微积分笔记(21)——Lebesgue 定理与无穷积分

微积分笔记(21)——Lebesgue 定理与无穷积分

Contents

Lebesgue 定理——Riemann 可积的刻画

分析

根据上节内容,$f \in R[a,b]$ 的一个充分必要条件是 $\lim\limits_{\| \pi \| \to 0} (\overline{S} (f,\pi) - \underline{S} (f,\pi)) = 0$。

即 $\sum_\limits{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \to 0$。

而 $\sum\limits_{i = 1}^n \Delta x_i = b - a > 0$,当 $f \in C[a,b]$ 时,$\omega_i \to 0,\forall i$。

仅当 $f$ 间断点”很多“时,$\sum_\limits{i=1}^n \omega_i \Delta x_i$ 可以不趋向于 $0$。

记号

间断点集:$\mathrm{Dis} (f) = \{x_0 \in [a,b] | f \text{ 在 } x_0 \text{ 点间断}\}$ 或记为 $\mathrm{Dis} (f;[a,b])$。

零测集(零测度集——在 $\mathbb{R}$ 中)

令 $A \subseteq \mathbb{R}$,若 $\forall \varepsilon > 0$,存在至多可数个开区间 $\{I_n\}_{n = 1,2,3,\cdots}$,使得:

  1. $A \subseteq \bigcup\limits_{n = 1}^\infty I_n$($\forall x \in A,\exists I_n$ 使得 $x \in I_n$)
  2. $\sum\limits_{n = 1}^m |I_n| < \varepsilon,m = 1,2,3,\cdots(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} |I_n| < \varepsilon)$

则称 $A$ 为($1$ 维)零测集

:相当于 $A$ 中点排列起来“长度为 $0$”。

零测集的性质

  1. 有限数集是零测集(包括空集)。

  2. 零测集的子集是零测集。

  3. 有限个零测集的并集是零测集。

  4. 可数集是零测集。

    证明:令 $A = \{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}$,$\forall \varepsilon > 0$,令 $I_n = (a_n - \dfrac{\varepsilon}{2^{n + 1}},a_n + \dfrac{\varepsilon}{2^{n + 1}})$。

    则 $a_n \in I_n$,且 $|I_n| = \dfrac{\varepsilon}{2^n}$。

    $$
    \therefore A \subseteq \bigcup_{n = 1}^\infty I_n \\
    \sum_{n = 1}^m |I_n| = (\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}) \varepsilon < \varepsilon \ \square $$ 推论:$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 是零测集。

Lebesgue 定理

设 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 有界,$f \in R[a,b] \Leftrightarrow \mathrm{Dis} (f)$ 是零测集,换言之,$f$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处连续。

证明太过复杂,略去。

推论:$C[a,b] \subseteq R[a,b]$。

可积函数

  1. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界,且 $\mathrm{Dis} (f)$ 至多可数,则 $f \in R[a,b]$。
  2. 设 $f \in R[a,b]$,则 $|f| \in R[a,b]$。
  3. 若 $f,g \in R[a,b]$,则 $fg \in R[a,b]$。
  4. 若 $f \in R[a,b]$,且 $\dfrac{1}{f}$ 有界,则 $\dfrac{1}{f} \in R[a,b]$。
  5. 令 $a < c < b$,$f \in R[a,b] \Leftrightarrow f \in R[a,c] \land f \in R[c,b]$。

反常积分(广义积分)

回忆

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

要求:$[a,b]$ 是有限区间,$f$ 是有界函数。

本节希望突破这两条限制:

  1. 无穷区间上的积分——无穷积分;
  2. 无界函数的积分——瑕积分(奇异积分)。

无穷积分

设 $f : [a,+\infty) \to \mathbb{R}$,且 $\forall A > a,f \in R[a,A]$。

则定义:
$$
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d} x
$$
若极限存在(收敛),则称此积分收敛;

若极限不存在(发散),则称此积分发散。

类似地,若 $f : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$,且 $\forall B < b,f \in R[B,b]$。则定义:$$ \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{B \to -\infty} \int_B^b f(x) \mathrm{d} x $$ 最后,若 $f : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{R}$,且 $\forall a < b,f \in R[a,b]$。定义: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x + \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x $$ (其中 $0$ 可以换成任意实数)左边收敛仅当右边两个无穷积分都收敛!

Cauchy 定义的主值积分

$$
P.V.\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^A f(x) \mathrm{d} x
$$

广义 Newton-Leibniz 公式

设 $f \in C[a,+\infty)$ 有原函数 $F(x)$,则:
$$
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a) = F(x) \Big |_a^{+\infty}
$$
可见积分收敛仅当 $\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)$ 收敛。

同样可以得出另外两个无穷积分的公式。

 

点赞 0

No Comments

Add your comment