2$，且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 成右手系（行列式大于 $0$）。

解：可取：
$$
\alpha_3 = (\begin{vmatrix}y_1 & z_1 \\y_2 & z_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix}z_1 & x_1 \\z_2 & x_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\x_2 & y_2 \end{vmatrix}) \\
= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}
$$
其中 $\mathbf{i} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\mathbf{j} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\mathbf{k} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。

$\| \alpha_3 \|$ 等于以 $\alpha_1,\alpha_2$ 为邻边得到平行四边形的面积。

定义：
$$
\alpha_1 = \begin{pmatrix}x_1 \\y_1 \\z_1\end{pmatrix},\alpha_2 = \begin{pmatrix}x_2 \\y_2 \\z_2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3
$$
$\alpha_1 \times \alpha_2$ 是一个 $3$ 维向量，称为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的叉积（又称外积），其与 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 垂直，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1 \times \alpha_3$ 成右手系，且 $\| \alpha_1 \times \alpha_2 \|$ 等于以 $\alpha_1,\alpha_2$ 为邻边得到平行四边形的面积。

由上面分析可知，$\alpha_1 \times \alpha_2 = \alpha_3$。

即：
$$
\alpha_1 \times \alpha_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}
$$
性质：

1. $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u},\mathbf{u} \times \mathbf{u} = \mathbf{0}$
2. $(\mathbf{u_1} + \mathbf{u_2}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u_1} \times \mathbf{v} + \mathbf{u_2} \times \mathbf{v}$
3. $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k},\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i},\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$

混合积

已知 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbb{R}^3$。

$(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$ 称为它们的混合积或三重积。
$$
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \begin{vmatrix}
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
w_1 & w_2 & w_3
\end{vmatrix}
$$
推论 1：$(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \cdot \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{w}) \cdot \mathbf{v}$。

推论 2：混合积即为三向量形成平行六面体的有向面积。

推论 3：可利用此混合积计算过两点直线等等。

和 $QR$ 分解的联系

$|\det A| = |\det U| = \| \mathbf{e_1} \| \| \mathbf{e_2} \| \| \mathbf{e_3} \|$ 为平行六面体的体积。

令 $A_0 = (\alpha_1,\alpha_2)_{3 \times 2}$，$S^2 = \det (A_0^T A_0)$。

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