wzf2000 微积分笔记（36）——多变量函数的连续性（2）
Contents
多变量函数的连续性
多元函数概念和极限
多元函数（多变量函数）
$$
f : D \to \mathbb{R}
$$
称为 $n$ 元函数，也记为：
$$
f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \cdots, x_n), \mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D
$$
其中定义域 $D \subseteq \mathbb{R}^n$，值域 $f(D) \subseteq \mathbb{R}$。
多元函数的极限
令 $f : D \to \mathbb{R}, \mathbf{a} \in D’, \lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = p \in \mathbb{R}$，即：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x} \in B_\delta(\hat{\mathbf{a}}) \cap D, |f(\mathbf{x}) – p| < \varepsilon \\
(\mathbf{x} \in D \land 0 < \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < \delta)
$$
无穷远处的极限
设 $f : D \to \mathbb{R}, \exists r > 0, B_r(\mathbf{0})^c \subseteq D (\| \mathbf{x} \| > r \Rightarrow x \in D)$，定义：
$$
\lim_{\mathbf{x} \to \infty} f(\mathbf{x}) = p \in \mathbb{R}
$$
如果满足：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists M > 0, \forall \| \mathbf{x} \| > M, |f(\mathbf{x}) – p| < \varepsilon
$$注：其他类型无穷远处极限可以类似地定义，比如部分变量趋向于无穷远或部分变量趋向于单侧无穷远。
多元函数极限的性质
函数极限与点列极限
设 $f : D \to \mathbb{R}, a \in D’$，则 $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = p$ 的充分必要条件是，对于满足 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}$ 的点列 $\{\mathbf{x}_k\} \subseteq D \backslash \{\mathbf{a}\}$，都有 $\lim\limits_{k \to \infty} f(\mathbf{x}_k) = p$。
证明：必然性比较容易证明，下证明充分性。
若 $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) \not = p$，构造 $\{\mathbf{x}_k\} \subseteq D \backslash \{\mathbf{a}\}, \mathbf{x} \to \mathbf{a}$：
$$
\exists \varepsilon_0 > 0, \forall k \in \mathbb{N}, \exists \mathbf{x}_k \in D \cap B_{\frac{1}{k}} (\hat{\mathbf{a}}), |f(\mathbf{x}_k) – p| \ge \varepsilon_0
$$
矛盾。$\square$
注：
1. 该性质常用来判断极限 $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x})$ 不存在（发散）；
2. 若已知极限存在，可以利用该性质求出极限。
函数四则运算的极限
设 $f, g : D \to \mathbb{R}, \mathbf{a} \in D’, \lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = p, \lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} g(\mathbf{x}) = q$：
- $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} [f(\mathbf{x}) \pm g(\mathbf{x})] = p \pm q$
- $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} [f(\mathbf{x}) g(\mathbf{x})] = pq$
- $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \left [\frac{f(\mathbf{x})}{g(\mathbf{x})} \right ] = \frac{p}{q} (q \not = 0)$
利用函数极限与点列极限的关系即可证明。
Cauchy 收敛准则
设 $f : D \to \mathbb{R}, a \in D’$，则 $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x})$ 存在的充分必要条件是：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x}’, \mathbf{x}” \in D \cap B_\delta(\hat{\mathbf{a}}), |f(\mathbf{x}’) – f(\mathbf{x}”)| < \varepsilon \\
[ \forall \mathbf{x}', \mathbf{x}'' \in D, 0 < \| \mathbf{x}' - \mathbf{a} \| < \delta, 0 < \| \mathbf{x}' - \mathbf{a} \| < \delta]
$$
必要性利用 $|f(\mathbf{x}') - f(\mathbf{x}'')| \le |f(\mathbf{x}' - f(\mathbf{a}))| + |f(\mathbf{x}'') - f(\mathbf{a})|$。充分性先导出 $f(\mathbf{x})$ 在 $\mathbf{a}$ 点附近有界，再利用列紧原理：存在 $\{\mathbf{x}_k\} \subseteq D \backslash \{\mathbf{a}\}, \mathbf{x}_k \to \mathbf{a}, f(\mathbf{x}_k) \to p$，再验证 $\lim\limits_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = p$。
$$
|f(\mathbf{x}) - p| \le |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_k)| + |f(\mathbf{x}_k) - p|
$$
然后即可证明。
多元函数的连续性
多元函数的连续性
设函数 $f : D \to \mathbb{R}, \mathbf{a} \in D$，称 $f$ 在 $a$ 点连续，如果：
$$
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) \\
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x} \in D \cap B_\delta (\mathbf{a}), |f(\mathbf{a}) – f(\mathbf{x})| < \varepsilon
$$
如果 $f$ 在 $D$ 内每一点都连续，则称 $f$ 在 $D$ 上（内）连续。注意：上面的定义中 $\mathbf{a}$ 可以不是 $D$ 的内点。
推论：设 $\mathbf{a}$ 是 $D$ 的孤立点，$f$ 定义在 $D$ 上，则 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点连续。
记号：
$$
C(D) = \{f : D \to \mathbb{R} | f \text{ 在 } D \text{ 中每一点都连续}\}
$$
其中 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个区域（开或闭）。
推论 1：$C(D)$ 是一个线性空间，即：
$$
\forall f, g \in C(D), \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha f + \beta g \in C(D)
$$
推论 2：连续函数经过四则运算（分母不为 $0$） 仍连续。
结论：多项式函数处处连续，有理函数在分母不为零的点处处连续。
一致连续概念
称函数 $f : D \to \mathbb{R}$ 在 $D$ 上一致连续：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x}’, \mathbf{x}” \in D, \| \mathbf{x}’ – \mathbf{x}” \| < \delta, |f(\mathbf{x}') - f(\mathbf{x}'')| < \varepsilon
$$推论：若 $f$ 在 $D$ 上一致连续，则 $f$ 在 $D$ 中每一点连续。（反之不成立）
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