微积分笔记（29）——数项级数（1）

wzf2000
2020年3月22日

微积分笔记（29）——数项级数（1）

数项级数

无穷级数概念及其基本性质

无穷级数概念

无穷级数：$a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$（形式和）

部分和数列 $\{S_n\}$：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

• 数列收敛：级数和 $=$ 数列极限 $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = S, \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = S$。

• 数列发散：级数发散。

无穷级数实例

例 1：$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + \cdots$（算术级数，等差级数）级数发散。

例 2：$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a^{n - 1} = 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n - 1} + \cdots$（几何级数，等比级数）仅当 $|a| < 1$ 时，级数收敛于 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a^{n - 1} = \dfrac{1}{1 - a}$。例 3：$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \ \ (0 < p < 1)$ 发散。

无穷级数的性质

通项性质（级数收敛的必要条件）：若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$。（证明略）

注意，逆命题不一定成立，可以考虑上面例 3。

线性性质：设 $\sum a_n, \sum b_n$ 都收敛，则 $\sum (\alpha a_n + \beta b_n)$ 收敛于 $\alpha \sum a_n + \beta \sum b_n$。（极限的性质）

若两个级数一个收敛，一个发散，则其和发散。

结合律：在收敛级数中任意加括号得到新级数仍收敛，且和不变。

证明：已知 $\sum a_n$ 收敛于 $S$，即 $S_n \to S$。
$$
\sum a_n: a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots \\
\sum b_n: (a_1 + \cdots + a_{k_1}) + (a_{k_1 + 1} + \cdots + a_{k_2}) + \cdots + (a_{k_{n - 1} + 1} + \cdots + a_{k_n}) + \cdots \\
T_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n = S_{k_n} (k_n \ge n)
$$
故 $\{T_n\}$ 是 $\{S_n\}$ 的一个子列，而 $S_n \to S$，故 $T_n \to S$。$\square$

截尾性质：级数 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$ 的敛散性由它任意 $k$ 项后的余项级数 $\sum\limits_{n = k + 1}^\infty a_n$ 决定。（证明略）

推论：改变级数的有限项不影响原级数的敛散性。

正项级数及其敛散判别法

正项级数：$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$（非负级数）

$a_n > 0, n = 1, 2, \cdots (a_n \ge 0)$

推论：正项级数的部分和数列是（严格）单调增的。

敛散性判别准则：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界。

积分判别法（Cauchy）：若函数 $f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}$ 非负单调减，$a_n = f(n)$，则级数 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$ 与无穷积分 $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 同时收敛或发散。

引理：令级数如上，则：
$$
\sum_{n = 2}^N a_n \le \int_1^N f(x) \, \mathrm{d} x \le \sum_{n = 1}^{N - 1} a_n, N = 2, 3, 4, \cdots
$$

证明：$k \le x \le k + 1$ 时，$a_{k + 1} = f(k + 1) \le f(x) \le f(k) = a_k$

关于 $x$ 在 $[k, k + 1]$ 上积分：
$$
a_{k + 1} \le \int_{k}^{k + 1} f(x) \, \mathrm{d} x \le a_k
$$
关于 $k$ 从 $1$ 到 $N - 1$ 求和即得引理。$\square$

注：也可从几何图像上说明。

通过此判别法可知例 3 中 $p = 1$ 时（调和级数），级数发散；$p > 1$ 时，级数收敛。

此 $p-$ 级数被称为广义调和级数，仅在 $p > 1$ 时收敛。

例 4：推广：$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p (\ln n)^\alpha}$。

类似可得到结论，级数仅在 $p > 1$ 或者 $p = 1$ 且 $\alpha > 1$ 时收敛。

比较判别法：设 $n$ 充分大之后有 $0 \le a_n \le b_n$：

1. 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 也收敛；
2. 若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 也发散。

比较判别法的极限形式：设 $n$ 充分大之后 $a_n, b_n > 0$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = c, 0 < c < +\infty$，则级数 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 有同样的敛散性。

注：若上面的 $c = 0$ 则 $\sum b_n$ 收敛可导出 $\sum a_n$ 收敛；
若上面的 $c = +\infty$ 则 $\sum b_n$ 发散可导出 $\sum a_n$ 发散。

比阶法（比较判别法极限形式的特例）：设 $n$ 充分大之后 $a_n > 0$，且 $\lim\limits_{n \to \infty} n^p a_n = c, 0 < c < +\infty$：

1. 若 $p > 1$ 则级数 $\sum a_n$ 收敛；
2. 若 $p \le 1$ 则级数 $\sum a_n$ 发散。

Cauchy 根式判别法：

1. 若存在 $0 < q < 1$，使得 $n$ 充分大以后 $a_n \ge 0$，$\sqrt[n]{a_n} \le q$，则级数 $\sum a_n$ 收敛；
2. 若有无穷多个 $n$ 使得 $\sqrt[n]{a_n} \ge 1$，则级数 $\sum a_n$ 发散。

Cauchy 根式判别法的极限形式：设 $n$ 充分大后 $a_n \ge 0$ 且 $\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n} = q$，则级数 $\sum a_n$ 当 $q < 1$ 时收敛，当 $q > 1$ 时发散。

注：上极限是收敛子列的极限值的上确界值，下极限同理。

D'Alembert 比值判别法：

1. 若存在 $0 < q < 1$，使得 $n$ 充分大以后 $a_n > 0, \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \le q$，则级数 $\sum a_n$ 收敛；
2. 若 $n$ 充分大以后 $a_n > 0, \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \ge 1$，则级数 $\sum a_n$ 发散。

D'Alembert 判别法的极限形式：设 $n$ 充分大后 $a_n > 0$：

1. 若 $\limsup\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$，则级数 $\sum a_n$ 收敛；
2. 若 $\liminf\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} > 1$，则级数 $\sum a_n$ 发散。

注：此处跟上面的上下极限均可换为普通极限。

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