# 微积分笔记（20）——换元积分与可积性理论

## 微积分笔记（20）——换元积分与可积性理论

Contents

### 分部积分与换元（续）

#### Taylor 公式——带积分余项

$$R_n(x) = \dfrac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x – t)^n f^{(n + 1)}(t) \mathrm{d} t$$

$$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$$

$$f(x) = P_{n – 1}(x – x_0) + R_{n – 1}(x) \\ R_{n – 1}(x) = \dfrac{1}{(n – 1)!}\int_{x_0}^x (x – t)^{n – 1} f^{(n)}(t) \mathrm{d} t$$

$$R_{n – 1}(x) = \dfrac{1}{(n – 1)!}[ – \dfrac{(x – t)^n}{n}f^{n}(t) \Big |_{x_0}^x + \int_{x_0}^x \dfrac{(x – t)^n}{n} f^{(n + 1)}(t) \mathrm{d} t] \\ = \dfrac{1}{n!}[(x – x_0)^n f^{(n)}(x_0) + \int_{x_0}^x (x – t)^n f^{(n + 1)}(t) \mathrm{d} t] \\ = \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x – x_0)^n + R_n(x) \\ \therefore f(x) = P_n(x – x_0) + R_n(x) \ \square$$

1. $R_n(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x – x_0)^{n + 1}$——Lagrange 余项。
2. $R_n(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)(x – \xi)^n}{n!} (x – x_0)$——Cauchy 余项。

（应用积分中值定理）

#### 定积分换元法

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$$

$$F(u) = \int_a^u f(x) \mathrm{d} x$$

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} [F(\varphi(t))] = F^{\prime}(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) = f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t),\forall t \in [\alpha,\beta]$$

$$\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t = F(\varphi(t)) \Big |_\alpha^\beta = F(\varphi(\beta)) – F(\varphi(\alpha)) = F(b) – F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ \square$$

#### 对称性

1. 若 $f$ 是偶函数，则：
$$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x = 2 \int_0^a f(x) \mathrm{d} x$$

2. 若 $f$ 是奇函数，则：
$$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x = 0$$

：有 $f \in C[-a,a]$ 得 $f \in C[0,a],f \in C[-a,0]$。

#### 周期性

$\forall a \in \mathbb{R}$，有：
$$\int_{a}^{a + T} f(x) \mathrm{d} x = \int_0^T f(x) \mathrm{d} x$$

### 可积性理论

#### Riemann 和

$S(f,\pi) = \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i,\xi_i \in [x_{i – 1},x_i]$ 任取。

#### 分割加细

$\pi$ 如上给定。

$\pi’: a = x_0 < t < x_1 < \cdots < x_n=b$。记 $M_1' = \sup\limits_{[x_0,t]} f,M_2' = \sup\limits_{[t,x_1]} f$，则 $M_1',M_2' \le M_1$。记 $m_1' = \inf\limits_{[x_0,t]} f,m_2' = \inf\limits_{[t,x_1]} f$，则 $m_1',m_2' \ge m_1$。 $$\therefore \overline{S}(f,\pi') = M_1'(t - x_0) + M_2'(x_1 - t) + \sum_{i = 2}^n M_i \Delta x_i \le \overline{S}(f,\pi) \\ \underline{S}(f,\pi') = m_1'(t - x_0) + m_2'(x_1 - t) + \sum_{i = 2}^n m_i \Delta x_i \ge \underline{S}(f,\pi)$$ 推论 2：若 $\pi’$ 为 $\pi$ 的加细，多出了 $k$ 个分点，则：
$$\overline{S}(f,\pi’) \le \overline{S}(f,\pi) \le \overline{S}(f,\pi’) + k \omega \| \pi \| \\ \underline{S}(f,\pi’) \ge \underline{S}(f,\pi) \ge \underline{S}(f,\pi’) – k \omega \| \pi \|$$

（后半部分证明省略）

#### 联合分割

$$m(b – a) \le \underline{S} (f,\pi_1) \le \underline{S} (f,\pi_1 + \pi_2) \le \overline{S} (f,\pi_1 + \pi_2) \le \overline{S} (f,\pi_2) \le M (b – a)$$

#### Darbowx 积分

$$\overline{I} = \inf_{\pi} \overline{S} (f,\pi)$$

$$\underline{I} = \sup_{\pi} \underline{S} (f,\pi)$$

$$\underline{S} (f,\pi_1) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S} (f,\pi_2)$$

#### Darbowx 定理

$$\overline{I} = \lim_{\| \pi \| \to 0} \overline{S} (f,\pi) \\ \underline{I} = \lim_{\| \pi \| \to 0} \underline{S} (f,\pi)$$

#### Riemann 可积准则

1. $f \in R[a,b]$

2. $\lim\limits_{\| \pi \| \to 0} (\overline{S} (f,\pi) – \underline{S} (f,\pi)) = 0$

3. $\overline{I} = \underline{I}$

：$0 \le \overline{S} (f,\pi) – \underline{S} (f,\pi) = \sum\limits_{i = 1}^n (M_i – m_i) \Delta x_i = \sum\limits_{i = 1}^n \omega_i \Delta x_i$。

$$\lim_{\| \pi \| \to 0} S(f,\pi) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x = I \\ \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,s.t. |\sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i – I | < \dfrac{\varepsilon}{4} \ \ \ \ (\| \pi \| < \delta) \\ \therefore I - \dfrac{\varepsilon}{4} < \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i < I + \dfrac{\varepsilon}{4}$$ 由 $\xi \in [x_{i - 1},x_i]$ 中任意性： $$I - \dfrac{\varepsilon}{4} \le \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i \le \sum_{i = 1}^n M_i \Delta x_i \le I - \dfrac{\varepsilon}{4} \\ 0 \le \overline{S}(f,\pi) - \underline{S}(f,\pi) \le \dfrac{\varepsilon}{2} \le \varepsilon$$ 即 $\lim\limits_{\| \pi \| \to 0} (\overline{S} (f,\pi) - \underline{S} (f,\pi)) = 0$。$2 \Rightarrow 3$：$\forall \varepsilon > 0,\exists \pi$（如上）使得：
$$0 \le \overline{S}(f,\pi) – \underline{S}(f,\pi) < \varepsilon \\ \therefore 0 < \overline{I} - \underline{I} \le \overline{S}(f,\pi) - \underline{S}(f,\pi) < \varepsilon$$ 故 $\overline{I} = \underline{I}$。$3 \Rightarrow 1$：由夹逼定理和 $\underline{S}(f,\pi) \le S(f,\pi) \le \overline{S}(f,\pi)$，可得 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且积分即为其上下积分。$\square$

#### 连续函数的可积性

$C[a,b] \subseteq R[a,b]$。