微积分笔记(35)——多变量函数的连续性(1)

微积分笔记(35)——多变量函数的连续性(1)

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多变量函数的连续性

$n$ 维欧氏空间的基本结构

问题来源

研究多元函数:$f(x, y, z), \varphi(u, v)$ 等。

引入 $n$ 维欧氏空间

  1. $n$ 元点集($n$ 维向量):$\mathbb{R}^n$。

    集合 $\mathbb{R}^n := \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_k \in \mathbb{R}, k = 1, 2, \cdots, n\}$

  2. 线性结构:关于加法,数乘(不是乘法)封闭。

    $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_n) \in \mathbb{R}^n$:

    加法 $\mathbf{x} + \mathbf{y} := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_n + y_n) \in \mathbb{R}^n$

    数乘 $\lambda \mathbf{x} := (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n) \in \mathbb{R}^n, \lambda \in \mathbb{R}$

    :符合前两点的集合结构就被称为一个线性空间(向量空间)。

  3. 内积(数量积)——产生长度、角度、距离。

    $\left <\mathbf{x}, \mathbf{y} \right > := x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n \in \mathbb{R}$

运算的性质

比较显然,略。

范数(长度,模)

$$
\| \mathbf{x} \| := \sqrt{\left < \mathbf{x}, \mathbf{x} \right >} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}, \mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n
$$

$n = 1$ 时,范数就是绝对值。

性质

  1. 正定性:$\| \mathbf{x} \| \ge 0$ 等号成立仅当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$;
  2. 齐次性:$\| \lambda \mathbf{x} \| = |\lambda| \| \mathbf{x} \| \ \ (\lambda \in \mathbb{R})$;
  3. 内积不等式:$|\left < \mathbf{x}, \mathbf{y} \right >| \le \| \mathbf{x} \| \cdot \| \mathbf{y} \|$(Cauchy-Schwarz);
  4. 三角不等式:$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \le \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \|$。

向量间的夹角

对于两个非零向量 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \not = 0$:
$$
\cos \theta := \frac{\left < \mathbf{x}, \mathbf{y} \right >}{\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \|}, 0 \le \theta \le \pi
$$
$\theta$ 称为两向量间的夹角

向量正交

对于 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \not = 0$:
$$
\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \left < \mathbf{x}, \mathbf{y} \right> = 0
$$
规定:零向量与任意向量正交。

距离

对于空间中两点 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$:
$$
\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|
$$
称为两点之间的距离

性质

  1. 正定性:$\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| \ge 0$ 等号成立仅当 $\mathbf{x} = \mathbf{y}$;
  2. 对称性:$\|\mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \|\mathbf{y} - \mathbf{x}\|$;
  3. 三角不等式:$\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| \le \|\mathbf{x} - \mathbf{z} \| + \|\mathbf{z} - \mathbf{y} \|$。

$n$ 维欧氏空间中点列的极限

点列

$\{\mathbf{x}_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中点列,即 $\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^n, k = 1, 2, \cdots$

点列的极限

$$
\lim_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n
$$

称为 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛于 $\mathbf{a}$,若 $\{\| \mathbf{x}_k - \mathbf{a} \|\}$ 收敛于 $0$。

推论:记 $\mathbf{x}_k = \left(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}\right), k = 1, 2, \cdots, \mathbf{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$,则 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}$ 的充分必要条件是 $\lim\limits_{k \to \infty} x_j^{(k)} = a_j, j = 1, 2, \cdots, n$,即 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收当且仅当其每个分量数列 $\{x_j^{(k)}\}$ 收敛,$j = 1, 2, \cdots, n$。

收敛点列的性质

  1. 唯一性:若 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛,则 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}$ 唯一。

  2. 有界性:若 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛,则 $\exists M > 0, \| \mathbf{x}_k \| \le M, k = 1, 2, \cdots$。

  3. 线性性:设 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}, \lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{y}_k = \mathbf{b}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$,则 $\lim\limits_{k \to \infty} (\alpha \mathbf{x}_k + \beta \mathbf{y}_k) = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}$。

  4. Cauchy 准则:$\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛当且仅当 $\{\mathbf{x}_k\}$ 是基本列:
    $$
    \forall \varepsilon > 0, \exists k_0 \in \mathbb{N}, \forall k, k' > k_0, \| \mathbf{x}_k - \mathbf{x}_{k'} \| < \varepsilon $$

点列收敛原理(Bolzano-Weierstrass)

若 $\{\mathbf{x}_k\}$ 有界,则必有收敛子列。

欧氏空间中的开集和闭集

邻域(球)

令 $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n, r > 0$:
$$
B_r(\mathbf{a}) := \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < r\} $$ 也就是 $\mathbf{a}$ 点的开邻域
$$
\overline{B_r}(\mathbf{a}) := \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| \le r\}
$$
也就是 $\mathbf{a}$ 点的闭邻域
$$
B_r(\mathbf{\hat{a}}) := \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : 0 <\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < r\} $$ 也就是 $\mathbf{a}$ 点的空心邻域

内点/内部与开集

$$
E \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n
$$

$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的内点
$$
\exists r > 0, B_r(\mathbf{a}) \subseteq E
$$

:若 $\mathbf{a}$ 是 $E$ 的内点,显然 $\mathbf{a}$ 在 $E$ 中。

$E$ 的内部
$$
E^{\circ} := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \ 是 \ E \ 的内点 \}
$$
$E$ 称为开集:如果 $E$ 中所有点都是内点 $E = E^\circ$。

:空集也被认为是开集,其它实例如:$\mathbb{R}^n, B_r(\mathbf{a}), B_r(\hat{\mathbf{a}})$。
$\overline{B_r}(\mathbf{a})^\circ = B_r(\mathbf{a})$。

闭集(开集的补集)

$E \subseteq \mathbb{R}^n$,即 $E^c = \mathbb{R}^n \backslash E = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \not \in E \}$——$E$ 的补集

$E$ 称为闭集,如果 $E$ 的补集是开集。

:显然如果 $E$ 是开集,则 $E$ 的补集是闭集。
实例有 $\mathbb{R}^n. \varnothing, \overline{B_r}(\mathbf{a})$。
还有 $S_r(\mathbf{a}) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n | \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| = r\}$ 也是闭集。

开集/闭集性质

  1. 任意多个开集的并集是开集;
  2. 有限多个开集的交集是开集;
  3. 任意多个闭集的交集是闭集;
  4. 有限多个闭集的并集是闭集。

:后两个性质可利用 de Mogan 律和前两个性质直接证明。

凝聚点/导集(凝聚点也称聚点或极限点)

令 $E \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$。

$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的凝聚点
$$
\forall r > 0, B_r(\hat{\mathbf{a}}) \cap E \not = \varnothing
$$

推论:设 $\mathbf{a}$ 是 $E$ 的凝聚点,则存在 $E$ 中点列收敛于 $\mathbf{a}$。

$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的孤立点
$$
\exists r > 0, B_r(\mathbf{a}) \cap E = \{\mathbf{a}\}
$$
$E$ 的导集
$$
E' := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \ 是 \ E \ 的凝聚点 \}
$$
也就是凝聚点全体。

$E$ 的闭包
$$
\overline{E} = E \cup E'
$$
闭集的刻画:$E$ 是闭集 $\Leftrightarrow \overline{E} = E$($E$ 的凝聚点都在 $E$ 中)。

证明直接用闭集和凝聚点定义验证即可。

开集/闭集性质(续)

  1. $E$ 的内部是包含在 $E$ 中的最大开集;
  2. $E$ 的闭包是包含 $E$ 的最小闭集。

外部/边界点/边界

$E$ 的外部
$$
(E^c)^\circ = \{ \mathbf{x} \in E^c : \exists r > 0, B_r(\mathbf{x}) \subseteq E^c \}
$$
(补集的内部)

$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的边界点
$$
\mathbf{a} \not \in E^\circ \cup (E^c)^\circ
$$
$E$ 的边界
$$
\partial E := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \not \in E^\circ \cup (E^c)^\circ \}
$$
(边界点全体)

推论:$\overline{E} = E \cup \partial E$。

欧氏空间中点集的紧性和连通性

列紧性(收敛子列存在性)

$E$ 是列紧集,若 $E$ 中任意点列都有子列收敛于 $E$ 中一点。

列紧集的刻画

$E$ 是列紧集的充分必要条件是 $E$ 为有界闭集。

充分性分为有界和闭集分别反证,必要性利用 Bolzano-Weierstrass 点列收敛原理。

紧致集(有限覆盖存在性)

如果 $E$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖则称 $E$ 是紧致集

紧致集的刻画

$E$ 是紧致集的充分必要条件是 $E$ 是有界闭集(证明略)。

推论:列紧集与紧致集等价($\mathbb{R}^n$ 中),都是有界闭集。

:今后我们尽量避免紧致概念只用列紧。

道路连通集

$E \subseteq \mathbb{R}^n$ 称为道路连通集,如果:

$\forall \mathbf{a}, \mathbf{b} \in E$,存在连续曲线 $L \subseteq E$,使得 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in L$。

区域

道路连通的开集称为开区域

开区域的闭包称为闭区域

 

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