微积分笔记（34）——Fourier 分析

微积分笔记（34）——Fourier 分析

Fourier 分析

一般函数的 Fourier 级数展开

一般周期函数的处理

给定 $2l$ 周期函数 $f(x)$，考虑以下方法做三角级数展开：

• 自变量伸缩：令 $\varphi(t) = f(\frac{l}{\pi} t)$，化为 $2\pi$ 周期函数；
• 仿照前面处理，直接采用 $2l$ 周期的三角函数系。

注：展开三角级数的收敛性仍可以用收敛定理分析。

Fourier 级数（一般周期情况）

设 $f(x)$ 是 $2l$ 周期函数，$f \in R[-l, l]$（或奇异积分绝对收敛），则：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right)$$
右端称为 $f(x)$ 的 Fourier 级数展开式，其中系数：
$$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x, n = 0, 1, 2, \cdots \\ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x, n = 1, 2, \cdots$$

定义在有限区间上函数的处理

给定函数 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$，如何展开为 Fourier 级数？

方法：将 $f(x)$ 延拓为周期函数再做 Fourier 展开。

1. 记 $l = \frac{b – a}{2}$，延拓 $f(x)$ 得到 $2l$ 周期函数 $\widetilde{f} (x)$。

2. 得到 Fourier 展开：
   

   $$\widetilde{f}(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right), -\infty < x < +\infty$$

3. 限制 $x$ 范围得到：
   

   $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right), a \le x \le b$$

展开式系数：

$$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l \widetilde{f}(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x = \frac{2}{b – a} \int_a^b f(x) \cos \frac{2n \pi x}{b – a} \, \mathrm{d} x, n = 0, 1, 2, \cdots \\ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x = \frac{2}{b – a} \int_a^b f(x) \sin \frac{2n \pi x}{b – a} \, \mathrm{d} x, n = 1, 2, \cdots$$

注：
1. 实际展开时，直接跳过前两步进行第三步即可；
2. 级数的收敛情况可借助收敛定理来分析。

Fourier级数（一般函数情况）

设 $f \in R[a, b]$（或奇异积分绝对收敛），则：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right), a \le x \le b$$
称为 $f(x)$ 的 Fourier 级数展开式，其中：
$$a_n = \frac{2}{b – a} \int_a^b f(x) \cos \frac{2n \pi x}{b – a} \, \mathrm{d} x, n = 0, 1, 2, \cdots \\ b_n = \frac{2}{b – a} \int_a^b f(x) \sin \frac{2n \pi x}{b – a} \, \mathrm{d} x, n = 1, 2, \cdots$$

对称延拓的 Fourier 级数展开

对称延拓：有限区间上函数的展开

设函数 $f : [0, l] \to \mathbb{R}$，将其对称延拓为 $\widetilde{f} : [-l, l] \to \mathbb{R}$。

1. 若延拓为奇函数，则：
   $$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l \widetilde{f}(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x = 0, n = 0, 1, 2, \cdots \\ f(x) \sim \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin \frac{n \pi x}{l}, 0 \le x \le l$$
   称为正弦级数。

2. 若延拓为偶函数，则：
   

   $$b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^l \widetilde{f}(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x = 0, n = 1, 2, \cdots \\ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos \frac{n \pi x}{l}, 0 \le x \le l$$
   称为余弦级数。

对称延拓展开

设函数 $f \in [0, l]$（或奇异积分绝对收敛），则：

正弦展开：

$$f(x) \sim \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin \frac{n \pi x}{l}, 0 \le x \le l \\ b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x, n = 1, 2, \cdots$$
余弦展开：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos \frac{n \pi x}{l}, 0 \le x \le l \\ a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \, \mathrm{d} x, n = 0, 1, 2, \cdots$$

Fourier 级数展开的平均平方收敛

三角多项式

$$T_N(x) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n = 1}^N (\alpha_n \cos nx + \beta_n \sin nx)$$

称为 $N$ 次三角多项式（周期 $2\pi$）。

问题提出

给定函数 $f \in R[-\pi, \pi]$（或周期函数）。

用 $N$ 次三角多项式逼近，如何使得区间上平均误差最小？

$$\| f – T_N \|^2 := \int_{-\pi}^\pi |f(x) – T_N(x)|^2 \, \mathrm{d} x$$

内积

$$\left \langle u, v \right \rangle := \int_{-\pi}^\pi u(x) v(x) \, \mathrm{d} x$$

称为函数之间的内积。

$$\| u^2 \| := \left \langle u, u \right \rangle$$
称为函数的 L2 范数。

为方便起见，将三角函数系：

$$1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos nx, \sin nx, \cdots$$
依次编号，即为：
$$u_0 = 1, u_1 = \cos x, u_2 = \sin x, \cdots, u_{2n – 1} = \cos nx, u_{2n} = \sin nx, \cdots$$

分析

取 $T_N(x) = \sum\limits_{n = 0}^{2N} \alpha_n u_n(x)$：

$$\| f – T_N \|^2 = \left \langle f – \sum_{n = 0}^{2N} \alpha_n u_n, f – \sum_{n = 0}^{2N} \alpha_n u_n \right \rangle \\ = \left \langle f, f \right \rangle – 2 \sum_{n = 0}^{2N} \left \langle f, \alpha_n u_n \right \rangle + \sum_{n = 0}^{2N} \left \langle \alpha_n u_n, \alpha_n u_n \right \rangle \\ = \| f \|^2 – 2 \sum_{n = 0}^{2N} \alpha_n \left \langle f, u_n \right \rangle + \sum_{n = 0}^{2N} \alpha_n^2 \| u_n \|^2$$
引入函数：
$$h(\alpha_m) = \| f \|^2 – 2 \sum_{n = 0}^{2N} \alpha_n \left \langle f, u_n \right \rangle + \sum_{n = 0}^{2N} \alpha_n^2 \| u_n \|^2, m = 0, 1, 2, \cdots, 2N$$
则：
$$h^\prime(\alpha_m) = 2 \alpha_m \| u_m^2 \| – 2 \left \langle f, u_m \right \rangle = 0, m = 0, 1, 2, \cdots, 2N$$
得到：
$$\alpha_m = \frac{\left \langle f, u_m \right \rangle}{\| u_m \|^2}, m = 0, 1, \cdots, 2N$$

总结与结论

对于 $T_N(x) = \sum\limits_{n = 0}^{2N} \alpha_n u_n(x)$，为使 $\| f – T_N \|^2$ 最小，必须且只须：

$$\alpha_m = \frac{\left \langle f, u_m \right \rangle}{\| u_m \|^2}, m = 0, 1, \cdots, 2N$$
即可得到 $T_N$ 的系数即为 $f(x)$ 的 Fourier 展开系数。

1. $N$ 次三角多项式逼近 $f \in R[-\pi, \pi]$（或周期函数），取其 Fourier 展开系数，得到区间上平均误差最小。

2. $f(x)$ 的 Fourier 展开系数满足不等式（$N$ 任意）：
   

   $$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^N (a_n^2 + b_n^2) \le \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \, \mathrm{d} x$$
   称为 Bessel 不等式。

3. $f(x)$ 满足收敛定理条件时：
   

   $$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \, \mathrm{d} x$$
   称为 Parseval 等式。

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