
微积分笔记(26)——高阶线性方程解的结构
高阶线性方程解的结构
标准 n 阶线性方程
y(n)+a1(x)y(n–1)+⋯+an–1(x)y′+an(x)y=f(x) (1)
其中 a1(x),⋯,an(x),f(x)∈C(I) 已知。
存在唯一性定理
∀ξ0,ξ1,⋯,ξn–1∈R,∀x0∈I,方程 (1) 存在唯一解 y(x)∈Cn(I) 满足:
y(x0)=ξ0,y′(x0)=ξ1,⋯,y(n–1)=ξn–1
证明留到后面(与一阶线性方程组证明一致)。
齐次方程解的全体
y′′+a(x)y′+b(x)y=f(x) (2)
S={y∈C2(I)|y 满足 (2) 的齐次方程 f≡0}
推论:S 为一线性空间,即 ∀y1,y2∈S,∀c1,c2∈R,c1y1+c2y2∈S——直接验证。
线性相关与无关
设 φ1,φ2,⋯,φm∈C(I),如果存在不全为 0 的 c1,c2,⋯,cm 使得在 I 上
c1φ1+⋯+cmφm≡0
则称 φ1,φ2,⋯,φm 线性相关,否则称它们线性无关。
Wronsky 行列式
设 φ1,φ2,⋯,φm∈Cm–1(I),定义:
W[ϕ1,⋯,ϕm]=|φ1φ2⋯φmφ′1φ′2⋯φ′m⋮⋮⋱⋮φ(m–1)1φ(m–1)2⋯φ(m–1)m|
称为 φ1,φ2,⋯,φm 的 Wronsky 行列式。
线性相关与无关判别法则(n=2)
设 y1,y2∈S,则 y1,y2 在 I 上线性相关的充分必要条件是:
- W[y1,y2]=0 在 I 上处处成立,或者:
- W[y1,y2]=0 在某个 x0∈I 成立。
证明:若 y1,y2 在 I 上线性相关,则有不全为 0 的 c1,c2 使得:
{c1y1+c2y2≡0c1y′1+c2y′2≡0
改写为矩阵形式有非零解,可知 W[y1,y2]=0。
故 1 得证,1 推出 2 显然。
若 2 成立,则:
|y1(x0)y2(x0)y′1(x0)y′2(x0)|=0
则:
{c1y1(x0)+c2y2(x0)=0c1y′1(x0)+c2y′2(x0)=0
存在非零解 c1,c2。
令 y(x)=c1y1(x)+c2y2(x),发现 y(x0)=0,y′(x0)=0。
另一方面一致 z(x)≡0∈S 且 z(x0)=0,z′(x0)=0,由存在唯一性定理知 z(x)≡y(x)。
故 c1y1(x)+c2y2(x)≡0。◻
定理:S 是一个 2 维线性空间,即存在 y1,y2∈S 线性无关,且任意 y∈S,必有 c1,c2∈R,使得 y=c1y1+c2y2。
证明:取 x0∈I,令 y1∈S 满足 y1(x0)=1,y′1(x0)=0。
令 y2∈S 且 y2(x0)=0,y′2(x0)=1。
则:
W[y1,y2](x0)=|y1(x0)y2(x0)y′1(x0)y′2(x0)|=|1001|=1
故 y1,y2 在 I 上线性无关。
任取 y∈S,令 c1=y(x0),c2=y′(x0),则显然 c1y1+c2y2∈S 且:
{c1y1(x0)+c2y2(x0)=c1=y(x0)c1y′1(x0)+c2y′2(x0)=c2=y′(x0)
由存在唯一性定理,y≡c1y1+c2y2。◻
推论 1:设 y1,y2∈S 且线性无关,则方程 (2) 的齐次方程的通解 y=c1y1+c2y2,其中 c1,c2 为任意常数。
推论 2:令 y1,y2∈S 且线性无关,y∗ 是非齐次方程 (2) 的一个解,则 (2) 的通解 y=y∗+c1y1+c2y2,其中 c1,c2 为任意常数。
证明:令 z(x) 为 (2) 的一个解,则 z–y∗∈S。
∴∃c1,c2∈R 使得 z–y∗=c1y1+c2y2。
∴z=y∗+c1y1+c2y2。◻
求解策略(方程 (2))
- 求解 (2) 的齐次方程(f≡0),找出线性无关的两个解 y1,y2。
- 求解 (2)(f≢0) 找出一个解 y∗。
- 通解 y=y∗+c1y1c2y2。
求解方法之一:观察法
例 1:
y′′+ay=b
其中 a,b 是常数。
解:当 a=0 时,y′′=0 由线性无关解 y1=1,y2=x。
y′′=b 有一个解 y∗=12x2。
∴ 通解 y=12x2+c1x+c2。
若 a<0,记 −a=ω2>0。
y′′–ω2y=0 有两个解 y1=eωx,y2=e−ωx 线性无关。
y′′+ay=b 有一个解 y∗=ba。
∴ 通解 y=ba+c1e√−ax+c2e−√−ax。
若 a=ω2>0,则 y′′+ω2y=0 有两个解 y1=cosωx,y2=sinωx。
∴ 通解 y=ba+c1cos√ax+c2sin√ax。
求解方法之二:常数变异法
问题 1:已知 y1 是 (2) 的齐次方程的一个非零解,求 (2) 的齐次方程另一个线性无关解 y2,以及非齐次方程一个解 y∗。
方法:令 y2=C(x)y1,C(x) 待定。
令 y∗=C(x)y1。
则 y′=C′y1+Cy′1,y′′=C′′y1+2C′y′1+Cy′′1。
y′′+ay′+by=C′′y1+2C′y′1+Cy′′1+a(C′y1+Cy′1)+bCy1=C(y′′1+ay′1+by1)+C′′y1+C′(2y′1+ay1)=C′′y1+C′(2y′1+ay1)={0f
为求 y∗=Cy1 解:
C′′+C′(2y′1y1+a)=fy1
解出 C′ 后,C=∫C′(x)dx。
为求 y2=Cy1 解:
C′′+C′(2y′1y1+a)=0
同样可求解。
问题 2:已知 y1,y2∈S 且线性无关,为求 y∗。
方法:令 y∗=C1(x)y1+C2(x)y2,C1(x),C2(x) 待定。
代入方程 (2) 得到关于 C1,C2 的一个方程,另外附加一个方程:C′1y1+C′2y2=0。
代入方程:
(y∗)′′+a(y∗)′+by∗=C1(y′′1+ay′1+by1)+C2(y′′2+ay′2+by2)+C′1y′1+C′2y′2=C′1y′1+C′2y′2=f
则:
{C′1y1+C′2y2≡0C′1y′1+C′2y′2≡f
系数行列式:
|y1y2y′1y′2|=W[y1,y2]≠0∴C′1=–y2fW[y1,y2],C′2=y1fW[y1,y2]
从而得到 C1,C2,得到一个解 y∗=C1(x)y1+C2(x)y2。
例 2:
x2y′′–2y=x4. x≠0
解:观察 y1=x2 是齐次方程的一个解。
令 y2=C(x)x2,则 y′′2=C′′x2+4xC′+2C。
x2y′′2–2y2=x2(C′′x2+4xC′+2C)–2Cx2=x4C′′+4x3C′。
令 x4C′′+4x3C′=0,则:
x3(xC′′+4C′)=0⇒(x4C′)′=0
故 C′=ax4,C=−a3x3=1x3。
y2=Cx2=1x。
令 x4C′′+4x3C′=x4。
则 (x4C′)′=x4。
故 x4C′=x55,C′=x5,C=x210。
y∗=Cx2=x410。
故通解 y=x410+c1x2+c2x。
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