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微积分笔记(26)——高阶线性方程解的结构

微积分笔记(26)——高阶线性方程解的结构

高阶线性方程解的结构

标准 n 阶线性方程

y(n)+a1(x)y(n1)++an1(x)y+an(x)y=f(x)      (1)

其中 a1(x),,an(x),f(x)C(I) 已知。

存在唯一性定理

ξ0,ξ1,,ξn1R,x0I,方程 (1) 存在唯一解 y(x)Cn(I) 满足:
y(x0)=ξ0,y(x0)=ξ1,,y(n1)=ξn1

证明留到后面(与一阶线性方程组证明一致)。

齐次方程解的全体

y+a(x)y+b(x)y=f(x)    (2)

S={yC2(I)|y 满足 (2) 的齐次方程 f0}

推论S 为一线性空间,即 y1,y2Sc1,c2Rc1y1+c2y2S——直接验证。

线性相关与无关

φ1,φ2,,φmC(I),如果存在不全为 0c1,c2,,cm 使得在 I
c1φ1++cmφm0


则称 φ1,φ2,,φm 线性相关,否则称它们线性无关。

Wronsky 行列式

φ1,φ2,,φmCm1(I),定义:
W[ϕ1,,ϕm]=|φ1φ2φmφ1φ2φmφ(m1)1φ(m1)2φ(m1)m|


称为 φ1,φ2,,φmWronsky 行列式

线性相关与无关判别法则(n=2

y1,y2S,则 y1,y2I 上线性相关的充分必要条件是:

  1. W[y1,y2]=0I 上处处成立,或者:
  2. W[y1,y2]=0 在某个 x0I 成立。

证明:若 y1,y2I 上线性相关,则有不全为 0c1,c2 使得:
{c1y1+c2y20c1y1+c2y20


改写为矩阵形式有非零解,可知 W[y1,y2]=0

故 1 得证,1 推出 2 显然。

若 2 成立,则:
|y1(x0)y2(x0)y1(x0)y2(x0)|=0


则:
{c1y1(x0)+c2y2(x0)=0c1y1(x0)+c2y2(x0)=0

存在非零解 c1,c2

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x),发现 y(x0)=0,y(x0)=0

另一方面一致 z(x)0Sz(x0)=0,z(x0)=0,由存在唯一性定理知 z(x)y(x)

c1y1(x)+c2y2(x)0

定理S 是一个 2 维线性空间,即存在 y1,y2S 线性无关,且任意 yS,必有 c1,c2R,使得 y=c1y1+c2y2

证明:取 x0I,令 y1S 满足 y1(x0)=1,y1(x0)=0

y2Sy2(x0)=0,y2(x0)=1

则:
W[y1,y2](x0)=|y1(x0)y2(x0)y1(x0)y2(x0)|=|1001|=1


y1,y2I 上线性无关。

任取 yS,令 c1=y(x0),c2=y(x0),则显然 c1y1+c2y2S 且:
{c1y1(x0)+c2y2(x0)=c1=y(x0)c1y1(x0)+c2y2(x0)=c2=y(x0)


由存在唯一性定理,yc1y1+c2y2

推论 1:设 y1,y2S 且线性无关,则方程 (2) 的齐次方程的通解 y=c1y1+c2y2,其中 c1,c2 为任意常数。

推论 2:令 y1,y2S 且线性无关,y 是非齐次方程 (2) 的一个解,则 (2) 的通解 y=y+c1y1+c2y2,其中 c1,c2 为任意常数。

证明:令 z(x)(2) 的一个解,则 zyS

c1,c2R 使得 zy=c1y1+c2y2

z=y+c1y1+c2y2

求解策略(方程 (2)

  1. 求解 (2) 的齐次方程(f0),找出线性无关的两个解 y1,y2
  2. 求解 (2)(f0) 找出一个解 y
  3. 通解 y=y+c1y1c2y2

求解方法之一:观察法

例 1
y+ay=b


其中 a,b 是常数。

:当 a=0 时,y=0 由线性无关解 y1=1,y2=x

y=b 有一个解 y=12x2

通解 y=12x2+c1x+c2

a<0,记 a=ω2>0

yω2y=0 有两个解 y1=eωx,y2=eωx 线性无关。

y+ay=b 有一个解 y=ba

通解 y=ba+c1eax+c2eax

a=ω2>0,则 y+ω2y=0 有两个解 y1=cosωx,y2=sinωx

通解 y=ba+c1cosax+c2sinax

求解方法之二:常数变异法

问题 1:已知 y1(2) 的齐次方程的一个非零解,求 (2) 的齐次方程另一个线性无关解 y2,以及非齐次方程一个解 y

方法:令 y2=C(x)y1C(x) 待定。

y=C(x)y1

y=Cy1+Cy1,y=Cy1+2Cy1+Cy1
y+ay+by=Cy1+2Cy1+Cy1+a(Cy1+Cy1)+bCy1=C(y1+ay1+by1)+Cy1+C(2y1+ay1)=Cy1+C(2y1+ay1)={0f


为求 y=Cy1 解:
C+C(2y1y1+a)=fy1

解出 C 后,C=C(x)dx

为求 y2=Cy1 解:
C+C(2y1y1+a)=0


同样可求解。

问题 2:已知 y1,y2S 且线性无关,为求 y

方法:令 y=C1(x)y1+C2(x)y2C1(x),C2(x) 待定。

代入方程 (2) 得到关于 C1,C2 的一个方程,另外附加一个方程:C1y1+C2y2=0

代入方程:
(y)+a(y)+by=C1(y1+ay1+by1)+C2(y2+ay2+by2)+C1y1+C2y2=C1y1+C2y2=f


则:
{C1y1+C2y20C1y1+C2y2f

系数行列式:
|y1y2y1y2|=W[y1,y2]0C1=y2fW[y1,y2],C2=y1fW[y1,y2]

从而得到 C1,C2,得到一个解 y=C1(x)y1+C2(x)y2

例 2
x2y2y=x4.  x0


:观察 y1=x2 是齐次方程的一个解。

y2=C(x)x2,则 y2=Cx2+4xC+2C

x2y22y2=x2(Cx2+4xC+2C)2Cx2=x4C+4x3C

x4C+4x3C=0,则:
x3(xC+4C)=0(x4C)=0


C=ax4,C=a3x3=1x3

y2=Cx2=1x

x4C+4x3C=x4

(x4C)=x4

x4C=x55,C=x5,C=x210

y=Cx2=x410

故通解 y=x410+c1x2+c2x

 

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